Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 3

Тогда безразмерную нормальную координату пластины  можно13записать в виде:   xT  x / L13/ h  q3 / x2 / L x3 / h  :  x1x2. Введем далее обозначения для областейx3  T ,   x1x2  / L :  x1x2x3   и области    1 ; 1  , соответствующих областям  , T и  . Введем безразмерные 2 2компоненты величин входящих в задачу (1.1): ij  , xK / L, x3 / h    ij  t0 , xK , x3  / E0 , Cijkl  x3 / h   Cijkl  x3  / E0 , ij  , xK / L, x3 / h    ij  t0 , xK , x3  ,  ijc  , xK / L, x3 / h    ijc  t0 , xK , x3  ,Fij  ,  klc ,  pq   t0 Fij  ,  klc ,  pq E0  , ui  , xK / L, x3 / h   ui  t0 , xK , x3  / L,pˆ   , xK / L   p  t0 , xK  / E0 , uib  , xK / L, x3 / h   uib  t0 , xK , x3  / L,где E0 – характерное значение модуля упругости, а волной сверху обозначеныкомпоненты объектов в системе координат Oxi .

Пусть также  i – операторxiдифференцирования по введенным декартовым координатам xi , а точкой надфункцией будем обозначать производную по временному параметру ( f f).Тогда система (1.1) в безразмерной координатной форме в области 0,T   примет вид:   0, j ij ij  Cijkl   kl   klc  , ijc  Fij  ,  klc ,  pq  ,2  L  u   u ,j ii j ij i 3  k  0,(1.2)ui  k  0, c ij  0  0, i 3 x3  h   pˆ  i 3 ,2ui T  uib .14Запись определяющего соотношения для скоростей деформаций ползучести всистемах (1.1)-(1.2), как частный случай, включает стандартную для моделейползучести типа теории течения запись функций Fij в потенциальном виде [61]:Fij  H. ijВведем далее вспомогательные компоненты Cijkl , которые определяютсяследующим образом:Cijkl   kp lq   l 3 q3  kp   k 3 p3    k 3 p3  lq   l 3 q3  Cijpq .1.2.Основные допущенияПостроение решения задачи (1.2) в виде формального асимптотическогоразложения (ФАР) будем производить при следующих допущениях:1.

Безразмерное давление p̂ на верхней и нижней поверхности пластиныимеет третий порядок относительно геометрического параметра  :p̂   3 p .(1.3)Здесь функции p не зависят от малого параметра  (и, в частности, от толщиныпластины h ).2. Тензор модулей упругости 4 С является кусочно-гладким (т. е. бесконечнодифференцируемым по  всюду в 1 2 , 1 2  \ m , а в точках  m оно и егопроизводные могут иметь разрывы первого рода) симметричным равномерноположительно определенным тензорным полем от нормальной координатыпластины  :15Cijkl    C jikl   , Cijkl    Cijlk   , Cijkl    Cklij   ,Cijkl   TijTkl   TijTij ,гдеTij(1.4)– компоненты произвольной симметричной матрицы 3  3 , а   0 -константа, не зависящая от  и  (и от h в частности).

В силу последнего условияв (1.4), матрица C   C ij  Ci 3 j 3 3 (также как и матрица C  C ij  Ci 3 j 3 ) обратима:3 C 1  C 1ij Ci31j 33: Ci31s3Cs3 j 3  Ci 3s 3Cs31j 3  ijТогда.будем33дополнительно3упругости Cˆ IJKL  CIJKL  CIJk 3Ck31s3Cs3KLпредполагать, что приведенные модулиявляется равномерно положительно определенными:Cˆ IJKL   TIJ TKL   1TIJ TIJ , (1.5)где TIJ – компоненты произвольной симметричной матрицы 2  2 , а  1  0 константа, не зависящая от  и  (и от h в частности).3.

Граничные перемещенияuibявляются функциями безразмерных координатqI и параметра  , а также представимы в виде:uIb  , qJ   uI  , qJ    uIb1  , qJ  ,(1.6)b 0u3b  , qJ   u3    , qJ  .b 0Здесь функции uib 0 , uIb1 не зависят от параметра  (и от h в частности).4. Функции Fij являются кусочно-гладкими по  (в том же смысле, что и вдопущении 2) и трижды непрерывно дифференцируемыми по каждому изаргументов  klc ,  pq на всей числовой прямой. Кроме того, данные функции будемпредполагать центрированными по компонентам тензора напряжений:Fij  ,  klc ,  ij и удовлетворяющими следующему условию: ij 00,16FI 3  ,  klc ,  PQ ,  p 3  p 3 00.В этих условиях  klc и  PQ - компоненты произвольных симметричных матриц 3  3и 2  2 соответственно.1.3.Формулировка локальных задачСогласно общему подходу метода асимптотического осреднения (МАО) [6]координаты qi будем рассматривать как макроскопические (медленные), акоординату  - как локальную (быструю).

Тогда (из формулы для производнойсложной функции) для оператора дифференцирования  i имеем:L i   i где    ,  i qii3 , (1.7) - соответствующие операторы дифференцирования полокальной и макроскопическим координатам. Далее безразмерные координаты q3и  , в соответствии с общей схемой МАО, будем предполагать независимыми.Решение задачи (1.2) (вектор перемещений u ) будем строить в виде ФАР постепеням малого геометрического параметра  :ui  , qI ,      nui( n )  , qI ,   . (1.8)n 0Дифференциальный оператор Pi . в уравнении равновесия системы (1.2) спомощью формулы (1.7) может быть записан в форме:LPi  u   L j ij  u   L2 j Cijkl  k ul  L j  Cijkl  klc    0  Diqq  u   CiJkl  J  klc    1 Diq  u   Di q  u    Ci 3kl  klc    2 Di  u  ,(1.9)где дифференциальные операторы Di ; ,  q,   вследствие допущения 2 имеютследующий вид:17Diqq  u   CiJKlu 2ul 2ul , Diq  u   CiJ 3l, Di q  u    Ci 3Kl l qKqJ qKqJ ul   , Di  u   Ci 33l.Пусть далее  ijc    n ijc ( n ) - ФАР для компонент тензора деформаций ползучести.n 0Тогда подставляя в (1.9) это разложение и ФАР (1.8) приходим к асимптотическойформе уравнений равновесия системы (1.2):LPi  u    2 Di  u(0)    1H i1n   n H i   0, (1.10)n 0где:Hi1 Di  u(1)   Diq  u(0)   Di q  u(0)    Ci 3kl  klc 0,Hi   Di  u( n2)   Diq  u( n1)   Di q  u( n1)   Diqq  u( n )   CiJkl  J  kl    Ci 3kl  klnc nc n 1, n.Потребовав, чтобы член при  2 в этом разложении обратился в нуль, приходим кнезависимости u(0) от локальной координаты  :u(0)  u(0)  , qI  .

(1.11)Из этого, в частности, следует, что Diq  u(0)   0 .Далее, подставляя разложение (1.8) в соотношение Коши в системе (1.2),получим:2 ij   j ui(0)  j3i3. ui(0)   i u (0) u (0)j j Тогда с учетом (1.11) ФАР для компонент тензора деформаций можно записать ввиде: ij    n ij( n ) , 2 ij( n)   j ui( n)  iu (jn)   j 3 ui( n1)  i 3 u (jn1) . (1.12)n 018Подставляя ФАР компонент тензора деформаций и разложение (1.12) вопределяющее соотношение ползучести в системе (1.2), получим ФАР компоненттензора напряжений: ij    n ij( n ) ,  ij( n )  Cijkl  kl( n )   klc( n )  . (1.13)n 0Учитывая вид разложений (1.12)-(1.13) и условие (1.11), функции H i 1 и H i n ,nпри степенях малого параметра в разложении (1.10) могут быть записаны вследующей форме:Hi1  Ci 33l  ul   Ci 3Kl  K ul   Ci 3kl  klH i    J CiJ 3l  uln1n 1c 00 CiJKl  K ul   CiJkl  klc nn   Ci 3kl kl(0)   klc(0)     i(0)3 ,   C  u    C       n2i 33l  J CiJkl  kl( n )   klc ( n )    Ci 3kl  kl( n 1)   klc ( n 1) l(n)iJJi 3 Kl( n 1)i3 K uln 1 Ci 3kl  klc n 1.Приравнивая член H i 1 при  1 в разложении (1.10) к нулю, а члены H i n при n,nк некоторым функциямhi( n ) ,не зависящим от локальной координаты (т.е.

hi( n)  hi( n)  , qI  ) и учитывая последние соотношения, последовательностьлокальных уравнений равновесия, соответствующих уравнению равновесия висходной системе (1.2), принимает вид:  i(0)3  0, J  iJ( n )    i(3n 1)  hi( n ) , (1.14)n 0nhi( n )LPi  u   0.Подставив теперь ФАР для тензора деформаций ползучести и разложение (1.12) вопределяющее соотношение для тензора деформаций ползучести в системе (1.2),получим:n 1          ss 0с sijnс nijn 1 с  n 1ij ij   ,19ij    Fij  ,  klc ,  pq   Fij  ,  klс n   n Rkl  n   , pqn   n Rpq n   ,cnns 0s 0 ijс n    s ijс s  ,  ij n    s ij s  .(1.15)Здесь n  c  nRij  ,Rij  n   - нормированные остаточные члены ФАР для  ijс и ij , для которых, в предположении что указанные разложения действительноявляются асимптотическими, справедливы свойства: c  nlim Rij 0Введем далее n  nRij      0 .   lim 0определяющие функции модели ползучести n -гоприближения Fij n  ,  kсl0 ,...,  kсln ,  p0q ,..., pnq00n n0 0 F    ,    ,...,    ,    ,...,      n n в следующем виде:Fij 0  ,  klc 0 ,  pq0  Fij  ,  klс 0 ,  pq0 ,nijс 0k0l0с nknlnnpn qn0p0 q0n Fij  ,  klс n  ,  pqn   Fij  ,  klс n 1 ,  pqn 1  , n  .(1.16)Введенные таким образом функции определенны корректно, поскольку, применяяформулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано [44] для функции Fij ,получим ( n  ):Fij    klс nnFij  pqFijnc cc n1kl  kl  kl pq  pqn1 pqc n1 klc  kl  pq  pqn1 o  n   O 1 , при   0 .Построенный на основе функций (1.16) формальный рядs 0sFijsдействительноопределяет асимптотическое разложение для ij . , так как, вновь используяформулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для Fij , имеем:nij      s Fij s   ij    Fij  ,  klс n  ,  pqn  s 0  n Rkl  c n Fijc c c n kl  kl  kl pq  pqn   n R pq n Fij pqc n klc  kl  pq  pqn  o  2 n   o  n  , при   0.20Подставляя разложениеs 0sFijsв (1.15) и приравнивая коэффициенты при  n вправой и левой части полученной формулы, будем иметь: ijс n  Fij n  ,  kсl0 ,...,  kсln ,  p0q ,...,  pnq .