Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 6

Отметим, что отнесение членов,содержащих компоненты  IJc 0,0 ,  IJc 0,1 ,  IJc1,0 тензоров деформаций ползучестисоответствующих приближений в правые части уравнений равновесия (1.76)(1.77) при их фактической зависимости от неизвестных функций указанныхуравнений, основано на соображении применения для решения этих уравненийявных разностных схем по временному параметру. В этом случае правые частиявляются известными функциями, вычисленными на предыдущих шагахразностной схемы.Получим теперь выражения для граничных условий к уравнениям (1.76)(1.77). Подставляя для этого разложения (1.64), (1.67)-(1.68) в выражения длякомпонент перемещений (1.47)-(1.48) и далее полученные формулы - в левую37часть граничных условий в системе (1.2), а представление граничныхперемещений (1.6) в допущении 3 - в правую часть, получим:vI    vI     I v3   CI31s 3Cs 3KL010 CI31s 3Cs 3 KL KLc 0,0 eKL v  O  2   uI     uI   , на T ,b 0L 0 b1(1.79)v3 0  O    u3b 0 , на  .

(1.80)Таким образом, при наложении на функции vi 0 , vI1 , являющиеся неизвестными вуравнениях равновесия (1.76)-(1.77) следующих граничных условий:vi 0  uib 0 ,vI1  u Ib1 , (1.81)vn(0)3 0,граничные условия исходной задачи (1.2) оказываются выполненными сточностью до членов O   . Следует отметить, что в частном случае моноклинныхматериалов условия (1.81) обеспечивают выполнение граничных условий дляпродольных перемещений с точностью до членов O  2  , при условии u3b 0  0 , чтобудет обоснованно в пункте 1.8. Необходимость введения граничных условий нанормальные производные от функцийv3(0)обусловлена увеличением порядкапроизводных от прогибов в уравнениях (1.76)-(1.77) относительно исходнойсистемы (1.2).Объединяя найденные граничные условия (1.81) и уравнения равновесия(1.76)-(1.77), получим систему уравнений начального приближения:  CIJKL  J eKL v L 0   J f IJT  0 ,L 0 M 02  2IJ f IJ   , (1.82) BIJKL  IJ eKL v (0)b 0 vI   u I   .38и для первого приближения:C  e v L1  B    v (0)    f T 1 ,IJKL J KL3J IJ IJKL J KL B  2 e v L1  D  2  v (0)  p   2 f M 1 ,IJKL IJ KL  3 IJ IJ IJKL IJ KL (1)b 1(1.83) vI   u I , (0)b 0 v3   u3 , (0) v3 n  0.  Для замыкания систему (1.82) необходимо рассматривать совместно с системой(1.69), а систему (1.83) - совместно с системами (1.70) и (1.73).

Особенностьюсистем (1.82)-(1.83) является то, что неизвестными функциями в ней являютсявектор-функции двух измерений ζ0  v L0   v1(0) v2(0)  для системы (1.82) и трех1110измерений ζ   v1  v2  v3  для системы (1.83). Отметим также, что системы(1.82)-(1.83), в силу присутствия в правой части решений систем обыкновенныхдифференциальных уравнений (1.69)-(1.70) и (1.73) являются нелинейными (вобщем случае) системами дифференциальных уравнений в частных производных.Наличие третьего уравнения в системе (1.82) при двух неизвестных функцияхvI(0)показывает,чтодлясуществованиярешенияможетпотребоватьсянакладывать дополнительные условия на входные данные системы (граничныеусловия, тензоры свойств материалов).

Для практического решения задачи (1.82)удобно заменить ее задачей более простого вида, подобного задаче (1.83):CIJKL  J eKL v L 0  BIJKL  J KL  v3(0)    J f IJT  0 , B  2 e v L 0  D  2  v (0)   2 f M  0 ,IJKL IJ KL  3 IJ IJ IJKL IJ KL (0)b 0 (1.82’) vI   u I , (0)v3   0, (0) v3 n  0.  39Эта система содержит в качестве неизвестной функции функцию фиктивногопрогибаv3(0) .Если данная система имеет решение ζ0   v1(0) v2(0) v3(0)  иζ    v1(0)v2(0) ζ    v1(0)0v2(0)  - решение системы (1.82), то ζ    v1(0)00v3(0)  0 ,тобудет являться решением системы (1.82).

Напротив, еслиv2(0)0  будет решением(1.82’). Следует отметить, что при нулевых граничных условиях начальногоприближения по продольным перемещениям uIb 0  0 из допущения 4 вытекает,что система (1.82) имеет тривиальное решениеvI(0)  0 ,в чем можно убедитьсянепосредственной подстановкой. Исследование существования и единственностирешения систем (1.82) и (1.83) без учета ползучести будет проведено в пункте1.11 настоящей работы.Явный вид соотношений для вычисления компонент вектора перемещений,тензоров деформаций и напряжений можно получить, подставляя разложения(1.67)-(1.68) и (1.74) в (1.47)-(1.53).

В частном случае моноклинных материаловэти соотношения будут приведены в следующем пункте.1.8.Моноклинные материалыПолученные ранее соотношения справедливы без ограничения на типанизотропии материалов слоев пластины. В инженерной практике чаще всегоприменяются моноклинные (и в частности ортотропные) материалы, для которыхтензор моделей упругости 4 С . имеет не более 13 независимых компонент.Немоноклинные материалы используются сравнительно редко – это обычнокристаллические материалы, применяемые в электротехнике.Для моноклинных материалов матричное представление компонент тензорамодулей упругостиCijklимеет следующий вид [21]:40 C1111(Cijkl )66   C1111 C1122C2222симм.ТакаяматрицасвязываетC1122C1133C1112C1113C2222C2233 C2212C2213C3333C3312C3313C1212C1213симм.C1133C1123 C2223 C3323 C1223 C1323 C2323 C1313C11120C2233 C22120C3333C33120C121200 0 0 .0 C1323 C2323 C1313столбцыкомпонент(1.84)тензоровнапряженийидеформаций:   6ij 1 22  33 12 13  23  ,  ij 1  11  22  33 212 213 2 23  ,T11 6ij 16T C  ij  .16Из вида этой матрицы следует, что матрица C   C ij  Ci 3 j 3 3 для моноклинных3материалов принимает вид: C1313C   C1323C 1333C1323C2323C2333C1333   C1313 C2333    C1323C3333   0C1323C232300 0 .C3333 (1.85)Далее, из (1.84) и (1.85) (поскольку обратная матрица C 1 имеет ту же структуру)вытекает следующая формула для вспомогательных компонент111Z IJK  CI313C13 JK  CI323C23 JK  CI333C33 JK  0.Z IJK  CI31s 3Cs 3 JK :(1.86)Последние формулы позволяет упростить часть полученных ранее соотношений вслучае моноклинных материалов.

В частности, введенные в допущении 2компоненты Cˆ IJKL принимают вид:41C CCˆ IJKL  CIJKL  CIJp3C p31s 3Cs 3 KL  CIJKL  CIJP3 Z PKL  CIJ 33C331s3Cs3 KL  CIJKL  IJ 33 33 KL . (1.87)C3333Далее, для моноклинных материалов в нуль обращаются следующие функциив формуле (1.78):2 IJKLM    Z IKL MJ  Z JKL MJ   0 , K IJKLM  Cˆ IJPQ  PQKLMK IJKLM   Cˆ IJPQ  PQKLMc 0,0CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  M  KL c 0,0  CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  M  KL  Z SIJ Cˆ SMKL Z SIJ Cˆ SMKLc 0,0 Z SIJ Cˆ SMKL  M  KL 0,0,c 0,0  Z SIJ Cˆ SMKL  M  KL 0, 0.

(1.88)Вследствие последних соотношений функции в правой части системы (1.83)допускают упрощение следующего вида:T 1c 0,0c 1,0c (0,1)f IJ     Cˆ IJKL KL Cˆ IJKL  KL    KL   ,M 1f IJРассмотримc 0,0c 1,0c (0,1)   Cˆ IJKL KL  Cˆ IJKL  KL    KL   .теперь,какупрощаютсядля(1.89)моноклинныхматериаловсоотношения для начальных членов асимптотических разложений перемещений(1.47)-(1.48).

Учитывая формулы (1.85)-(1.86), начальные члены ФАР дляперемещений могут быть представлены в виде:uI1  uI 0   I u3 0 , C10u3   u3     33 KL C3333 0 KLC33 KL c 0 KLC3333  33c 0 (1.90). Таким образом, формулы для продольных перемещений, получаемые на основеасимптотического метода в случае моноклинных материалов совпадают сформулами, получаемыми на основе классических теорий типа Кирхгофа-Лява42[7]. Аналогичным образом упрощаются формула для граничных условий дляпродольных перемещений (1.79):vI    vI    I v3   O  2   uI     uI   , на T .

(1.91)010b0b1Если же дополнительно, кроме граничных условий (1.81) выполнено условиеu3    0 , то имеем:b 0 I v3v3 v  I  3 nI  0 ,τ n 000где τ - вектор касательной к кривой  . Тогда из (1.91) вытекает, что в указанномслучае граничные условия для продольных перемещений в системе (1.2)выполнены с точностью до членов O  2  .Соотношения для напряжений (1.51)-(1.53) в случае моноклинных материаловтакже допускают значительное упрощение.

Учитывая разложения (1.67)-(1.68) и(1.74), а также формулы (1.86) и (1.88), соотношения для изгибных и сдвиговыхнапряжений примут вид (верхний индекс – наибольший порядок удерживаемыхчленов): c 0,0  c 0,1c1,0  IJ1  Cˆ IJKL eKL v L 0   KL  Cˆ IJKL eKL v L1   KL KL v3 0   KL cKL0,0  . (1.92)Выражения для напряжений межслойного сдвига:   e  v     Cˆ        Cˆ  e  v     Cˆ       Cˆ   Cˆ    v    Cˆ       . I 23    Cˆ IMKL 2 2L 0M KLIMKLL1IMKLM KLIMKLMKLIMKL03IMKLMMMc 0,1KLc 1,0KLc 0,0KLIMKLM cKL 0,0   (1.93)43Выражения для нормальных напряжений: 333   2  Cˆ MNKL  2MN eKL vL 0   Cˆ    e  v   Cˆ  Cˆ   v   Cˆ 3  Cˆ MNKL 3MNKLL 12MN KL2MN  03      p3  2MN  KL   Cˆ 2MN  KL   .c 0,1MNKLKL 2MN  KLc 0,0 MNKL c 1,0 MNKL p   1/ 2    2MN  KLc 0,0 MNKL    (1.94) Данные соотношения позволяют вычислять компоненты тензора напряжений, наоснове решений vi 0 , vI1 осредненных задач (1.82)-(1.83).Вариационные уравнения осредненных задач1.9.Выведем в данном пункте вариационные уравнения для осредненных задач(1.82)-(1.83) с целью последующего применения для их решения метода конечныхэлементов.Пусть C n  a, b; X  - множество функций  :  a, b  X , n раз непрерывнодифференцируемых по первому аргументу, X - некоторое множество.

ПустьwiJ 1 C1 0, T ; C1    , w3 J 1условиям wIJ 1w3nJ 1 J 1 C1 0, T , C 2    - функции, удовлетворяющие граничным w3 0 . Тогда, умножив первые два уравнениясистемы (1.82) на функции wI 0 и складывая, а третье на функцию w3 0 ипроинтегрировав по области  , получим:CBIJKL  J eKL ζ  wI  d      J f IJ 0IJKLT 00   w d     2IJ eKL ζ0032IJζ   w d  ,M  0f IJ00Iζ   w d  .00344В этих соотношениях явно указана зависимость правых частей от неизвестныхфункций.

Применяя для интегралов в первой формуле один раз, а для второйдважды теорему Грина [63], учитывая граничные условия, наложенные нафункции wi 0 и симметрию по индексам функцийCIJKLи f IJT  0 ( I  J , K  L ),получим:C w   e  v   d    f    v    e  w  d  , (1.95)0eIJKL IJL 0T 0IJKLL 00IJ BeIJKL KL v     f    v   L 0M 0IJL 02IJw3  d   0 . (1.96)0Аналогично, умножая первые два уравнения в (1.83) на wI1 , а третье на w31 ,складывая полученные соотношения и интегрируя по области  , получим: CIJKL  w d    J eKL ζ1  BIJKL  J KL ζ11I  w d     BIJKL  2IJ eKL ζ   DIJKL  2IJ KL ζ 11 13  w d .    J f IJT 1 ζ1 wI1 d    p   2IJ f IJM 1 ζ113Вновь применяя один и два раза теорему Грина к соответствующим слагаемым иучитывая граничные условия на функции wi1 и симметрию по индексам функцийCIJKL , BIJKL , DIJKLи f IJT 1 , f IJM  0 ( I  J , K  L ), получим: Ce ζ    B1IJKL KL    KL ζ1 eIJ w 1 d  IJKL      BIJKL eKL ζ   DIJKL KL ζ   IJ w   d  1   11(1.97)      f IJT 1 ζ1 eIJ w 1 d    pw31  f IJM 1 ζ1  IJ w 1 d .Обозначим для некоторого функционального пространства X и области G :Cr  X   X , G  G , если ползучесть отсутствует (т.е.