Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 11

Применение аппроксимации Белла для функций прогибаКак уже было отмечено в пункте 1.10, применение вариационных уравненийвариационного принципа Хеллингера-Рейснера не позволяет понизить порядокпроизводных от прогибов  30 m ,  31 m . Таким образом, для того, чтобы оставатьсяв рамках конформного метода конечных элементов [69] в случае, когда h   (вчастности, необходима справедливость включения X hu3  H 2  h  ), согласнотеореме вложения Соболева [54, 73], требуется такой выбор множеств PKu3 , DKu3 ,чтобы имела место непрерывность самой функции p  X hu3 и ее первойпроизводной при переходе через межэлементную границу, т.е.

X hu3  C1  h  . Какбыло отмечено в книгах [10, 67], использование кубических полиномов (безкорректировки вида вариационного уравнения) не гарантирует непрерывностипервой производной. Из теоремы Женишека [69, 109-110] следует, чтоминимальный порядок полинома двух переменных на треугольнике K , которыйдопускает выполнение этого условия, есть пятый порядок (т.е. необходимоположить PKu3  P5  K  ). Случай PKu3  PKA  P5  K  позволяет достичь максимальныйв рассматриваемом случае порядок аппроксимацииO  h4 в норме . H2 h [69], асоответствующие степени свободы могут быть выбраны в виде (аппроксимацияАргириса [69, 75]):DKA   p  A i  ,1  i  3,   2, ni p  A ij  , j  1  i mod 3,1  i  3, , (2.25)где A i - точки в вершинах треугольника K ,A ij- точки в средине сторон, n i -вектор нормали к соответствующей стороне li ,  n - производная по нормали кili , i  1 3 .

Данная аппроксимация имеет недостаток технического характера,связанный с различием числа степеней свободы в вершинах и в узлах насерединах сторон K , что усложняет компьютерную реализацию даннойаппроксимации. Альтернативный поход, который будет применяться в даннойработе, состоит в исключении степеней свободы на сторонах треугольника путем74наложения на элементы пространстваPKAусловия кубичности нормальнойпроизводной к сторонам K :u 3PK    PKB  p  P5  K  : ni p  P3  li  ,1  i  3 , (2.26)DK   DKB   p  A i  ,1  i  3,   2 .u 3(2.27)Полученная таким образом аппроксимация называется аппроксимацией Белла[78]. В отличие от аппроксимации Аргириса, для пространстваPKBвключение P4  K   PKB , что снижает порядок аппроксимации до.

H 2 hвыполняетсяO  h3 в норме[69]. Примеры применения аппроксимаций типа Аргириса и Белла дляпостроения конечных элементов пластин и оболочек можно найти в работах [11,76, 82, 83].Непосредственный вывод функций формы для данной аппроксимации можетбыть осуществлён следующим образом. Пусть m5  q1 , q2  - столбец мономов отдвух переменных до 5-го порядка включительно (содержащий 21 элемент):m5  q1 , q2   1 q1 q2 .5 Tq2Обозначив через D вспомогательный оператор-строку вида (соответствующийвыбранным степеням свободы (2.27)):D  1 12211212 222  ,введем следующую матрицу B :B   D  m5A1D  m5A2D  m5A3 5 m5 4 τ1n1 5 m5 4 τ 2n 2 5 m5 , 4 τ 3n3 (2.28)где τ i - вектор касательной к стороне li , i  1 3 .

Тогда столбцы коэффициентов  iпри мономах m5 .,. для i -й функции формы iB аппроксимации Беллаудовлетворяют следующей системе линейных уравнений ( i  1 18 ):75BT i  ei ,где ei - столбец с элементамиeik   ik , k  121 . Таким образом, функции iB могутбыть представлены в следующем виде:iB  q1 , q2   iT m5  q1 , q2   eiT B1m5  q1 , q2  .

(2.29)Вычисление матрицы B и функций формы iB может быть проведено в одном изпакетов символьных вычислений (Mathematica, Maple и т.п.). Явный вид функцийформы iB для стандартного треугольника (с вершинами в точках 1 0  ,  0 1 ,00  ) приведен в книге [53], но так как треугольник (аппроксимация) Белла (итреугольник Аргириса) не обладает свойством аффинной эквивалентности [69] (вотличие, например, от лагранжевых конечных элементов), то при получениивыражений для произвольно расположенных на плоскости треугольниковнеобходимо использовать общие соотношения (2.28)-(2.29).2.3.2. Применениеаппроксимациикубическимиполиномамидляобобщенных деформацийВыбор в предыдущем пункте в качестве аппроксимации для прогибоваппроксимации Белла индуцирует (в силу вида дифференциального оператора L(2.10)) выбор соответствующих пространств обобщенных деформаций PK i  ,i46как пространств кубических полиномов на треугольнике K (содержащих10 коэффициентов): PK  4  PK  6  P3  K пункта 2.2 положим, что PK 1 степеней свободы DK 1  DK 6.

С целью использования результатов PK  6  P3  K . В качестве соответствующихбудем использовать стандартные лагранжевыстепени свободы для кубической аппроксимации [43, 66, 77]:76 1DK   p  Ai  , p  AijJ  , p  C  , j  1  i mod 3,1  i  3,1  J  2 ,гдеAijJ- точки на сторонах треугольника K , C - барицентр треугольника K (рис.2.2). Столбец функций формы при таком выборе степеней свободы имеетследующий вид: L1  3L1  1 3L1  2   L2  3L2  1 3L2  2   L3  3L3  1 3L3  2   9 L1 L2  3L1  1  9 L L  3L  1 1 22 .

(2.30)2   9 L3 L1  3L1  1  9 L L  3L  1 3 13 9 L2 L3  3L2  1  9 L2 L3  3L3  1 54 L1 L2 L3Здесь Li  Li  M  - барицентрические координаты точки M в треугольнике K .Отметим,чторазрывыобобщенныхдеформацийприпереходечерезмежэлементную границу в данном случае допускаются, т.е. указанные степенисвободы независимы для каждого конечного элемента K в триангуляции.Рис. 2.2. Расположение точек при кубической лагранжевой аппроксимации длятреугольника.772.3.3. Применение аппроксимации трикубическими полиномами Биркгофадля продольных перемещенийНеобходимостьсогласованиясвыбраннымивпредыдущемпунктепространствами конечно-элементной аппроксимации обобщенных деформацийPK   , i  1 3 , соответствующих продольным перемещениям  h0I m ,  h1 I m , I  1, 2 , и iвид оператора L (2.10) побуждают выбор в качестве пространства PKu1  PKu 2подпространства полиномов четвертого порядка: PKu1  P4  K  .

При этом вконтексте технической реализации желательно согласование узлов, к которымотнесены степени свободы соответствующие аппроксимациям прогибов ипродольныхперемещений.Обоимуказаннымусловиямудовлетворяеттрикубическая аппроксимация Биргкофа [80]. В этой аппроксимации в качествемножестваPKBgвыбираетсямножествополиномовчетвертойстепени,обращающееся в полиномы третьего порядка на всякой прямой параллельнойкакой-либо из сторон треугольника K , или:PKBg  P3  K   span L12 L2 L3 , L1L22 L3 , L1L2 L23  , (2.31)где Li  M  , i  1 3 - барицентрические координаты точки M в треугольнике K .Поскольку3 L 1 ,i 1iто dim PKBg  dim P3  K   2  12 . В указанной работе Биркгофа вкачестве степеней свободыDKBgпредлагается использовать значения функции, еепервых и второй смешанной производной в вершинах треугольника.

Такой выборстепеней свободы имеет недостаток, связанный с неудобством выражениясмешанных производных через производные по барицентрическим координатам.Более предпочтительным, представляется, следующий выбор степеней свободы:DKBg   p  A i  ,1  i  3,   0, 2 .

(2.32)78Свойства такого выбора степеней свободы описываются следующей теоремой.Теорема 4. МножествоDKBgPKBg- унисольвентно. Справедливо включениеX hBg  C  h  .Доказательство. Покажем сначала первое утверждение. Пусть дляp  PKBgвыполнено условие:222p  A i   11p  A i   12p  A i    22p  A i   0 , 1  i  3 . (2.33)Положим, что z - координата вдоль некоторой стороны li треугольника K ,выбранная таким образом, что точке Ai соответствует координата z  0 , а точкеAj- z  1, j  1  i mod3 , 1  i  3 .

Тогда, рассматривая p как функцию от координаты z ,из (2.33) вытекает следующие условие:p  0   p 1  p  0   p 1  0 . (2.34)Поскольку, в силу выбора пространстваPKBg, p  P3  li  , то из условия (2.34)вытекает, что p  z   0 . Данное рассуждение справедливо для каждой сторонытреугольника, и, следовательно, такая функция может быть записана в виде:p  L1 , L2   L1L2 L3  C1L1  C2 L2  C3 L3  ,где Ci , i  1 3 - произвольные постоянные. Воспользовавшись формулой связимежду вторыми производными по барицентрическим и декартовым координатам:2 p2 p J KI J LI,LI LJqK qLгдеJ JI- компоненты транспонированной матрицы Якоби (невырожденной приневырожденном треугольнике K ) перехода от барицентрических к декартовымкоординатам и условиями на вторые производные в (2.33), получим:C1  C2  C3  0 .79Таким образом, единственная функциясвободы изDKBg, имеющая нулевые степени, есть тождественный нуль, т.е.

степени свободы однозначноопределяют элементPKBgp  PKBgp  PKBg ,что и означает, что множество степеней свободыDKBg- унисольвентно.Для доказательства второго утверждения теоремы, рассмотрим соседниетреугольники K1 , K 2 (со смежной стороной l ) и сужения некоторого элементаf  X hBgна эти треугольники: fK1, f p1  PKBg1K2 p2  PKBg2 . Данные сужения будемрассматривать на стороне l как функции от координаты z , заданной вдоль l .Тогда, вводя вспомогательную функцию p  z   p2  z   p1  z  , получаем, что онаудовлетворяет условиям (2.34) (при надлежащем масштабировании введеннойкоординаты z ). Но поскольку (по построению PKBg , PKBg ) p - кубический полином12от z , то p  0 , и, следовательно, элемент f - непрерывен при переходе черезмежэлементную границу.

Теорема доказана.Доказанная теорема позволяет использовать аппроксимацию трикубическимиполиномами Биркгофа со степенями свободы в форме (2.32) в качествеаппроксимации для продольных перемещений  h0Im ,  h1 I m в задачах (2.14)-(2.15)оставаясь в рамках конформного метода конечных элементов в случае, когдаh   (в частности, необходима справедливость включения X hu I   H 1  h  ).Данная аппроксимация будет далее применяться в указанном качестве в рамкахданной работы ( PKu1  PKu 2  PKBg , DKu1  DKu 2  DKBg ). Вывод функций формы дляданной аппроксимации может быть проведен в полной аналогии с выводомфункций формы для аппроксимации Белла в пункте 2.3.1.802.4.Решение систем уравненийВ пункте 2.3 был конкретизирован конечный элемент, применяемый далее длянахождения приближенных слабых решений задач (1.82)-(1.83) (постановки(1.101’) и (1.100’’)), определяемых дискретными задачами (2.5)-(2.6).

Данныезадачи сводятся к системам линейных алгебраических уравнений вида (2.14)(2.15). Технически, процедура сборки (соответствующая вычислению сумм в(2.14)-(2.15)) из матрицы S T Q1S и столбцов f K I 1 m для каждого конечногоэлемента K (локальной матрицы и локального вектора правой части) общейсистемы уравнений (с глобальной матрицей и глобальным вектором правойчасти), определяющей столбец степеней свободы, производится на основестандартной процедуры ансамблирования [43, 66]. При этом (в силу выборапространств деформаций PK i  , i  1 6 в пункте 2.3.2) матрица S T Q1S допускаетпредставление (2.22).