Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 8

Разрешимость осредненных задач без учета ползучестиИсследуем в данном пункте вопросы разрешимости задач (1.76)-(1.77) влинейном случае (без учета ползучести). В этом случае, функционалы правыхчастей в условиях (1.100), (1.100’) и (1.101) слабых решений задач (1.82)-(1.83)принимают вид:f T  0  u, w   f M  0  u, w   0, u, w  H 21    ,(1.107)f T 1  u, w   f T 1  w    f IJT 1eIJ  w d  ,f M 1  u, w   f M 1  w    pw3d    f IJM 1IJ  w d  , ,f IJ    K IJKLM  M eKL ζT 10M 1f IJ   , u, w  H     . (1.108) K IJKLM  M eKL ζ01351Такимобразом,H 2 n     H 2 n   подмножествоn являетсяподпространством.Существование слабого решения задачи (1.82) описывается следующейтеоремой.Теорема 2.

Пусть выполнено допущение 2, а также существует такая функцияω 0  H 21    , что выполнено условие (1.98). Тогда слабое решение ζ 0  H 21   задачи (1.82) существует и единственно, независимо от выбора функции ω 0 .Доказательство. Докажем сначала, что отображение BNS .,. непрерывно вH 2 n     H 02   n . Действительно, из неравенства Коши-Буняковскогоu  H 2 n    , w  H 02    имеем:BNS  u, w  c2eu   I ,Jгде c2 2и eu BIJKL2w3  d   c2 unH3    w3H 02   ,  e  u d  . Таким образом, подпространство2IJH 2 n     I ,JI ,J ,K ,Lзамкнуто,2IJпосколькуеслиu.  uk  H 2n , k -последовательность,сходящаяся к элементу u  H 2 n    , то w  H 02    :BNS  u, w  BNS  u  uk , w  c2 u  ukw H 2    0 .nH 2    0k Далее из неравенства Коши-Буняковского имеем непрерывность билинейнойформы BSM .,. на H k1     H k1    при k  2,3 , поскольку u, w  H k1    :BSM  u, w   c1euew  c1 uгде c1 I ,J ,K ,L2CIJKL.H k    1wH k    1,52Докажем теперь коэрцитивность формы BSM .,. на V21    .

Действительно,w V21   из условия (1.5) равномерной положительной определенности тензораCˆ IJKL имеем:BSM  w, w    Cˆ IJKL eIJ  w  eKL  w  d    1ew2 .Далее, применив для члена ew   e  w d  первое неравенство Корна, получим:2IJ I ,JBSM  w, w    1сK w12H 01    w22H 01    с1 Kw2H 2    1, (1.109)где сK  0 – константа в неравенстве Корна.Таким образом, из теоремы Лакса – Мильграма следует, что существует иединственен такой элемент z  H 21    V21    , что w  H 21     V21    :0BSM  z, w    BSM ω  , w .Но тогда элемент ζ0  z  ω0  H 21    будет слабым решением задачи (1.82).Докажем единственность решения и независимость от выбора ω 0 . Пустьω 0 , ω 0  H 21    – функции, удовлетворяющие условию (1.98) и следовательно,ω 0  ω 0  H 21     V21    .

Тогда если ζ 0 , ζ 0 – два слабых решения задачи (1.74)соответствующих функциям ω0 , ω0 , то векторы ζ0  ω0 и ζ0  ω0 принадлежатпространству H 21    V21    . Следовательно: 0000000011ζ   ζ   ζ   ω   ζ   ω   ω   ω   H 2      V2     .Тогда, вычитая условия (1.98), записанные для каждой из функций ζ 0 , ζ 0 ,полагая в полученном соотношении w  ζ0  ζ0 и пользуясь коэрцитивностьюформы BSM .,. (1.109), будем иметь:5300ζ   ζ 21H2Т.е.ζ0 10000BSM ζ   ζ  , ζ   ζ   0 . 1сKи ζ 0 совпадают как элементы H 21    .

Теорема доказана.Аналогично доказанной теореме, существование слабого решения задачи(1.83) обеспечивается следующей теоремой.Теорема 3. Пусть выполнено допущение 2, p , p  L2    и существует слабоерешение задачи (1.82), причем ζ0  H 2 2    . Тогда слабое решениеζ 1задачи(1.83) существует и единственно независимо от выбора функции ω1 .Доказательство.Докажем,билинейнаяB .,.форманепрерывнавДля формы BNS .,. из неравенства Коши-Буняковского имеем:H 31     H 31    .BNS  u, w   c2  euw  u ew   c2где u чтоe2u u2  ew2  w2   c2 u   u d  . Аналогично, для формы2IJH3    1wH3    1, u, w  H31    ,BSF .,. из неравенства Коши- I ,JБуняковского u, w  H31    получаем:BSF  u, w   c3uw  c3где c3 e2u u2  ew2  w2   c3 uH3    1wH3    1,2. Таким образом, билинейная форма B .,. непрерывна вDIJKLI ,J ,K ,Lпространстве H31     H31    :B  u, w   BSM  u, w   BSF  u, w   BNS  u, w   max  c1 , c2 , c3  uH3    1wH3    1.Докажем теперь коэрцитивность формы B .,. в V31    .

Для этого заметим,что, с учетом формул (1.62), она может быть представлена в виде ( u, w  H31    ):B  u, w    Cˆ IJKL  eKL  u   KL  u    eIJ  w   IJ  w   d  .54Но тогда из условия равномерной положительной определенности тензора Cˆ IJKL(1.5) w V31    имеем:  e  w     w  B  w, w    1 IJВыражение w 2IJI ,J2 d    1 ew2   2 w2   1  ew2  w  .

(1.110)12    w d  представляет собой норму2IJ I ,J1. H 2    , эквивалентную0норме пространства Соболева H 02    [17]. И в частности:w31H 02    с w3H 02   ,c  0 .Тогда, применяя для выражения ew2    eIJ2  w d  в (1.110) первое неравенство I ,JКорна, а для  w2 - последнее неравенство, будем иметь:B  w, w    1  сK w1 w22H 01   2H 01     12c w23 H 02   c   1 min(сK , ) w122H3    1.(1.111)Здесь сK  0 – константа в неравенстве Корна.

Таким образом, билинейная формаB .,. - коэрцитивна в V31    .Далее для функционалов f T 1 . и f M 1 . из неравенства Коши-Буняковскогоw  H 31   fT 1имеем: w   ew    f IJT 1  d   c4 I ,JI ,J2f M 1  w    p  d   w23где c4 I , J , K , L,M2d   w2K IJKLM, c5   f I ,J eIJ ζ0M 1IJ2H1 wH 3    1 d    p c4 ζ2L2   02H 2     c5 ζ 0w2H 2    H 3    1 w,H 3    1,2K IJKLM.

Таким образом, эти функционалыI , J , K , L,Mнепрерывны в гильбертовом пространстве H 31    . Тогда, согласно теореме ЛаксаМильграмма, существует и единственен такой элемент z V31    , что:55B  z, w   f T  w   f M  w   B ω  , w , w V3     .Но тогда элементζ    z  ω 1111является слабым решением задачи (1.83).Доказательство единственности решения и его независимости от выбора ω1производится аналогично теореме 2. Теорема доказана.1.12. Примеры моделей ползучестиРассмотрим в данном пункте некоторые модели ползучести материалов слоевпластины, которые будут применяться в главе 3 при решении задач.

Материалыслоев будем предполагать изотропными. В качестве основной модели выберемстепенную модель ползучести вида:22 r  1      uc     u   σ  1 I1  σ  E  . (1.112)F  , ε , σ  1     T     3cЗдесь  - коэффициент стабилизации ползучести,нелинейности деформаций ползучести,  r 3- показатель- коэффициент вязкости,  T -характерное значение напряжений, E - единичный тензор второго ранга, I1 . первый главный инвариант тензора второго ранга:I1  T   T E ,.u - интенсивность тензора второго ранга:11 Tu   T  I1  T  E    T  I1  T  E  .33 Для тестирования конечно-элементного метода, который будет предложен вовторой главе, будет использован линеаризованный вариант модели (1.112) вида:56F  , ε c , σ  1 1 σ  I1  σ  E  .

(1.113)    3Такая модель позволяет получить явное аналитическое решение тестовых задач.Нетрудно видеть, что выбранные таким образом функции моделей ползучестиудовлетворяют условиям в допущении 4.Для получения дальнейших соотношений, граничные условия нулевогоприближения на продольные перемещения будем предполагать нулевыми, т.е.:uI    0 .b 0В этом случае, как уже было отмечено в пункте 1.7, система (1.82) имееттривиальное решениеvI(0)  0 ,что влечет обращение в нуль тензоров деформацийи напряжений нулевых приближений: ijс (0,0)  0,(1.114) (0,0) ij  0.Учитывая эти соотношения и формулу (1.16), функции Fij1 в системах (1.70) и(1.73) для моделей, определяемых функциями (1.112)-(1.113), примут вид (длякраткости аргумент  будем опускать):с(0,0)Fij1  kс0(0,0)l0 ,  k1l1 ,  p0 q0 ,  p1q12r1   2  uc  12r   u 1        ij   ij kk  , (1.115)3  T   2с(0,0)Fij   kс0(0,0)l0 ,  k1l1 ,  p0 q0 ,  p1q1 111  ij   ij kk  .

(1.116)3На основе последней формулы, система (1.70) для модели (1.113) примет вид(   0,T  ):57  L1c (0,1) (0,1)  Cˆ  KL,IJKL eKL v IJ (0,1)  0, i3(1.117) c (0,1) 1  (0,1) 1   ij   ij kk(0,1)  , ij3 c (0,1) 0. ij  0Из второго, третьего уравнения и начального условия в этой системе следует: Ic3 0,1  0. (1.118)Тогда, подставляя первое уравнение в третье, получим неоднородную системуобыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентамиотносительно компонент  IJc 0,1 тензора деформаций:     c (0,1) 1  ˆL 1ˆ 11c (0,1)  2Cˆ1122  Cˆ 222211  3  2C1111  C1122 e11 v c (0,1) 1  ˆL 1ˆ 11c (0,1)  2Cˆ 2222  Cˆ1122 22  3  2C1122  C1111 e11 v c (0,1) 2 ˆL1 12c (0,1) ,12  C1212 e12 vc(0,1) 0. IJ  0    e  v       ,L122c (0,1)22  e  v       , (1.119)L122c (0,1)22Для решения данную систему удобно представить в матричной форме.