Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 13

Пластина состояла из 3-х слоев,толщины которых соответствовали сетке A3  (1 2, 1 42,3 14,1 2) по локальнойкоординате   x3/h.Значения упругих характеристик ортотропных материаловслоев металлокерамической пластины приведены в таблице 2.1. Слой № 3соответствует значению локальной координаты   0.5 , а слой № 1 -   0.5 .Поскольку материалы слоев выбраны ортотропными, то 13   23  0 .№ E1 , ГПа 12 13 23E2 , ГПаE3 , ГПаG12 , ГПаG13 , ГПаG23 ,ГПа111.111 0.35 0.35 0.351300300300111.111111.11126060402315150.150.20.2320020020076.92376.92376.9230.30.30.3Таблица 3.1.

Упругие характеристики материалов слоёвДля численного решения трехмерной задачи теории упругости использовалсяконечно-элементныйкомплексANSYS,стетраэдальнымдесятиузловымконечным элементом SOLID187. Для проведения расчетов на рассматриваемойпластине была сгенерирована сетка со сгущениями в окрестности расчетныхнормальных сечений пластины, соответствующих значениям 0.125,0.25,0.375,0.5продольной координаты q1 , что позволило сократить общее число конечныхэлементов. В расчете использовалось 25 конечных элементов на слой в88окрестности расчетных сечений и 2 конечных элемента на слой в остальныхчастях пластины (рисунок 3.1). Общее число конечных элементов для всейпластины составило 10864455 (14658117 узлов). На рисунках 3.2-3.5 показаносравнение графиков напряжений по толщине пластины в расчетных сечениях (а q1  0.125 , г - q1  0.5 ), вычисленных на основе асимптотического метода (AM) иполученных путем численного решения трехмерной задачи теории упругости.Рисунок 3.1.

Сетка в окрестности расчетного сечения.Относительное отклонение между решением на основе предложенногоасимптотического метода и численным решением в ANSYS измерялось в метрикеL2   1 , 1  : 2 2 ij  q1   ANSYS (q1 )   AT (q1 )ijij AT (q1 )ijL2   1 , 1  2 2100% .L2   1 , 1  2 2Отклонение для выбранных нормальных сечений, рассчитанное по этой формуле,приведено в таблице 3.2.Согласно формуле (3.6) компонента тензора напряжений  13 , рассчитанная наоснове асимптотического метода, обращается в нуль при q1  0.5 .

Численноерешение, полученное на основе трехмерной теории и показанное на рисунке 3.5г,отражает близость к решению на основе асимптотического метода.89q1  0.125q1  0.25q1  0.375q1  0.5110.5282.590.4480.364 222.7793.0592.6470.452130.0660.0650.065* 330.0210.0120.0130.009Таблица 3.2. Относительное отклонение компонент тензора напряжений,рассчитанных на основе асимптотического метода и трехмерной теории внормальных сечениях (* - аналитическое значение компоненты - нуль).а)б)в)г)Рисунок 3.2.

Распределение изгибного напряжения  11 (безразмерного) потолщине пластины.90а)б)в)г)Рисунок 3.3. Распределение поперечного напряжения  22 (безразмерного) потолщине пластины.91а)б)в)г)Рисунок 3.4. Распределение нормального напряжения  33 (безразмерного) потолщине пластины.92а)б)в)г)Рисунок 3.5. Распределение напряжения межслойного сдвига  13 (безразмерного)по толщине пластины.3.1.3. Сравнение аналитического и конечно-элементного решенияДля оценки работоспособности конечного элемента, предложенного в пункте2.3, в данном разделе будет проведено сравнение получаемых на его основерезультатов с аналитическим решением, найденным в пункте 3.1.1.В качестве рассматриваемой пластины выберем трехслойную прямоугольнуюпластину, для которой величина малого геометрического параметра   0.025 ;93   0,1   1 , 1  , а толщины слоев соответствуют сетке A3   1/ 2, 1/ 4,0,1/ 2  по 4 4нормальной координате  .

Безразмерное давление на верхней и нижнейповерхности положим равными: pˆ   103 и pˆ   104 . Свойства материалов слоевпластины представлены в таблице 3.3. Как и в предыдущем пункте, слой № 3соответствует значению локальной координаты   0.5 , а слой № 1 -   0.5 . 12 13 23№E1 , ГПаE2 , ГПаE3 , ГПаG12 , ГПаG13 ,ГПаG23 , ГПа114145.31.80.750.750.08 0.14 0.152772.70.90.380.380.04 0.07 0.083212182.71.131.130.12 0.21 0.23Таблица 3.3.

Свойств материалов слоев пластиныРезультаты численного моделирования обобщенных перемещений для даннойзадачи представлены на рисунках 3.6-3.7.Для сравнения компонент вектора обобщенных перемещений введёмотносительные отклонения для прогибов v3 0 и продольных перемещений v11 : 0 v3 q1 , q2  v3 0  q1   v3 0 FEM  q1 , q2 v3 0  q1 ,  v1  q1 , q2  1v11  q1   v11 FEM  q1 , q2 v11  q1 . (3.8)Результаты сравнения отклонений обобщенных перемещений, вычисленныхна основе аналитического и конечно-элементного решений для различных сеток (N q1  N q2, гдеN qI- число конечных элементов по координате qI ) в различныхточках пластины приведены в таблице 3.4.

Сравнение отклонений обобщенныхперемещений для сетки 8×4 в различных точках пластины приведены в таблице3.5.94Рисунок 3.6. Распределение продольного перемещения v11 (безразмерного) длясетки 8×4.Рисунок 3.7. Распределение прогиба v3 0 (безразмерного) для сетки 8×4.95Сетка  v30 1/ 2, 1/ 4  v3 0 1/ 2, 0  v3 0 1/ 4, 0  v11 1/ 4, 1/ 4  v11 1/ 4, 0 2×23.718 10112.308 10112.732 10112.445 10112.42110114×21.0110119.333 10129.003 10129.69 10129.445 10126×28.317 10127.4110127.73110127.82110127.214 10128×25.4110125.212 10124.912 10125.2110124.955 10122×47.936 10127.59 10126.892 10127.34110126.75110124×42.667 10121.487 10122.345 10123.777 10122.005 10126×48.423 10137.757 10136.72110137.35110135.92110138×41.794 10131.79110131.742 10131.90110131.863 1013Таблица 3.4.

Относительные отклонения прогибов и продольных перемещенийдля различного числа конечных элементов сетки.q1 v3 0  q1 , 1/ 4  v3 0  q1 , 0  v3 0  q1 ,1/ 4 00*0*0*181.70110131.674 10131.659 101341.763 10131.742 10131.741101381.80110131.78110131.804 101321.794 10131.79110131.832 101381.768 10131.789 10131.817 101341.72110131.74110131.787 101381.659 10131.669 10131.713 10130*0*0*1315371Таблица 3.5а. Относительные отклонения прогибов для сетки 8×4 в различныхточках пластины.

Символом «*» отмечены абсолютные значения отклонений,когда аналитическое значение соответствующей компоненты есть нуль.96q1 v11  q1 , 1/ 4  v11  q1 , 0  v11  q1 ,1/ 4 00*0*0*181.8 10131.723 10131.723 101341.90110131.863 10131.806 101381.9 10131.877 10131.913 101322.638 1017 *8.226 1018 *3.0011017 *81.845 10131.886 10132.003 101341.763 10131.814 10131.889 101381.689 10131.712 10131.738 10130*0*0*1315371Таблица 3.5б.

Относительные отклонения продольных перемещений для сетки8×4 в различных точках пластины. Символом «*» отмечены абсолютные значенияотклонений, когда аналитическое значение соответствующей компоненты естьнуль.Далее было проведено сравнение компонент напряжений вычисленных поаналитическим формулам (3.5)-(3.7) и значений, полученных на основе конечноэлементного расчета.

Мера относительного отклонения, как и в пункте 3.1.2,оценивалась в метрике L2  1 2 , 1 2  : ij  q1   ij (q1 )   FEM (q1 )ij ij (q1 )L2   1 , 1  2 2. (3.9)L2   1 , 1  2 2Результаты сравнения компонент напряжений для сетки 8×4 и значенийпродольной координаты q1  0, 18 , 1 4 , 3 8 , 1 2 представлены в таблице 3.6а, длязначений продольной координаты q1  5 8 , 3 4 , 7 8 ,1 - в таблице 3.6б.97q1  0q1  1111.615 10131.86 10132.112 10132.146 10132.153 1013 221.612 10131.087 10131.155 10125.909 10135.142 1013 332.179 10141.352 10134.89110136.473 10132.592 1013122.5 1016 *2.7711015 *6.272 1015 *3.603 1015 *7.317 1015 *131.245 10131.876 10135.526 10131.06 10122.935 1014 * 231.698 1016 *1.593 1014 *3.812 1014 *5.816 1014 *4.446 1014 *q1  18q1  34q1  182Таблица 3.6а.

Относительные отклонения компонент напряжений для сетки 8×4 вразличных точках пластины. Символом «*» отмечены абсолютные значенияотклонений, когда аналитическое значение соответствующей компоненты естьнуль.q1  58q1  3q1  748q1  1112.268 10132.227 10131.862 10131.57 1013 226.87110139.274 10131.2110131.566 1013 334.947 10131.796 10132.12 10133.693 1014152.453 101612158.768 10 *7.3611015*4.537 10 **136.17110133.535 10141.793 10139.367 1014 232.147 1014 *3.232 1014 *3.1811015 *1.853 1016 *Таблица 3.6б. Относительные отклонения компонент напряжений для сетки 8×4 вразличных точках пластины. Символом «*» отмечены абсолютные значенияотклонений, когда аналитическое значение соответствующей компоненты естьнуль.98Приведенные результаты позволяют сделать вывод о высокой точностипредложенного в пункте 2.3 конечного элемента и о возможности получения наего основе качественных результатов на “редких” сетках.3.2.Задача об изгибе многослойной прямоугольной тонкой пластины cучетом ползучести3.2.1.

Аналитическое решение задачи изгиба пластины с симметричнымрасположением слоев под действием постоянного давленияПолучимвданномпунктеаналитическоерешениезадачиизгибапрямоугольной пластины (как и ранее, q1  0,1 - продольная, q2 - поперечнаякоординаты) с симметричным расположением слоев (т.е. будем предполагать, чтоFij и Cijkl являются четными функциями от локальной координаты  ) поддействием постоянного давления с граничными условиями жесткого закрепления(3.1). Материалы слоев пластины будем предполагать изотропными. В качествемодели ползучести слоев будем рассматривать модель, определяемую функцией(1.113).