Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 9

Для этоговведем столбцы  c (0,1) , e  v L1  и матрицу C c : c (0,1)  11c (0,1)  22c (0,1) 12c (0,1)  ,T  e v L1  e11 v L1 2Cˆ1111  Cˆ11221  ˆCc  2C1122  Cˆ11113 02Cˆ1122  Cˆ11112Cˆ  Cˆ111111220e22 v L1e12 v L1  Cc  10    C2c6Cˆ1212   00 ,TC2cc1C00 0  . (1.120)C3c 58При построении матрицы C c учтено, что в силу изотропности материалов слоевпластины имеет место следующее равенство ( C1111  C2222  C3333 , C1122  C1133  C2233 ,C1212  C1313  C2323 ):C C Cˆ1111  C1111  1133  Cˆ 2222  C2222  2233 .C3333C333322Таким образом, матричная форма записи системы (1.119) принимает вид:  c (0,1)  C c e v L1   c (0,1) ,(1.121) 0. c (0,1) 0Непосредственной подстановкой в последнюю систему легко убедиться, что еерешение может быть записано в форме матричной экспоненты: c (0,1)    C c  exp  C c   t  e v L1  t  dt .

(1.122)0Структура матрицы C c позволяет записать сингулярное разложение для всехматриц такого вида следующим образом:C c  UC cdU T , (1.123)где:CC1cd  C1c  C2c cd C1cd 0 01 ˆC1111  Cˆ11223 1 10 1 0  ,U 1 12cd C3 0 00cd2C0, Ccd2 C1c  C2c 0 0 ,2 1 ˆC1111  Cˆ1122, Ccd3 C3c 2 ˆC1212 .С помощью этого разложения, матрица C c exp  C c  в (1.122) может бытьпредставлена в следующей форме:59 C1cd eC1 00cdU T C c exp  C c   U 0C2cd e C2 0cd 00C3cd eC3  (1.124)00 0  K1   K1    K 2   K1    K 2   T 1U  0K 2  0  U   K1    K 2   K1    K 2  0 .2 00K3   002 K3   cdВведем далее   0,T  симметричный тензор четвертого ранга4K  скомпонентами K IJKL   в рассматриваемой декартовой системе координат(имеющего симметрии вида: K IJKL    K JIKL   , K IJKL    KIJLK   , K IJKL    KKLIJ   ),матричное представление независимых компонент которого имеет вид: K1111   K1122   2 K1112   K 2222   2 K 2212     C c exp  C c   K IJKL   3   сим.2 K1212   (1.125)0  K1    K 2   K1    K 2  1  K1    K 2   K1    K 2  0 2002 K3   3Введем также обозначение для интегрального оператора K IJKL : L2 0, T   L2 0, T  снепрерывным на 0, T   0, T  разностным ядром K IJKL  , t   K IJKL   t  (  , t  0, T  ,f  L2 0, T  ):K IJKL f   K IJKL   t  f  t  dt .0Тогда решение (1.122) системы (1.119) может быть представлено в виде: IJc (0,1)  K IJKL eKL v L1 .

(1.126)Перейдем теперь к решению системы (1.73). Учитывая формулы (1.114) и (1.116),эта система записывается в следующей форме:60c (1,0) IJ(1,0)  Cˆ IJKL  KL  v3(0)    KL, i(1,0) 0, 3 c1,0 1  (1,0) 1(1,0) (1.127) ij     ij  3  ij kk  , с1,0 0. ij  0Таким образом, вид этой системы аналогичен виду системы (1.117) (с точностьюдо замен  ij(0,1)   ij(1,0) , eIJ  v L1   IJ  v3(0)  ,  ijc (0,1)   ijс1,0 ). Тогда ее решение можетбыть записано в виде, подобном (1.126) (аналогично (1.118) получаем, что Iс31,0  0 ): IJс1,0   K IJKLKL  v3(0)  .

(1.128)Подставляя найденные выражения для компонент тензоров деформацийползучести  IJc (0,0) ,  IJc (0,1) ,  IJс1,0 в формулы (1.89) для функций в правых частяхуравнений системы (1.83), будем иметь:  Bv     Dcf IJ    CIJKLeKL vT 1M 1f IJc  BIJKLeKLL1L1cIJKL KLv  ,(1.129)v .cIJKL KL(0)3(0)3Здесь введены обозначения для следующих интегральных операторов и их ядер( f  L2 0, T  ):cccCIJKLf   CIJKL  t  f  t  dt , CIJKL   Cˆ IJPQ K PQKL   ,0(1.130)ccccccCIJKLf  CIJKLf , BIJKLf   CIJKLf , DIJKLf   2CIJKLf .Учитывая изотропность материалов слоев пластины и сингулярное разложениеc(1.123) для матриц вида (1.120), матричное представление компонент CIJKL.может быть записано в виде:61ccc0  C1111  C1122  2C1122    Cˆ1111 Cˆ112233cccC22220   K IJKL   3   3    2C2212     Cˆ1122 Cˆ1111 CIJKLc сим.2C1212    002Cˆ1212 (1.131)cd Cˆ1d C1cd e C1 0000  Q1  cdCdcdTU  U  0U 0Cˆ 2 C2 e 20Q2  0 U T ,cd  00Q3   00Cˆ3d C3cd e  C3  где:Cˆ1d  Cˆ1111  Cˆ1122 , Cˆ 2d  Cˆ1111  Cˆ1122 , Cˆ3d  2Cˆ1212 .Подставляя найденные выражения для правых частей (1.129) в систему (1.83),получим явный вид этой системы для модели ползучести (1.113):C  e v L1  B    v (0)   0,IJKL J KL3 IJKL J KL B  2 e v L1  D  2  v (0)  p,IJKL IJ KL  3  IJKL IJ KL (1)b 1(1.132)vI   u I , (0)b 0 v3   u3 , (0) v3 n  0,  где CIJKL ,BIJKL , DIJKL- операторы на L2 0, T  , имеющие вид ( f  L2 0, T  ):cCIJKL f  Cˆ IJKL f  CIJKLf, (1.133)ccCIJKL f  CIJKL f  CIJKL f  CIJKLf , BIJKL f   CIJKL f  BIJKL f  BIJKLf ,cDIJKL f   2CIJKL f  DIJKL f  DIJKLf .

(1.134)Аналогично, подставляя найденные решения (1.126) и (1.128) в формулы длянапряжений (1.92)-(1.94) и учитывая обозначения (1.130), получим (верхнийиндекс – наибольший порядок удерживаемых членов):  IJ1   CIJKL eKL v L1  KL v30  , (1.135)62   I 23   2 CIMKL  M eKL v L1   KL v3 0  , (1.136)  333   3  p  p   1/ 2     3  CMNKL  2MN eKL v L1   KL v3 0   . (1.137)Таким образом, отличие вида системы (1.83) и соотношений для напряжений(1.92)-(1.94) при учете эффектов ползучести (в рамках модели (1.113)) от упругогослучая состоит в замене приведенных модулей упругости Cˆ IJKL на коэффициентыоператоры CIJKL .63ГЛАВА 2.

РАЗРАБОТКА ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧПОЛЗУЧЕСТИ МНОГОСЛОЙНЫХ ТОНКИХ ПЛАСТИН2.1.Применение метода конечных элементов для решения двумерныхосредненных задач асимптотического методаПусть  K , PK , DK  - конечный элемент в смысле определения в [69], гдеPK  PK1  PKm,, si - наивысший порядок производных вDK  DK1  DKmопределении множествОбозначим i  i1DKi ,idTiи iK- операторPKi -интерполяции,где i  1 m , m .- столбец базисных функций (или функций формы)конечного элемента ( i j  PKi , j  1 d i , d i  dim( PKi ) ), соответствующих оператору iK( u  C s  K  ):idi iK u   i jTi j  u  , (2.1)j 1где Ti j .  DKi - соответствующая функции формы i j степень свободы. Введемтогда оператор PK - интерполяции  K и соответствующий оператор функцийформы TK . для некоторой вектор-функции f : K  K f   1K f1Непосредственной mK f m  , TK  f   T11  f1 Tподстановкойпроверяетсяm, f  f1T1d1 f1 T21  f 2 справедливостьf m :T.Tследующегоутверждения о представлении оператора  K , которое позволяет упроститьдальнейшие выкладки.64Утверждение.

Пусть f : K m, f  f1f mT- интерполируемая на Kфункция, где fi  C s  K  . Тогда справедливо следующее представление оператораiK : K f  TK  f  , (2.2)   iT  Em  Pi , (2.3)mi 1где  - матрица функций формы размера m   d 1  d m  для пространства PK ,имеющая вид: 1 10  1d 0212d001020, - кронекерово произведение матриц, Em - единичная матрица размерности m ,Pi - обобщенная (возможно содержащая нулевые столбцы) матрица перестановокразмера  md i    d 1   d m  , которая может быть записана в следующей блочнойформе:Pi   i d1 eiei  d i 1 m iei  m d i1did i1  , (2.4)d mгде обозначены следующие столбцы: ik  0 , eik   ik , k  1различных пространств изPKi md  .iЕсли число pменьше m , то число слагаемых в сумме (2.3) можетqiбыть уменьшено до p путём замены Pi   Pi i  , где PKi i  1l 1l PKqiii , i1  i   i .Отметим также, что при иной группировке элементов в определении операторастолбца TK . представление (2.3) для матрицы функций  также имеет место присоответствующей перегруппировке столбцов в матрицах (2.4).65Далеепредполагается,чтодлярешениясистемобыкновенныхдифференциальных уравнений (1.69)-(1.70) и (1.73) была использована явнаяразностная схема Эйлера, примененная для сетки U M   0  0, , M  T  побезразмерному временному параметру  .

При необходимости описываемый нижеконечно-элементный метод может быть без труда адаптирован под другиеразностные схемы. Будем далее обозначать f  m  f  m, m  0, , M для некоторойфункции f .Перейдем к рассмотрению дискретных задач, соответствующих задачам(1.101’) и (1.100’’). Будем предполагать построенной регулярную триангуляцию h ( h  max diam  K  ) [69] области  на основе многоугольных конечныхK  hэлементов K   h (т.е. C  0 , что K   h : diam  K   C K , где  K - верхняя граньдиаметров кругов, вписанных в K ). Рассмотрим пару  K u , K   , где K u   K , PKu , DKu  (PKu  PK    PK    PK u1u 3u 2, DKu  DKu1  DKu 2  DKu3 ) - конечный элемент, используемый дляаппроксимации обобщенных перемещений, а K    K , PK , DK  (DK  DK   DK 6 1PK  PK    PK  6 1,) - конечный элемент, применяемый для аппроксимацииобобщенных деформаций (1.102).