Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 7

если Fij  ,  klc ,  pq   0 ), иCr  X   L2  0, T ; X  , G   0, T   G в случае учета ползучести (где пространстваL2  0, T ; X  введены в книге [51]). Пусть n ( X  n  Cr  H n     ) :45H3n     u1u3  : uI  X   , u3  X nu2n 1 , H      un21u2  : uI  X n- это исходные пространства вектор-функций, а H n    - пространства Соболева.Нормы в пространствах H k n    , k  2,3 определим следующим образом:uu2nH 2     u1 u12nH3    2nX  u22nX  u22nX 2nX  u3, u  H 22Xn1n ,, u  H3n .В пространствах H k1    , k  2,3 выделим подпространства функций с нулевымиграничными условиями (в смысле теории следов) на  (с теми же нормами):1V2      u1 u2  : uI  X   , Tr  uI   0 ,V3      u1 u212u3  : uI  X   , u3  X   , Tr  ui   Tr   I u3  nI  0 ,где Tr : Cr  H 1      Cr  L2     - оператор, сопоставляющий функции из Cr  H 1    ее след на  [54, 63], аnI- компоненты единичного вектора внешней нормали к.Введем на основе полученных вариационных уравнений (1.95)-(1.97)(проинтегрировав их по  0,T  при учете ползучести) понятие слабого решения дляосредненных задач (1.82)-(1.83).

Введем для этого вспомогательное отображениеn BNS : H 2 n     H 02    и подмножество H 2 n     H 2 n    (с нормой . H     )n2индуцируемое этим отображением ( u  H 2 n    , w  H 02    ):BNS  u, w  BH 2neIJKL KL u   f IJM 0  u   2IJ wd  ,    u  H 2 n    : BNS  u, w  0, w  H 02    .Отметим, что в силу допущения 4 0  H 2 n    . Также введем следующиебилинейные формы:46 CBSM  u, w  IJKL KLe u  eIJ  w d , u, w  H 21    ; u  IJ  w d , u, w  H 31    ; DBSF  u, w  IJKL KLBNS  u, w   BIJKL1 KL  u  eIJ  w   eKL  u  IJ  w   d , u, w  H 3     .и функционалы правых частей:1f T  K 1  u, w     f IJT  K 1  u  eIJ  w d  , f M  0  u, w     f IJM  0  u IJ  w d  , u, w  H 2     ,1f M 1  u, w     pw3d    f IJM 1  u IJ  w d  , u, w  H 3     .Функционалы f T  0 .,. , f M 0 .,. и билинейную форму BSM .,. , в силу замечанияотносительно операторов eIJ . и  IJ . , можно также рассматривать впространстве H31     H31    .

Это, в частности, позволяет ввести билинейнуюформу B .,. :B  u, w   BSM  u, w   BSF  u, w   BNS  u, w  , u, w  H31    .0001Пусть ω   1  2   H 2     , ω1  11 21 31   H31    - такие функции (еслиTони существуют), что:    u   , (1.98)Tr I b0I    u  ,Tr I   uI   , Tr 310b10b 03Tr  I 3  nI  0 , (1.99)1Тогда под слабым решением задачи (1.82) будем понимать такой элементζ 0  H 21    , что ζ 0  ω 0  H 21     V2   BSM ζ  , w  f0T  0и выполняется условие:ζ  , w  , w  H     V  . (1.100)0122Аналогично, под слабым решением задачи (1.83) будем понимать такой элементζ1  H 31    , что ζ1  ω1 V3   и:47B ζ  , w  f1T 1ζ  , w   f   ζ  , w  , w V  .

(1.101)1M 113Подобно классическому решению, о чем было отмечено ранее, возможноэквивалентное определение слабого решения, основанное на системе (1.82’).Пусть функция ω0  H31    (если она существует) удовлетворяет следующимусловиям:    u   ,    0 . (1.98’)Tr I0b0I03Тогда слабым решением будем называть такую функцию ζ0  H31    , чтоζ 0  ω 0 V3   и:B ζ  , w  fпричемζ00T  0 ζ  , w   f0M  0ζ  , w  , w V   , (1.100’)03удовлетворяет условию  3 0  0 .Отметим, что отображения BNS .,. и BNS .,. обращаются в нуль для пластин ссимметричным расположением слоев (т.е.

когда Fij .,. и Cijkl . являются четнымифункциями от локальной координаты  ). Отсюда, в частности, следует, что длясимметричной пластины n  : H 2 n     H 2 n    .Для применения метода конечных элементов более удобной являетсяматричная запись уравнений (1.100’), (1.101). В этой записи вводятсякоординатный столбец-оператор обобщенных деформаций  . , составленный изстолбцов-операторов e . и  . ; столбец массовых нагрузок F ; обобщеннаяматрица упругости C , составленная из блоков C , B , D , которые образованны изсоответствующих жесткостейCIJKL , BIJKL , DIJKL :e  u    e11  u  e22  u  2e12  u   ,   u   11  u  22  u  212 u   ,T u  e uTT , (1.102)T T u48CTF   0 0 p  , C  B C1111 C1122 C1112  B1111C   C2211 C2222 C2212  , B   B2211BC 1211 1211 C1222 C1212 B,DB1112  D1111,B2212  D   D2211DB1212  1211B1122B2222B1222D1112 D2212  ; (1.103)D1212 D1122D2222D1222а также столбцы-функционалы правых частей:T I 1T I 1fˆ    u   f11    u M I 1fˆ    u   0 0 0f 22T I 1f11 M I 1uuf12 T I 1f 22 M I 1u T0 0 0u f12 M I 1,u  .TТогда билинейная форма B .,. и функционалы правых частей могут бытьзаписаны в следующей форме:B  u, w      w  C  u d  , (1.104)TTTf T  I 1  u, w     fˆ T  I 1  u    w d  , f M  0  u, w     fˆ M  0  u    w d  ,f M 1  u, w      w1w2TTw3  Fd    fˆ M 1  u    w d  .

(1.105)1.10. Вариационный принцип Хеллингера-РейснераУравнения (1.100), (1.100’) и (1.101) фактичекски являются вариационнымиуравнениями для вариационного принципа Лагранжа. Для численного поискаслабых решений (1.82)-(1.83) более удобной в смысле результирующихвыражений для разрешающей системы уравнений оказывается формулировка наоснове вариационных уравнений, получаемых для вариационного принципаХеллингера-Рейснера [8, 12, 19, 60, 64], что будет продемонстрированно в49пунктах2.1-2.2.Альтернативно,длярассматриваемыхзадачвозможноиспользование вариационного принципа типа Геррмана [7, 65, 92, 105],позволяющего получить вариационные уравнения, содержащие производные невыше первого порядка.

Однако данный подход не лишен недостатков. Вчастности, применение указанного вариационного принципа для построенияконечно-элементного метода приводит к разрешающей системе уравнений сматрицей,неявляющейсяположительноопределенной[7],итребуетспециальных методов поиска решения такой системы. В связи с этим, в рамкахданной работы, будет использован подход на основе вариационных уравненийвариационного принципа Хеллингера-Рейснера.Введем пространство столбцов обобщенных деформаций S     Cr  L2     .6Рассмотрим вариационное уравнение (1.101) в матричной форме (1.104)-(1.105).Обозначив в этом уравнении  1    ζ1   S    , выбрав произвольный элемент  S Tи формальнодобавивв(1.101)дополнительноеуравнениеC  ζ        0 , удовлетворяющееся тождественно, получим:11   w T C  1 d   f T 1 ζ1 , w  f M 1 ζ1 , w , w V3    ,11   T C  ζ       d   0,   S    . (1.106)Принимая далее, что  1  S    - новая неизвестная функция, которая вдополнение к функции ζ1  H31    определяется системой (1.106), получимальтернативное определение слабого решения задачи (1.83).

Требуется найтитакую пару  ζ1  1   H31     S    , что ζ1  ω1 V3    и:1T 11M 111 BHRw,     f   ζ  , w  f   ζ  , w , w V3    , 1112 BHR ζ ,   BHR  ,  ,   S    .Здесь обозначены следующие билинейные отображения:(1.101’)5021BHR ,    w,       w  Cd  , BHRTTC d  , w  H 3     ,  ,   S    .1Эквивалентность (1.101’) и (1.101) немедленно вытекает из того, что форма  ,      T  d  определяет скалярное произведение в пространствеS  .Аналогично, определение слабого решения задачи (1.82) на основе системывариационных уравнений вариационного принципа Хеллингера-Рейснера имеетследующую ζ 0формулировку.Требуетсяопределитьтакуюпару  0  H 31     S    , что ζ 0  ω0 V3    и:0T 00M 001 BHRw,     f   ζ  , w  f   ζ  , w , w V3    , 1 0 02 BHR ζ ,   BHR  ,  ,   S    ,причемζ0(1.100’’)должно удовлетворяет условию  3 0  0 .1.11.