Диссертация (Математическое моделирование процессов нелинейного деформирования составных конструкций каркасного типа при комбинируемых воздействиях), страница 13

Для удовлетворения условия устойчивости ЭВМ, критическая величина шага по времени t существенно зависит отпараметров сетки и слабо - от граничных условий, в свою очередь, параметрыискусственной вязкости k, наоборот существенно зависят от граничных условий и слабо от параметров сетки. Это позволяет производить пробные расчетына крупной сетке при исследовании особенностей деформирования сложныхнеоднородных конструкций для определения оптимальных значений k.Поскольку для линеаризованных сеточных уравнений (3.2) можно получить оценку границ спектра собственных чисел в виде0  1   n   2 ,(3.16)где 1=min, 2=max - минимальное и максимальное собственные числа сеточного оператора, то матрица конечно-разностной системы уравнений положительно определена и имеет определитель, отличный от нуля [7,88].- 83 -3.1.3.

Ускорение сходимости квазидинамической формыметода установления при решении статических задачИспользуемая для решения квазидинамических уравнений (3.3) явнаяразностная схема по времени является условно устойчивой. Для оптимизации исокращения затрат машинного времени принятая в расчете величина шага повремени t должна быть близкой к критическому значению t. Для нелинейных уравнений величина t меньше, чем для линейной задачи, причем снижение t тем существенней, чем больше вклад нелинейных членов в решение.При счете на установление, интерес представляет только конечный результат, апромежуточные решения не имеют смысла. Именно поэтому итерационныйпараметр t для обеспечения минимального числа итераций может приниматьотносительно большие значения, удовлетворяя при этом условию устойчивостиЭВМ.

Используемая в итерационном процессе решения статической задачи(3.2) величина плотности  не имеет такого строгого физического смысла, какдля динамических задач (2.19), и параметры mk могут быть приняты из удобства расчета, а также для повышения критического значения t.Представим нестационарные уравнения (3.3) в виде[Lx (u k ; q k )]i  (c*m*k u k )i  (c* k u k )i ,(3.17)где m *k =akmk. Отфильтровать высокочастотные составляющие погрешности исущественно повысить критическое значение t для всей ЭВМ, оптимизировавзатраты машинного времени, позволяет использование коэффициентов ak1.Формулы (3.5),(3.11) преобразуются с учетом (3.17) путем замены mk на m *k .Значения коэффициентов ak могут быть оценены из условия tk=tmax как tak   max t k2 ,(3.18)- 84 -где шаги tk определяются в соответствии с (3.11)-(3.16).

Ввод коэффициентовak можно трактовать как введение фиктивных плотностей k=ak. При этомчисло итераций nk() не зависит от mk [7].§ 3.2. Численное решение конечно-разностных аналоговуравнений движения элементов составных конструкцийКонечно-разностные аналоги уравнений движения оболочки (1.50) имеютвид (2.19), аналогичный эволюционным уравнениям (3.3){f*[Lx (u k ; q k )]}i(n)* ** *[f 22c m k u k ]i(n 1/2)  [f11c m k u k ]i(n 1/2),t(3.19)На основе явной двухслойной разностной схемы по времени, однотипнойс (3.5) может быть построено численное решение уравнений движения элемента конструкции (3.19) (n 1/2)u k iff(n 1/2)* *cm11k i[u k ]i(n-1/2)(n 1/2)* *22c m k ift f * L x (u k ; q k ) iu k i(n1)  u k i(n)  tu k i(n1/2).(n)(n 1/2)* *cm22k i;(3.20)С учетом конечно-разностной аппроксимации начальных условий (2.24)(2.26) преобразуются формулы (3.20) для n=1.Работа сил внешнего и внутреннего трения, обуславливается динамическими процессам в оболочечных элементах строительных конструкциях происходящих с диссипацией энергии.

Степень затухания колебаний обычно оценивается величиной логарифмического декремента колебаний  [6]. Для сооружений логарифмический декремент колебаний определяется из эксперимента.В задачах динамики параметры искусственной вязкости k, при соответствующих значениях в нестационарных уравнениях (3.3)-(3.5) могут быть использованы для интегрального учета диссипации энергии.

Для определения зависимости между k (параметр искусственной вязкости) и  (величина лога- 85 -рифмического декремента колебаний) рассмотрим задачу о колебаниях одномассовой системы, которая описывается уравнением видаx  2nx  2 x  0,(3.21)где x - обобщенное перемещение, 2n=/m, 2=c/m, m - параметр массы,  - коэффициент вязкого сопротивления, параметр c>0. Для “малого” сопротивления(n<), когда колебания носят затухающий характер,  определяется как  n1 ,(3.22)где 1 - период затухающих колебаний: 1=[1+(/2)2]1/2,  - период свободныхколебаний: =2/. Приближенно полагая 1, из (3.22) можно получить оценку для динамической вязкости дин дин  2m.(3.23)Для случая n= (предельное апериодическое движения), который является оптимальным с точки зрения решения статической задачи при использовании квазидинамической формы эволюционных уравнений в методе установления, параметр искусственной вязкости ст определяется какст  4m.(3.24)Тогда дин  ст.2(3.25)Следовательно, с учетом (3.11),(3.25), для нестационарных задач параметры искусственной вязкости k, соответствующие заданному значению k,могут быть оценены как k  a  ,( k )km k 1,( k )  2,( k )1,( k )   2,( k ),(3.26)где a,(k) - близкие к единице поправочные коэффициенты.Из сравнения формул (3.20) и (3.5) получается, что принятая квазидинамическая форма эволюционных уравнений (3.3) в методе установления приводит к однотипной разностной схеме для решения и статических и динамиче- 86 -ских задач.

Это позволяет за счет изменения соответствующих параметровЭВМ, без перестройки вычислительного алгоритма, эффективно исследоватьгеометрически нелинейное НДС конструкций при различных вариантах статических и динамических нагружений. Особенно это важно при исследованиипроцессов деформирования несущих элементов конструкций в силу необходимости учета исходного статического НДС, со значительными массовыми характеристиками самих конструкций.§ 3.3.

Особенности построения численных решений статических идинамических задач для составных конструкцийна амортизированном фундаментеУравнение движения амортизированной фундаментной плиты с учетомреакции от опорных элементов сооружения F, заданной нагрузки на плиту F*, атакже интегральных значений упругой Fc и вязкой F компонент реакции вязкоупругих амортизирующих элементов (рис. 1.21), записывается в видеm f x f  Fc  F  (F  F* )  0.(3.27)При построении численных решений статических и динамических задачдля конструкций каркасного типа, установленных на амортизированной фундаментной плите, аппроксимация уравнения (3.27) на временной сетке t(n) с постоянным шагом t с учетом (1.59)mfx (f n 1/ 2)  x (f n 1/ 2)x ( n 1/ 2)  x (f n 1/ 2) v f (Fc  F  F* ) ( n )  0,t2(3.28)позволяет определить скорости x (f n 1/ 2) на временном слое t(n+1/2)x (f n 1/ 2)2m f  t   v ( n 1/ 2) 2t  (F*  F  Fc ) ( n ) x f,2m f  t   v2m f  t   v(3.29)и далее путем интегрирования – перемещения x (f n 1) на временном слое t(n+1)x (f n 1)  x (f n )  t  x (f n 1/ 2) ,(3.30)- 87 -при начальных условиях (1.61).

Сопоставляя (3.27)-(3.30) с (3.3)-(3.5),(3.20)(3.26), нетрудно заметить, что при значениях параметра вязкости v в составляющей реакции F (1.59), соотношения (3.27)-(3.30) также позволяют построить однотипные разностные схемы для численных решений динамических истатических (по методу установления) задач для составных конструкций каркасного типа. Интегральное значение жесткости cz может быть определено позаданной величине осадки hz упругих элементов под действием собственноговеса конструкции Pfcz Pf,h z(3.31)или по заданному соотношению kf между частотой ff свободных колебанийамортизированной фундаментной плиты и преобладающей частотой fsw сейсмической волны [102-104]kf ff;f swff 1;TfTf  2  mf.cz(3.32)Тогда2c z  4 2  k 2f  f sw m f  k 2f 4 2  m f.2Tsw(3.33)Интегральное значение вязкой компоненты v может быть определено поотношению к величине вязкости для случая предельного апериодическогодвижения амортизированного фундамента v  2  k  cz mf ,(3.34)где k0 – корректирующий коэффициент.

Значение k=1 соответствует случаюпредельного апериодического движения [6].- 88 -ГЛАВА IV. Исследование нелинейных процессов деформированиясоставных конструкций каркасного типа прикомбинированных видах нагруженияРазработанные математические модели и численные методы решения нелинейных начально-краевых задач механики составных конструкций каркасного типа были практически реализованы в виде пакетов прикладных программна языке FORTRAN-IV применительно к персональным ЭВМ серии Pentium с32-х и 64-х битовыми процессорами. В настоящей главе представлены результаты исследований, проведенных методами вычислительного эксперимента,особенностей процессов нелинейного деформирования рассматриваемых конструкций при различных вариантах статического и динамического нагружения.§ 4.1.

Исследование влияния параметров разностной схемына сходимость и точность численных решенийнелинейных начально-краевых задачДля исследования сходимости и точности результатов численных решений, полученных на основе разработанных вариационно-разностных схем, были проведены исследования сходимости параметров НДС шарнирно закрепленной (рис.