Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 10

Будем полагать, что PKui   Pd  K  , PK  j   Pd  K  ,uii 1 3, j 1i6 , где Pn  K  - пространство полиномов степени n на множестве K .Также будем предполагать, что пара  K u K   выбрана так, что для конечноэлементных пространств X hu  X hu1   X hu3 , X h  X h 1   X h 6 [69] справедливывключения: X hu   H 1  h   H 2  h  , X h   L2  h  (в частности, для элементов X h62допускаются разрывы при переходе через межэлементную границу), гдеh K- область, полученная триангуляцией исходной области  . ВK  hпространстве X hu выделим подпространство Vh  Vh1  Vh3 : VhI  v  X hu I  : Tr  v   0 ,hVh3  v  X h   : Trh  v   Trh   I v  nIh  0u 3- подпространства функции с нулевымиграничными условиями (в смысле теории следов) на кривой  h (полученной при66триангуляции исходной области для кривой    ).

Пусть также h0 , h1  X hu дискретные аналоги функций ω 0 и ω1 в определениях слабых решений (1.101’) и(1.100’’).Функцииh 0 , h1 , pбудемдалеепредполагатьнепрерывнымифункциями от временного параметра  . Тогда задаче (1.100’’) соответствуетследующая дискретная задача.

Для каждого m  0, , M требуется найти такуюпару  h0 m h0 m   X hu  X h , что  h0 m  h0 m Vh и:T 0 mM 0 m 0 m  B1 f h     w   f h     w  , w Vh , HR h  w, h 1 0 m  0 m 2,   BHR,   X h , BHR h   h h   , h(2.5)причем должно выполняться условие  h03 m  0 . Аналогично, дискретный аналогзадачи (1.101’) имеет следующую формулировку: для каждого m  0, , Mнеобходимо найти такую пару  h1 m h1 m   X hu  X h , что  h1 m  h1 m Vh и:T 1 mM 1 m1 m  B1 f h     w   f h     w  , w Vh , HR h  w, h 11 m 1 m 2,   X h . BHR h   h ,   BHR h   , h(2.6)В этих постановках введены следующие отображения (в соответствии сматричными представлениями (1.104)-(1.105)):21BHR h   w,       w  C d  , BHR h    ,   ThTC d  ,  ,   X h , w  X hu ,hTTf hT  I 1 m  w      w fˆ T  I 1 m d  , f hM  0 m  w      w fˆ M  0 m d  ,hhTf hM 1 m  w    wT F  m d      w fˆ M 1 m d  , w  X hu .h(2.7)hЗдесь компоненты столбцов fˆ T  I 1 m , fˆ M  I 1m вычисляются по формулам (1.78), вc 0,1 m c1,0  m c 0,0  m которых для вычисления компонент  KL,  KL,  KLв момент времени   m используется выбранная разностная схема.

После решения задач (2.5)-(2.6)неизвестные функции  h 0 ,  h1 , h I 1 вычисляются путем линейной интерполяции:67f  , qJ   f k qJ    kk 1kf    qJ   f    qJ  , для    k , k 1  , k  0, , M 1 , k 1   kf   h  ,  h  , h01I 1.Представляя в вариационных уравнениях (2.5)-(2.6) интегралы по области  h ввиде сумм интегралов по конечным элементам K   h , получим: 0 m 1BHR f KT  0 m  w   f KM  0 m  w   0, w  Vh , K  w, h K h 0  m  0  m 12  BHR,   BHR 0,   X h ,K   h K   , h K h1BHRw, h1 m  f KT 1 m   w   f KM 1 m   w   0, w Vh ,K K h1 m 1 m 12  BHR,   BHR 0,   X h .K   h K   , h K h(2.8)(2.9)T  I 1 m IВ уравнениях (2.8)-(2.9) отображения BHR. , f KM  I 1m . получаются K  .,. , f Kиз (2.7) заменой области интегрирования h  K .Получим далее явный вид уравнений (2.8)-(2.9).

Для этого введемдифференциальный оператор L , который сопоставляет столбцу обобщенныхперемещенийuстолбецобобщенныхдеформации u вматричномпредставлении (1.102): 10 2  u   Lu , L  000Посколькуu  X huсоотношения021000и   X h для операторовuK u  u,K   уравнения (2.8), получим:0 0 0 2  . (2.10)112  222 212PKuиPK -интерполяции справедливы, то подставляя представления (2.2) и (2.10) в680 mC  d   TK h    T  w    L K  hTuKu TKT   TKu  w K  h u TKK  hTTKTT 0 mfˆ    d      TKu  w  K  h   L   T          C L uTKu  h0  m M 0 mfˆ    d  , w  Vh ,  L u TK   T       d    0,   X0 mKhKгде  u и  - матрицы функций формы для пространствPKuh(2.11),иPK.

Пусть далеепостроена единая (глобальная) для всех степеней свободы обобщенныхперемещений в триангуляции  h нумерация ( n  1 N , N - общее число степенейсвободы обобщенных перемещений в  h ), l  K , n  - локальный номер степенисвободы в столбце TKu . , а Dn   h - подмножество конечных элементов K   h ,содержащих степень свободы с глобальным номером n . Тогда, поскольку TK .независимы для различных конечных элементов (по построению X h ), то из (2.11)имеем:  e K DnTl K ,n  T   0 m   B C  d   TK hK      e    BK DnM 0 m   elT K ,n   BT fˆ    d  , n  1K Dn KTl K ,nKTT 0 mfˆ    d   (2.12)N, u  0 m T0 m T      C  d   TK h   , K   h .     CBd   TK  hKKЗдесь обозначены: B  Lu , eik   ik , k  1d1u i d 2  d 3  , d i  dim PK   .

Выражая вовтором уравнении столбец неизвестных TK  h 0 m  через TKu  h 0 m  , получим:TK h0  m Q1STKu  h0  m  , K  h, (2.13)где обозначены следующие матрицы:Q      C d  , S      CBd  .TKTK69Подставляя (2.13) в (2.12), получим разрешающую систему уравнений,определяющую K   h степени свободы TKu  h0 m  : eTl K ,n K DnS QT1STKu  h0  m   f      0 , n  10 mKN,f K 0 m    BT fˆ T  0 m d    BT fˆ M  0 m d  .(2.14)KKПроводя аналогичный вывод для задачи (2.9), приходим к системе, определяющейK   h степени свободы TKu  h1 m : eTl K ,nK Dnf K 1 mT1STKu  h 1 m  f      0 , n  11 mKN,TT 1 mmM 1 m   BT fˆ    d     u  F   d    BT fˆ    d  .

(2.15)K2.2.S QKKЧастный случай конечно-элементных соотношений для одинаковойаппроксимации обобщенных деформацийВ предыдущем пункте были получены явные выражения для уравнений (2.14)(2.15) без ограничения на способ аппроксимации обобщенных перемещений идеформаций. В данном пункте будет показана возможность значительногоупрощения этих выражений при дополнительном допущении об одинаковостиаппроксимации обобщенных деформаций, т.е. PK 1  PK  6и DK 1  DK 6.Также будем предполагать постоянство обобщенной матрицы упругости Cвнутри конечного элемента K .

В этом случае, согласно соотношению (2.3),справедливо следующее представление для матрицы функций формы  :   T  E6 ,70где  - столбец функций формы пространства PK 1 . Тогда воспользовавшисьсвойствамикронекеровапроизведенияматриц,получаемследующеепредставление для матрицы Q :Q     E6   1  C   T  E6  d     T   C  d   N  C ,KKN   T d  . (2.16)KДалее,отметимсправедливостьследующихвспомогательныхматричныхсоотношений:  E6  C    E6  1  C     C   El  C   E6  ,C  T  E6    T  E6   El  C  , (2.17)где l - число строк (число функций формы в PK 1 ) у столбца  .

Тогда дляматрицы S T Q1S в системах (2.14)-(2.15) из (2.17) имеем:S T Q 1S   BT C  T  E6  d   N 1  C 1     E6  CBd  KGT El  C   N1C1E C G  GlKTHG,1G     E6  Bd  , H  N  C . (2.18)KАналогично, для столбцов степеней свободы обобщенных деформаций TK  h I 1 m имеем:TK hI 1 m  N C1  N11  E  C  GTlu      N  E  GT u C 1     E6  CBd TKu uhKuKI 1 mh16I 1 m uKhI 1 m ,(2.19)где uh0 m   h0 m для задачи (2.14) и uh1 m   h1 m для задачи (2.15). Таким образом,если ввести матрицу G :71G   N 1  E6     E6  Bd     N 1   E6 Bd      E6  Bd  ,KKK1    T d    , (2.20)Kто соотношение (2.19) примет компактный вид:TK hI 1 m   GT uuKI 1 m h .

(2.21)Выражение для матрицы S T Q1S , с учетом введенной матрицы G , может бытьпреобразовано следующим образом:S T Q1S  GT  N  E6   N 1  C   N  E6  G  GT HG , H  N  C . (2.22)Подставляя в (2.20) представление (2.3) для матрицы функций формы  u ,получим:m mG       E6  L iT  Em  d  Pi   Gi Pi , Gi   gi d  , gi    E6  L iT  E3  . (2.23)i 1  Ki 1KЗдесь m  3 - число различных пространств из PKui  . Для подынтегральной матрицыg i , в силу определения кронекерова произведения матриц, справедливоследующее блочное представление: 1 Li1gi   l Li1 1 Lid i , (2.24)di  l Li где di  dim  PKui   - число функций формы в PKui  .

Данное представлениеобеспечивает возможность аналитического вычисления интегралов Gi   gi d  вKслучае достаточно сложных функций формы  i , i  1l , ij , j  1 di , i  1m .72Треугольный конечный элемент для решения осредненных задач2.3.В рамках данной работы в качестве конечного элемента Kбудетиспользоваться треугольный конечный элемент, с узлами, расположенными ввершинах (рис. 2.1). Степени свободы TKu  h 0 m  , TKu  h1 m  для неизвестныхфункций  h0 m ,  h1 m в задачах (2.14)-(2.15) будут также рассматриваться ввершинах треугольника K , а их вид будет конкретизирован в следующихподпунктах, в соответствии с выбранными функциями формы.Рис. 2.1.

Треугольный конечный элемент K .После нахождения степеней свободы обобщенных перемещений TKu  h 0 m  ,TKu  h 1 m (путем решения задач (2.14)-(2.15)) для каждого конечного элемента K ,вычисление соответствующих степеней свободы обобщенных деформацийTK hI 1 m производится на основе формулы (2.13) (или, если выполняютсяуказанные в пункте 2.2 условия, на основе формулы (2.21)). Далее, по найденнымаппроксимациям обобщенных деформаций(интерполируя по временномупараметру  ) K h I 1   TK  h I 1  , аппроксимации компонент напряжений (дляданного конечного элемента K ) могут быть вычислены по формулам (1.92)-(1.94).732.3.1.