Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 4

(1.17)00n n0 0n nТаким образом, для членов асимптотического разложения компонент тензорадеформаций ползучести имеем систему обыкновенных дифференциальныхуравнений вида (1.17).Далее, подставив разложения (1.8) и (1.13) в силовое граничное и контактныеусловия в системе (1.2), и учтя допущение 1, получим ( n ): i(3n )  0,  kui( n 1)  0,  k. (1.18) i(3n )   1   p i 3 n 3 .2Объединяя полученные соотношения, приходим к локальным задачам длянулевого приближения:(0)  i 3  0, (0)(0)c (0) ij  Cijkl   kl   kl  , c (0)(0)с (0)(0) ij  Fij  ,  kl ,  pq  , (0)(0)(0)(1)(1)2 ij   j ui   i u j   j 3 ui   i 3 u j , (0)  i 3  k  0,(1.19)ui(1)  0,  k c (0) 0, ij  0 (0) 0, i 3   12 (1) ui  0,21и для последующих приближений ( n  ):(n)( n 1)( n 1)  i 3   J  iJ  hi  , qI  , (n)(n)c(n) ij  Cijkl   kl   kl  , с(n)с 0с n  n 0n ij  Fij  ,  k0l0 ,...,  knln ,  p0q0 ,...,  pn qn , (n)(n)(n)( n 1)  i 3  u (jn 1) ,2 ij   j ui   i u j   j 3 ui (n)  i 3  k  0,(1.20) ui( n 1)  0,  k c ( n ) 0, ij  0 ( n )  p i 3 n 3 , i 3   12 ( n 1) 0. uiЗдесь к локальным задачам присовокуплены традиционные для МАО условияоднозначной разрешимости локальных задачгде  f ( , qI ,  ) 1/2f ( , qI ,  )d ui( n1)  0(условия нормировки),– функционал осреднения по толщине пластины.1/2Неизвестными в этой последовательности задач являются функцииui( n1) , n .Локальные задачи параметризированы функциями ui(0)  vi  , qI  , для определениякоторых далее будет сформулированы осредненные задачи.1.4.Решение локальных задачЛокальные задачи (1.19)- (1.20), хотя и являются одномерными по переменной , но осложнены входящими в них системами обыкновенных дифференциальныхуравнений (1.17).

Вследствие этого, получение явного аналитического решениялокальных задач, вообще говоря, не представляется возможным. При численном22моделировании для решения системы (1.17) может быть применена одна изразностных схем.В рамках данного пункта кроме условий в допущении 4, будем предполагать,что функции Fij являются бесконечно дифференцируемыми по каждому изаргументов  klc ,  pq на всей числовой прямой. Для дальнейших пунктовдостаточно условий, наложенных в допущении 4.Определяющее соотношение ползучести для локальных задач (1.19)-(1.20)может быть записано в следующем виде:(n) ij( n)  CijKL KL Cijk 3 k( n3)  Cijkl  klc ( n ) . (1.21)Далее, умножая это соотношение (при i  s, j  3 ) на матрицу C1   C 1ks31k 3s 3C3(для которой 2CK13s 3  CK13s 3 , C331s3  C331s3 ), будем иметь:( n)c( n) .

(1.22) k( n3)  Ck31s 3  s(3n )  Cs 3KL KL Cs 3 pq pqИз этого соотношения и из формулы (1.21) получаем:( n)c( n) . (1.23) IJ( n)  CIJk 3Ck31s 3 s(3n)  Cˆ IJKL  KL  KLЗдесь компоненты Cˆ IJKL определены в допущении 2.Найдем рекуррентные соотношения для компонент вектора перемещений. Длякомпонентыu3( n 1) , n u3( n1) 1/2из (1.12), c учетом условия нормировки, имеем: 33( n ) d   33( n ) d 1/2( n)33d   (  1/ 2) 33( n )   33( n )1/2Здесь и далее, для сокращения записи, введен оператор:f  , qI ,   f  , q ,   d   ( 1/ 2) f  , q ,    .I1/2I. (1.24)23Аналогично, для остальных компонент вектора перемещенийuI( n 1)из (1.12)получим:uI( n1)  2 I( 3n )   I u3( n), (1.25)Далее из (1.25) и (1.12) имеем следующее рекуррентное соотношение,связывающее компоненты тензора деформаций  IJ( n1) с компонентами тензорадеформаций и вектора перемещений предыдущих членов асимптотическогоразложения: IJ( n1) 1 J uI( n1)   I uJ( n1)    J  I( 3n )  IJ( n )   I  J( n3)2Здесь введены коэффициенты IJ( n)   2IJ u3 n , а  2IJ .2– соответствующийqJ qIоператор дифференцирования.

Подставляя в это соотношение формулу (1.22),будем иметь:cn( n) IJ( n1)   IJsK  K s(3n)   IJKLM  M  KL IJ( n)   IJ  , (1.26)2 IJsK  CI31s 3 KJ  CJ31s 3 KI , 2 IJKLM  Cs 3KL  CI31s 3 MJ  CJ31s 3 MI  ,c n c n 2cIJ n  Cs 3 pq CI31s 3 J  pq CJ31s 3 I  pq.Из уравнения равновесия локальной задачи (1.19) следует, что компонентыне зависят от локальной переменной i(0)3 .

Учитывая силовые граничныеусловия, контактные условия для системы (1.19) и допущение 1, приходим квыводу, что уравнение равновесия локальной задачи начального приближенияимеет нулевое решение:. (1.27) i(0)3 024Для локальной задачи (1.20) решение уравнение равновесия, с учётомсилового граничного условия на внутренней поверхности (    1 2 ) и контактныхусловий, имеет вид ( n ): i(3n1)   p i 3 n 2  J  iJ( n ) d  (  1/ 2)hi( n ) . (1.28)1/2Из граничного условия на внешней поверхности (   1 2 ) находим выражение длянеизвестных функцийhi( n ) :hi( n )  p i 3 n 2    J  iJ( n )  .(1.29)Здесь введено обозначение p  p  p .

Далее, подставляя (1.29) в (1.28), будемиметь: i(3n1)    p  p(  1/ 2)   i 3 n 2   J  iJ( n)  . (1.30)В этой формуле, для краткости записи, введен оператор: f  , q ,      f  , q ,     f  , q ,     d ,III1/2Из формул (1.30) и (1.23) вытекают рекуррентные соотношения для вычислениячленов асимптотических разложений компонент тензора напряжений  i(3n1) :( n) I( 3n1)   CIJk 3Ck31s 3 J  s(3n)   Cˆ IJKL  J  KL  CˆIJKLc( n ) J  KL , (1.31) 33( n1)    p  p(  1/ 2)   n 2   J  3( nJ )  .

(1.32)Найдем рекуррентное соотношение для IJ( n1)   2IJ u3 n1 . Подставив (1.22) в (1.24)(приk  3 ),получим:IJ( n1)   C331s 3 2IJ  s(3n )( n) C331s 3Cs 3KL  2IJ  KLc n  C331s 3Cs 3 pq  2IJ  pq. (1.33)25Соотношения (1.33) совместно с (1.31)-(1.32) и (1.26), позволяют вычислятькомпоненты  IJ( n1) ,  IJ( n1) ,  i(3n1) по предыдущим членам асимптотическихразложений этих же компонент. Компоненты тензора деформаций  i(3n ) ,напряжений  IJ( n ) и вектора перемещенийui( n )вычисляются по формулам (1.22)-(1.25). Полученные соотношения позволяют доказать следующую теорему.Теорема 1. Справедливы следующие представления для функций  IJ m ,  i3m ,  IJ m ,m:  m  m  mm1(0)m(0) IJ m  СIJKL IJc m , (1.34)M  M KL  СIJKLM  M  KL  PIJm1m1mm S  m m1 (0) S  m  m S  m(0) I m3   СIKL I Sc m , (1.35)M  M  KL  СIKLM  M  KL  PIm1m1mm T  m m1 (0) T   m m T  m(0) 33 m  СKL  Tc m , (1.36)M  M  KL  СKLM  M  KL  Pm1m1mm  m  m m m (0)m1 (0)IJ m  С IJc m .

(1.37)IJKLM  M KL  СIJKLM  M  KL  PIJmmm1m1Здесь n  : Mn   M1 , , M n  - мультииндекс, nMnnqM nqM1- соответствующиеоператоры дифференцирования; при n  0 : M0   ,  0M  I - тождественный0оператор, члены, содержащие индекс M 0 считаются равными нулю; при n  1 :M 1   M 1  ,  M1 - оператор интегрирования по медленной координате qM :11q1q2 f  q 1 , q2   f  q , q2    f  q1, q2  dq1 ,  f  q 1 , q2   f  q1 , q    f  q 1 , q2  dq2 .11011202q20q10В этих интегралах qM0 - такое значение координаты1qM 1, что  q1 q2   еслиM 1  1 и  q1 q2   если M 1  2 при qM 1  qM0 1 , qM 1  .Коэффициенты С  m в формулах (1.34)-(1.37) являются функциями тольколокальной координаты  .

Для нулевых приближений функции С (0) , P(0) и c0имеют вид:26 (0) S (0) S  (0) T (0) T  (0)(0)СIJKL СIKL СIKL СKL СKL СIJKLM  0,PIJ (0)  PI S (0)  P T (0)  PIJ (0)  0,(1.38)IJc (0)  IJc (0)  I Sc (0)   Tc (0)  0,(0) (0)СIJKL  СIJKL   IJKL  1/ 2   IK  JL   IL JK  .Замечание. Функции P m в соотношениях (1.34)-(1.37) учитывают зависимостьрешений локальных задач от силовых граничных условий, функции c m влияние эффектов ползучести.Доказательство. Доказательство проведем индукцией по параметру m .

Дляслучая m  0 справедливость (1.35)-(1.36) следует из (1.27), а остальныесоотношения удовлетворяются тождественно. Пусть соотношения (1.34)-(1.37)справедливы и дляmn.Покажем их справедливость для m  n  1 . Рассмотримсначала формулу (1.34). Подставляя в формулу (1.26) соотношения (1.34)-(1.37),действительно приходим к виду (1.34), причем рекуррентные соотношения длявходящих в нее коэффициентов имеют вид: ( n 1) S ( n ) T ( n ) ( n ) ( n )СIJKLM n   IJSM n СSKLM n1   IJ 3 M n СKLM n1   IJPQM n СPQKLM n1  СIJKLM n, ( n 1) S ( n )T (n) ( n ) ( n )СIJKLM n1   IJSM n1 СSKLM n   IJ 3 M n1 СKLM n   IJPQM n1 С PQKLM n  С IJKLM n1 (n)PIJ ( n 1)   IJSK  K PS S ( n )   IJ 3 K  K P T ( n )   IJKLM  M PKL PIJ ( n ) c ( n 1)IJ  IJSK  K  Sc ( n )S  IJ 3 K  K  Tc ( n )  IJKLM  M  c(n)KL,,c ( n )IJ(1.39)  cIJ( n ) .Аналогично, для формулы (1.35), подставляя (1.34)-(1.37) в (1.31), получимследующие рекуррентные соотношения:   CC С  C  C  P  C  C    Cˆ  Cˆ  Cˆ S ( n 1) S ( n )1 T ( n ) ( n )ˆСIKL  CIM n k 3 Ck31S 3СSKLMnM n1  Ck 333СKLM n1  C IM n PQ С PQKLM n1 S  ( n 1)СIKLM n1 S ( n 1)PII Sc ( n 1)IM n1k 3IJk 3IJk 31k 3S 31k 3S 31k 3S 3 S ( n )SKLM n S (n)JSSCC Sc ( n )J1k 3331k 333T (n)СKLM nJ P T (n)1 Ck333 J  Tc ( n ) ( n )IM n1PQСPQKLM n (n)IJKL  J PKLIJKL J KLc ( n ),,(1.40),  CˆIJKLc(n) J  KL.Далее, подставляя (1.35) в (1.32), для представления (1.36) будем иметь:27 T ( n 1)СKL  СM SnKL( nM) n1MnP T ( n 1)    p  p(  1/ 2)   3( n 1) Tc ( n 1)   M  M Sc ( n )  T  ( n 1), СKL  СM Sn1(KLn )MnM n1M, , (1.41)PM S ( n ).Подставляя (1.34)-(1.37) в формулу (1.33), для (1.37) получим:( n 1)1 S ( n )1 T ( n )1 ( n )СIJKLM n1   IJM n M n1 C33 S 3СSKLM n1  C3333СKLM n1  C33 s 3Cs 3 PQ С PQKLM n1( n 1)1 S ( n )1T (n)1 ( n )СIJKLM n2   IJM n1M n2 C33 S 3СSKLM n  C3333С KLM n  C33 s 3Cs 3 PQ С PQKLM n1 (n)PIJ ( n 1)   C331S 3 2IJ PS S ( n )  C3333 2IJ P T ( n )  C331s 3Cs 3 PQ  2IJ PPQ,,(1.42),1c(n)IJc ( n 1)   C331S 3 2IJ S Sc ( n )  C3333 2IJ  Tc ( n )  C331s 3  Cs 3 PQ  2IJ PQc ( n )  Cs 3 pq  2IJ  pq .Теорема 1 доказана.Из доказанной теоремы и соотношений (1.22)-(1.23) вытекают аналогичные поформе представления для членов асимптотических разложений компоненттензоров напряжений и деформаций, отсутствующих в формулах (1.34)-(1.37): ( n )n 1(0) ( n )n(0) ( n) IJ( n)  СIJKL IJc ( n) , (1.43)M  M KL  СIJKLM  M  KL  PIJn1n1nn S ( n ) n 1(0) S ( n ) n(0) S ( n) i(3n)  СiKL i Sc ( n) , (1.44)M  M KL  СiKLM  M  KL  Pin1n1nnгде соответствующие коэффициенты имеют вид: ( n )1 S ( n )1 T ( n ) ( n )ˆСIJKLM n1  C IJk 3Ck 3 S 3СSKLM n1  C IJk 3Ck 333С KLM n1  C IJPQ С PQKLM n1 , ( n )1 S ( n )1T (n) ( n )ˆСIJKLM n  CIJk 3Ck 3 S 3СSKLM n  C IJk 3Ck 333С KLM n  C IJPQ С PQKLM n ,1 (n)PIJ ( n )  CIJk 3Ck31S 3 PS S ( n )  CIJk 3Ck333P T ( n )  Cˆ IJPQ PPQ,(1.45)1c(n)IJc ( n )  CIJk 3Ck31S 3S Sc ( n )  CIJk 3Ck333 Tc ( n )  Cˆ IJPQ PQc ( n )  Cˆ IJPQ PQ.и: S ( n )1 S ( n )1 T ( n )1 ( n )СiKLM n1  Ci 3 S 3СSKLM n1  Ci 333СKLM n1  Ci 3 s 3Cs 3 PQ СPQKLM n1 , S ( n )1 S ( n )1T (n)1 ( n )СiKLM n  Ci 3 S 3СSKLM n  Ci 333СKLM n  Ci 3 s 3Cs 3 PQ СPQKLM n ,1 (n)Pi  S ( n )  Ci31S 3 PS S ( n )  Ci333P T ( n )  Ci31s 3Cs 3 PQ PPQ,1c(n)i Sc ( n )  Ci31S 3S Sc ( n )  Ci333 Tc ( n )  Ci31s 3Cs 3 PQ PQc ( n )  Ci31s 3Cs 3 pq pq.(1.46)28Выпишем явный вид начальных членов асимптотических разложений длякомпонент вектора перемещений, тензоров деформаций и напряжений.