Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 2

Отметим работы, проведенные на кафедре ФН-11 МГТУ им. Баумана подруководством Ю. И. Димитриенко совместно со своими учениками: КашкаровымА. В. в [30], где предложен конечно-элементный метод расчета эффективныхупругих характеристик композиционных материалов; Соколовым А. П. в [32], помногомасштабномумоделированиюупругихсвойствкомпозитов;Е.С.Ничеговским в [31] по моделированию магнитных свойств композиционныхматериалов; С. В. Сборщиковым совместно с Е. А. Губаревой в работе [23], помногомасштабномумоделированиюупругопластическихсвойствиповреждаемости композитов, и совместно с А. П. Соколовым в работе [88], вкоторой рассматривается задача моделирования прочностных характеристик имикроразрушения композиционных материалов и др.Непосредственное применение общей трехмерной процедуры осреднения дляпериодических сред [6] к тонкостенным телам не представляется возможным всвязи с отсутствием периодичности по нормальной координате.

Применение7методаасимптотическогоосреднениядляпластинпридополнительномпредположении о линейной зависимости начальных членов асимптотическихразложений продольных перемещений от нормальной координаты былопроведено в работах R. V. Kohn и M. Vogelius, A. G. Kolpakov, С. В. Шешенина иО. А. Ходоса [95, 96, 70-71]. Вариант метода осреднения для тонких пластин бездополнительных допущений относительно неизвестных функций, но c наличием васимптотических разложениях для вектора перемещений и тензора напряженийчленовприотрицательныхстепеняхмалогогеометрическогопараметра(характеризующего относительную толщину пластины) предложен в работах С.А. Назарова [1, 55-56]. Отметим также работы Г.

П. Панасенко, М. В. Резцова[57], T. Lewiński в [97], T. Lewiński и J. J. Telega в [98], Yuanwu Cai, Liang Xu,Gengdong Cheng [106] и др., в которых подобный вариант метода применяется длядвоякопериодических тонких пластин.Новый подход к построению процедуры осреднения трехмерных уравненийтеории упругости с целью получения теории тонких пластин, без дополнительныхпредположений о распределении неизвестных функций по толщине пластины, недопускающийвозникновениячленовприотрицательныхстепеняхгеометрического параметра в асимптотических разложениях для вектораперемещений и тензора напряжений был предложен Ю.

И. Димитриенко в работе[18].Вработе[40]проведенанализточностиуказанноговариантаасимптотического метода, продемонстрировавший его высокую точность,которуютрехмерныйконечно-элементныйметодобеспечиваетприиспользовании очень мелких сеток. В дальнейшем метод был применен дляпластин с двупериодической структурой [22] и пластин с учетом эффектоввязкоупругости [24, 29].Данная работа посвящена распространению указанного подхода на задачуползучести (деформации ползучести моделируются в рамках теории типа теориитечения) многослойных тонких пластин.Актуальностьтемы.Разработкаметодарасчетанапряжённо-деформированного состояния многослойных тонких пластин с учетом ползучести,8основанном на асимптотическом анализе трехмерных уравнений механикидеформируемого твердого тела, как математически наиболее строгом подходе кзадаче получения системы уравнений пониженной размерности, являетсяактуальной в авиационной, атомной, космической и других областях, в которыхприменяются тонкостенные пластинчатые элементы конструкций, подверженныеэффектам ползучести.

В частности такой метод может быть использован прирасчетах прочности и долговечности конструкций корпусов и внутренних частейэнергетических силовых установок.Нерешенностьэтойактуальнойпроблемыобусловилацельданнойдиссертационной работы: разработка математического аппарата и численногометода моделирования напряженно-деформированного состояния многослойныхтонкихпластинсучетомэффектовползучестинаосновеметодаасимптотического осреднения.Задачами настоящей работы являются:- разработкаасимптотическогометодарешениязадачползучестимногослойных тонких пластин;- разработкаконечно-элементногодеформированногосостоянияметодамногослойныхрасчетатонкихнапряженно-пластинсучетомдеформаций ползучести;- численное исследование эффектов в многослойных тонких пластинах,обусловленных сочетанием факторов тонкостенности пластин и наличияэффектов ползучести материалов слоев.Методыисследования:исследования.методВработеасимптотическогоиспользованыосреднения,следующиечисленныеметодыконечно-элементные методы решения задачи трехмерной теории упругости, численныеконечно-элементныеметодырешениядвумерныхосредненныхзадачасимптотического метода расчета напряженно-деформированного состояниямногослойных тонких анизотропных пластин с учетом ползучести, численныеконечно-разностные методы решения дифференциальных уравнений, численныеметоды решения интегральных уравнений Вольтерры второго рода.9Научная новизна работы состоит:- вразработкеасимптотическогометодарешениязадачползучестимногослойных тонких пластин;- в разработке нового варианта конечно-элементного метода для тонкихпластин, основанного на применении смешанного вариационного принципаХеллингера-Рейснера и построения решения с использованием аппроксимацииБелла для функций прогиба и аппроксимации трикубическими полиномамиБиркгофа для продольных перемещений.На защиту вынесены следующие положения: асимптотический метод решения задач ползучести многослойных тонкихпластин; конечно-элементныйметодрасчетанапряжённо-деформированногосостояния многослойных тонких пластин с учетом эффектов ползучести.Достоверность результатов обусловлена корректной постановкой задач,применением математически обоснованных методов их решения, сравнениемрезультатов расчетов с результатами, полученными другими методами.Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались наследующих конференциях:- на научной конференции «Фундаментальные и прикладные задачимеханики», посвященной 135-летию кафедры теоретической механики именипрофессора Н. Е. Жуковского, февраль 2013;- на III международной научно-технической конференции «Аэрокосмическиетехнологии», посвященной 100-летию со дня рождения академика В. Н.

Челомея,май 2014;- намеждународнойнаучнойконференция«Физико-математическиепроблемы создания новой техники (PhysMathTech - 2014)», посвященной 50летию Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н. Э.Баумана 17-19 ноября 2014 года. 2014;10- на международной конференции «Multiscale Modeling and Methods:Upscaling in Engineering and Medicine», Bauman Moscow State Technical University,Moscow, June 25-27, 2015.- на семинаре «Актуальные проблемы вычислительной математики имеханики» под руководством проф.

Ю. И. Димитриенко, 2012-2016 гг.Публикации. Основные результаты отражены в 11 научных работах [25-28,33-38, 86], в том числе в 10 статьях [25-28, 33-38], включенных в переченьроссийских рецензируемых научных изданий и в 1 научной публикации [26] визданиях, входящих в международную базу данных и систему цитированияScopus.Структура и объем работы: диссертация состоит из 3 глав, введения,заключения и списка использованной литературы из 110 наименований. Объемдиссертации 141 с.11ГЛАВА 1. РАЗРАБОТКА АСИМПТОТИЧЕСКОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯЗАДАЧ ПОЛЗУЧЕСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН1.1.Постановка трехмерной задачи ползучестиРассмотрим многослойную (имеющую m слоев) пластину, занимающуюограниченную область   x  n h : x ,   1 2 , 1 2  3, где  - срединнаяплоская поверхность с нормальным вектором n  и липшицевой границей [63]   , h - постоянная толщина пластины, для которой   h / L  1 - малыйгеометрический параметр ( L - характерный линейный размер области  ,например L  diam() ),  - безразмерная нормальная координата пластины.

Награнице рассматриваемой области  выделим внешнююторцевую T  x  n h : x ,   1 2 , 1 2 поверхности:    T  и  x  n h / 2 : x   x  n h / 2 : x внутреннюю. Введем поверхность раздела,k-го и k  1 -го слояпластины ck  x  n hk : x  , k  0, , m  1 , соответствующую множеству точекm  0 ,..., m1 из отрезка  1 , 1  . Будем обозначать  f   - скачок некоторой 2 2kфункции f через поверхностьk  0, ck:  f    fk k  0f k  0,f  k  0 lim f  x1 , x2 , x3  ,x3 hk  0, m  1 ; n  n - векторы внешней нормали к поверхностям  ;  t -оператор частной производной по времени (  t ); T t- верхний пределмоделирования по времени.

Тогда в области 0,T    , рассмотрим краевую задачумеханики деформируемого твердого тела c учетом деформаций ползучести,моделируемых в рамках теории типа теории течения [19-20]:12  σ  0,4cσ  С   ε  ε  , cc t ε  F   , ε , σ  ,ε  def (u)  1    u  (  u)T  ,2 n  σ  k  0,(1.1)u  k  0, cε  0  0,σ   n    p n  ,bu T  u .Данная система состоит из уравнений равновесия (σ- тензор напряжений),определяющего соотношения ползучести ( 4 С , ε , ε c - тензоры модулей упругости,деформаций и деформаций ползучести), определяющего соотношения дляскоростей деформаций ползучести ( F - тензорная функция, определяющая модельползучести), соотношений Коши ( u - вектор перемещений), условий идеальногоконтакта на поверхности ck, начального условия для тензора деформацийползучести, граничных условий на внешней и внутренней поверхности пластиныи граничного условия на торцевой поверхности T .

Модель ползучести можетразличаться для разных слоев пластины, что отраженно в зависимости функции Fот нормальной координаты  .Будем далее полагать, если не оговорено иное, что индексы, обозначенныестрочными буквами i, j, k , l , , пробегают значения из множества 1, 2,3 , а индексыI,1, 2 . Введем прямоугольные декартовые координаты Oxi , ориентированныетаким образом, что осьOx3направлена по орту n  , а осиOx Iпринадлежат  ; атакже соответствующие безразмерные координаты qi  xi / L и безразмерныйвременной параметр   t / t0 ( T  T / t0 ), где t0 – характерное время процессаползучести.