Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 5

Для этого,интегрируя определяющее соотношение ползучести в локальной задаче нулевогоприближения (1.19), учитывая начальное условие, вид решения задачи нулевогоприближения (1.27) и допущение 4, получим:c 0I3   FI 3  ,  kl  ,  PQ,  p 3 dt  0 .c 0000Данное соотношение позволяет упростить выражения для начальных членоврассматриваемых разложений.

В результате использования соотношений (1.34)(1.37) и (1.43)-(1.44), начальные члены указанных ФАР примут следующий вид(верхний индекс в последующих формулах данного пункта показывает, до какогопорядка включительно удерживаются члены). Для компонент вектораперемещений:uI   uI     I u3   CI31s 3Cs 3KL100u3   u3    C331s 3Cs 3 KL10c 0 0 KL CI31s 3Cs 3KL KL c 0(0) KL C331s 3Cs 3 KL KL   33 , (1.47) . (1.48)c 0Для изгибных и сдвиговых деформаций: IJ1   IJ(0)   IJ(0)   IJKLM(0) M  KL cIJ(0) , (1.49)Для деформаций межслойного сдвига и нормальных деформаций:c 0c 0 0 i31  Ci31s 3 Cs 3 KL KL Cs 3 KL KL    i 3  (0)   Ci31s 3Cs 3 KL KL Ci31S 3 Cˆ SMKLc 0 Ci31S 3 Cˆ SMKL  M  KL Ci31s 3Cs 3 PQ  PQKLMc 1 Ci31s 3Cs 3 KL  cKL 0  Ci31s 3Cs 3 pq pq.Для изгибных и сдвиговых напряжений:    0   (1.50) M KL 29c 0c1c 0 0 0 IJ1  Cˆ IJKL  KL  KL     Cˆ IJKL  KL  KL    KL     Cˆ IJPQ  PQKLM  CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKLc 0 0.1ˆM  KL  CIJk 3Ck 3 S 3 CSMKL  M  KL(1.51)Для напряжений межслойного сдвига: I 23    Cˆ IMKL      Cˆc 0 0 KL Cˆ IMKL  M  KL   Mc1 0 2   Cˆ IMKL  M KL Cˆ IMKL  M KL 2  CINk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  Cˆ INPQ  PQKLMIMKLc 0 M  KL   2MN(1.52)c 0 0 KL CINk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  2MN  KL    . Для нормальных напряжений: 333   2  Cˆ MNKL C c 0 0 2MN  KL Cˆ MNKL  2MN  KL31.5.c 0Ck31S 3 Cˆ SMKL  3MNR KL RNk 33   .     Cˆc1 0 3   Cˆ MNKL 2MN KL Cˆ MNKL  2MN  KL   3  CRNk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  Cˆ RNPQ  PQKLM      p  p   1/ 2    2MN  KL c 0MNKL 3 0  MNR KL      (1.53)Осредненные уравнения равновесия бесконечного порядкаПодставив формулу (1.29) в асимптотическое разложение (1.14), получим:n 0n  J  iJ( n )    2 p i 3 .

(1.54)Введя компоненты усилий и перерезывающих сил:n 0n 0nnTIJ    nTIJ  , QI    nQI  ,30где TIJ n   IJ( n)  , QI n   I(3n)  , соотношение (1.54) можно записать в виде: J TIJ  0 , (1.55) J QJ   2 p .

(1.56)Интегрируя по частям и учитывая силовое граничное условие локальных задач(1.19)-(1.20) n , имеем следующее, вспомогательное, соотношение:  I( 3n )    I( 3n ) .Далее, умножив уравнение равновесия в локальной задаче (1.20) на  ипроинтегрировав по толщине пластины, с учетом последней формулы, получаем: J  IJ( n1)   I( 3n ) . (1.57)Тогда, вводя компоненты моментов:nM IJ    n M IJ  , M IJ n   IJ( n1) ,n 1соотношение(1.57)позволяетзаписатьформулусвязимоментовиперерезывающих сил: J M IJ   QI  . (1.58)nnПодставляя это соотношение в (1.56), получим: 2IJ M IJ   2 p .(1.59)Уравнения (1.55) и (1.59) составляют осредненные уравнения равновесияпластины бесконечного порядка.311.6.Осредненные определяющие соотношенияПодставляя в начальные члены ФАР усилий и моментов члены ФАРкомпонент тензора напряжений, выписанные в формуле (1.51), приходим квыражениям для осреднённых определяющих соотношений: (0)(0)TIJ  CIJKL KL TIJ    BIJKLKL K IJKLM  M  KL TIJ     nTIJ( n ) , (1.60)c 00c1 (0)(0)M IJ   BIJKL KL M IJ    2 DIJKL KL K IJKLM  M  KL M IJc1n2c 20   n M IJ( n ) .

(1.61)n 3Здесь введены следующие функции, не зависящие от локальной координаты  :CIJKL  Cˆ IJKL , BIJKL   Cˆ IJKL , K IJKLM  Cˆ IJPQ  PQKLMDIJKL  Cˆ IJKL , K IJKLM   Cˆ IJPQ  PQKLM2  CIJk 3Cc 0c 0c1c 0TIJ    Cˆ IJKL KL  , TIJ   CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  M  KL Mc 1IJ1k 3S 3Неизвестнымифункциями CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKLCˆ SMKL,(1.62).c 0c1 Cˆ IJKL  KL    KL   ,c 0c 2c 0   Cˆ IJKL KL  , M IJ    CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  M  KL 1.7.c 0c1  Cˆ IJKL  KL    KL   .(1.63)Осреднённые задачивосредненныхуравненияхравновесиябесконечного порядка (1.55), (1.59) являются функции ui(0)  , qI   vi  , qI  ,составляющие главный член в асимптотическом разложении (1.8). Решение этихуравнений также будем искать в виде асимптотического разложения по степенямгеометрического параметра  :vi  , qI     n vi( n )  , qI  .

(1.64)n 032Выражения для осреднённых определяющих соотношений (1.60)-(1.61) содержатчлены TIJc 0 , TIJc1 , M IJc1 , M IJc 2 , которые имеют зависимость от v  , qI  . Поэтому, дляполучения осредненных задач необходимо найти разложения для указанныхфункций по малому параметру  , подставляя в них разложения (1.64). Посколькузависимость этих членов от v  , qI  неявная, необходимо построить разложенияфункций входящих в системы (1.19) и (1.20) (для n  1 ). Для удобства дальнейшихвыкладок введем вспомогательные операторы eIJ . и  IJ . :2eIJ  v    J vI   I vJ , IJ  v    2IJ v3 .Оператор eIJ . без изменения обозначений будем рассматривать действующимина вектор-функции двух и трех измерений, а оператор  IJ . - действующим нафункции одного или трех измерений.

Введем также обозначения для членовасимптотического разложения вектора продольных перемещений ( n vL n  v1n):v2  .nПолучим теперь формулы для двух начальных членов разложений TIJc 0  v  ,M IJc1  v  .Согласно формулам (1.49)-(1.53), соотношения для компонент первогочлена асимптотического разложения для тензора напряжений  ij 0 , выраженныечерез компоненты деформаций  IJ 0 , деформаций ползучести  IJc 0 и перемещенийначального приближения ui 0  vi , имеют вид (учитывая, что Fij(0)  Fij ): ijc (0)  Fij  ,  klс 0 ,  pq0 ,c 0 (0)  Cˆ 0,IJKL  KL   KL IJ (0) i 3  0,  0 IJ  eIJ  v  , c 0 ij  0  0.33Подставляя в эту систему разложение (1.64) и ограничиваясь двумя начальнымичленами, приходим к формулам для следующих разложений.

Для напряжениймежслойного сдвига и нормальных напряжений  i30 : i30   i30,0   i30,1  O  2   0 . (1.65)Для изгибных и сдвиговых напряжений  IJ 0 : IJ 0   IJ 0,0   IJ 0,1  O  2     Cˆ IJKL eKL v0  KLc 0,0     Cˆ IJKL eKL v    KLc 0,11 O  2  .(1.66)Для компонент  ijc 0 тензора деформаций ползучести (аналогично формуле (1.17)): ijc 0   ijc 0,0   ijc 0,1  O  2   Fij(0)  ,  klс 0,0 ,  pq0,0  Fij(1)  ,  k0l0  ,  k1l1  ,  p0q0 ,  p1q1  O  2  ,с 0,0с 0,10,00,1(1.67)с начальными условиями: ijc0  ij с 0,0 0  ij с 0,1 0 0 O  2   0 .Для изгибных и сдвиговых деформаций  IJ 0 :  0101 0 KL eIJ v    v   O  2   eIJ v    eIJ v   O  2  . (1.68)Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра вформулах (1.65)-(1.67), получим системы соотношений при  0 : ijc 0,0  Fij(0)  ,  klс 0,0  ,  pq0,0  ,  0,0 ˆL 0 c  0,0   KL, IJ  CIJKL eKL v(1.69) i(0,0) 0,3 c (0,0) 0. 0 ij  34и при  1 : ijc 0,1  Fij(1)  ,  kс (0,0),  kс1l10,1 ,  p0,0,  p0,1,0 l00 q01q1  0,1 ˆL 1c 0,1  KL  , IJ  CIJKL eKL v(1.70) i30,1  0, c 0,1 ij   0. 0  Из формул (1.67) и (1.63) следует вид начальных членов разложений дляоператоров TIJc 0  v  , M IJc1  v  :TIJc 0 v  c 0,0c 0,1Cˆ IJKL KL    Cˆ IJKL KL   O  2 c  0,0 c  0,1M IJc1  v     Cˆ IJKL KL   Cˆ IJKL KL O  2 , (1.71)при этом функции  ijс 0,0 и  ijс 0,1 являются решениями систем обыкновенныхдифференциальных уравнений (1.69)-(1.70), параметризированных компонентамиразложений продольных перемещений vI 0 , vI1 .Далее, вновь на основании формул (1.49)-(1.53), соотношения для второгочлена асимптотического разложения компонент тензора напряжений  ij(1) примутвид: ijc1  Fij1  ,  kсl0 ,  kсl1 ,  p0q ,  p1q ,0 0110 01 1 1(0)1ˆˆˆ IJ   CIJKL KL  CIJPQ  PQKLM   CIJk 3Ck 3S 3 CSMKLc 0c 1CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  M  KL, Cˆ IJKL  cKL 0   KLc 0 0 I13   Cˆ IMKL  M  KL Cˆ IMKL  M  KL  , 1 33  0,  0 KL  eIJ  v  ,  0   v ,IJ   IJ с1 0. ij  0 M(0) KL(1.72)35Подставляя в эту систему разложение (1.64), ограничиваясь только начальнымчленом и учитывая уже полученные разложения (1.65)-(1.67), по аналогии ссистемами (1.69)-(1.70), получим следующую систему: ijc1,0  Fij1  ,  kсl0,0  ,  kсl1,0  ,  p0,0q  ,  p1,0q  ,0 0110 01 1(1,0)(0)  Cˆ IJKL KL  v3   IJ ˆL 0 1ˆ CIJPQ  PQKLM   CIJk 3Ck 3 S 3 CSMKL   M eKL vc 0,0c 1,0c (0,0)CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  M  KL Cˆ IJKL  KL    KL   ,(1.73)1,0 L 0c  0,0 ˆˆ I 3   CIMKL  M eKL v CIMKL  M  KL, 1,0  0, 33c  0,0 c 0,012 c 0,0  C CJ31s 3 I  pq  ,s 3 pq C I 3 s 3 J  pq IJ с1,0 0. ij 0 где  cIJ 0,0 ,  ij1,0 ,  ijc1,0 - начальные члены в разложении  ij1 ,  ijc1 и  cIJ 0 по степеням соответственно: cIJ 0   cIJ 0,0     , ij1   ij1,0     ,(1.74) ijc1   ijc1,0     .Далее, подставляя формулы (1.67) и (1.74) в (1.63), будем иметь:c1c 0,0TIJ   CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  M  KL Mc 2IJ  CIJk 3C1k 3S 3c 0,0Cˆ SMKL  M  KL c 0,0c 1,0 Cˆ IJKL  KL    KL       ,c 0,0c 1,0  Cˆ IJKL  KL    KL       .(1.75)Подставляя разложение (1.64) в осредненные определяющие соотношения(1.60)-(1.61) и далее в осредненные уравнения бесконечного порядка (1.55) и(1.59),учитываяполученныеразложения(1.71)и(1.75),приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях малого параметра  , получим системууравнения равновесия начального приближения:36  CIJKL  J eKL v L 0   J f IJT  0 ,(1.76)L 0 M  022Bevf. IJKL IJ KLIJ IJи для первого приближения:  CIJKL  J eKL v L1  BIJKL  J KL  v3(0)    J f IJT 1 ,(1.77)L1M 122(0)2 DIJKL  IJ KL  v3   p   IJ f IJ . BIJKL  IJ eKL vЗдесь введены обозначения для функций в правых частях уравнений:M 0T 0c 0,0c 0,0f IJ     Cˆ IJKL KL  , f IJ      Cˆ IJKL KL  ,c  0,1f IJT 1  K IJKLM  M eKL v L 0  Cˆ IJKL KLc  0,0  CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  M  KLc 1,0  , Cˆ IJKL  cKL 0,0   KLc (0,1)f IJM 1  K IJKLM  M eKL v L 0   Cˆ IJKL KLc 0,0   CIJk 3Ck31S 3 Cˆ SMKL  M  KLc 1,0  .  Cˆ IJKL  cKL 0,0   KL(1.78)Таким образом, получены уравнения равновесия аналогичные по видууравнениям в теории Кирхгофа-Лява [7].