Диссертация (Моделирование деформаций ползучести многослойных тонких пластин методом асимптотического осреднения), страница 14

Аналитическое решение для системы (1.132), соответствующей указанноймодели, будем искать в следующем виде (аналогичном (3.2), с учетом симметриислоев и зависимости от временного параметра   0,T  ):(0)(0)(1)(1)v1  , q1   v2  , q1   v1  , q1   v2  , q1   0,(3.10) (0)22v3  , q1   B   q1  q1  1 .99где B . - некоторая неизвестная функция.

Подставляя эти соотношения в систему(1.132), приходим к интегральному уравнению Вольтерры второго родаотносительно функции B . (в силу формул (1.134) и (1.130)):c24  D1111 B     D1111  t  B  t  dt   p , (3.11)0cгде ядро D1111. , в соответствии с представлением (1.131), имеет вид:ccD1111    2C1111 ,   , (3.12)cc2C1111 ,    Q1  ,    Q2  ,   , 2C1122 ,    Q1  ,    Q2  ,   , C cd  QI  ,    Cˆ Id   CIcd   e I   .

(3.13)Несмотря на простоту ядра, аналитическое решение данного уравнения довольногромоздко, особенного в случае многослойной пластины. Для его численногорешения в данной работе будем применять метод квадратур, с квадратурнойформулой трапеций [5].Формулы для компонент напряжений (1.135)-(1.137), в силу зависимостирешения только от продольной координаты пластины q1 и определения оператораCIJKL (1.133), примут вид:1 IJ 2I3ˆ 2  6q  6q1  1 CIJ 11 B     CIJc 11   t  B  t  dt  , (3.14)021 12  2q1  1    Cˆ I 1112B      CIc111   t ,   B  t  dt  , (3.15)0  3c 33  3  p  p   1/ 2    24 3  Cˆ1111B      C1111  t ,   B  t  dt   . (3.16)0 1003.2.2.

Сравнение конечно-элементного и аналитического решенияВ данном пункте будет проведено сравнение конечно-элементного (на основеконечного элемента, предложенного в пункте 2.3) и аналитического (найденного впредыдущем пункте) решения задачи изгиба прямоугольной пластины.Сравнение будем проводить для трёхслойной пластины, для которой   0.025 ,   0,1   1 , 1  , а толщины слоев соответствуют сетке A3   1/ 2, 1/ 4,1/ 4,1/ 2  4 4по нормальной координате  . Безразмерное давление на верхней и нижнейповерхности положим равными: pˆ   5 103 и pˆ   5 104 .

Свойства материаловслоев пластины представлены в таблице 3.7. Верхний предел моделированиявыберем следующим: T  1 ( t0  1000ч ).№E , ГПа13000.351.5 1052400.1510233000.351.5 105Таблица 3.7. Свойств материалов слоев пластиныНа рисунке 3.8 показан результат конечно-элементного моделированияпрогиба v3 0 для рассматриваемой задачи. Результаты сравнения обобщенныхперемещенийдляаналитическогоиконечно-элементногопостоянных шагах сетки   103 и   104решенияприпо временному параметрупредставлены в таблицах 3.8 и 3.9 соответственно (отклонения определяются поформулам (3.8)).101Рисунок 3.8.

Распределение прогиба v3 0 (безразмерного) для   T  1 при шагеразностной сетки   104 .q1 v3 0  q1 , 1/ 4  v3 0  q1 , 0  v3 0  q1 ,1/ 4 182.785110029 1062.785109997 1062.785109968 10642.785110024 1062.785109993 1062.785109963 10682.785110022 1062.785109989 1062.785109957 10622.7851100211062.785109982 1062.785109949 10682.785110019 1062.785109978 1062.785109939 10642.785110018 1062.785109973 1062.78510993 10682.78511002 1062.785109972 1062.78510993 106131537Таблица 3.8.

Относительные отклонения прогибов для   T  1 при шаге сетки  103 в различных точках пластины.102q1 v3 0  q1 , 1/ 4  v3 0  q1 , 0  v3 0  q1 ,1/ 4 182.783995911072.78399568 1072.7839954110742.78399589 1072.78399565 1072.78399539 10782.78399588 1072.783995611072.78399533 10722.78399587 1072.78399557 1072.78399526 10782.78399587 1072.78399554 1072.78399519 10742.78399588 1072.783995511072.78399508 10782.783995911072.78399547 1072.78399496 107131537Таблица 3.9. Относительные отклонения прогибов для   T  1 при   104 .Далее было проведено сравнение компонент напряжений, вычисленных поформулам (3.14)-(3.16) и на основе конечно-элементного метода.

Отклонениевычислялось согласно формуле (3.9). Результаты сравнения приведены в таблице3.10 (для шага   103 ) и 3.11 (для шага   104 ).q1  0q1  1111.23 1061.23 1061.23 1061.23 1061.23 106 227.626 1057.626 1057.626 1057.626 1057.626 105 331.032 1071.032 1071.032 1071.032 1071.032 107120*3.46 1013 *4.602 1013 *4.337 1013 *2.153 1013 *131.236 1061.236 1061.236 1061.236 1069.8611013 * 238.785 1014 *5.62 1013 *4.27 1013 *1.316 1012 *6.437 1013 *8q1  14q1  38q1  12Таблица 3.10. Относительные отклонения компонент напряжений для   T  1 при  103 .

Символом «*» отмечены абсолютные значения отклонений, когдааналитическое значение соответствующей компоненты есть нуль.103q1  0q1  1111.236 1071.236 1071.236 1071.236 1071.236 107 227.53 1067.53 1067.53 1067.53 1067.53 106 331.024 1081.024 1081.024 1081.024 1081.024 108120*2.244 1013 *3 1013 *3.311013 *1.876 1013 *131.237 1071.237 1071.237 1071.237 1076.0711013 * 233.557 1014 *5.218 1014 *2.546 1013 *4.811013 *2.528 1013 *q1  184q1  3q1  182Таблица 3.11.

Относительные отклонения компонент напряжений для   T  1 пришаге сетки   104 в различных точках пластины. Символом «*» отмеченыабсолютныезначенияотклонений,когдааналитическоезначениесоответствующей компоненты есть нуль.Приведенные результаты демонстрируют сходимость конечно-элементногорешения к аналитическому при уменьшении шага сетки  по временномупараметру.Нарисунках3.9-3.12приведеныраспределениякомпонент12напряжений по толщине пластины (a - q1  0 , д - q1  ) для моментов времени  0 (аналитическое решение) и   T  1 (конечно-элементное решение дляразностной схемы с шагом   103 ), при значениях продольной координаты 1 1 3 1q1  0, , , ,  . 8 4 8 2104а)б)в)г)д)Рисунок 3.9.

Распределение изгибного напряжения  11 (безразмерного) потолщине пластины при q2  0 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2 -   0 )105а)б)в)г)д)Рисунок 3.10. Распределение поперечного напряжения  22 (безразмерного) потолщине пластины при q2  0 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2 -   0 )106а)б)в)г)д)Рисунок 3.11.

Распределение нормального напряжения  33 (безразмерного) потолщине пластины при q2  0 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2 -   0 )107а)б)в)г)д)Рисунок3.12.Распределениенапряжениймежслойногосдвига 13(безразмерного) по толщине пластины при q2  0 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2   0)1083.2.3. Численное решение задачи изгиба при несимметричном расположениислоев под действием переменного давленияРассмотрим в данном пункте задачу изгиба прямоугольной пластины снесимметричным расположением слоев под действием переменного давления сучетом ползучести.

Ползучесть слоев, будем предполагать соответствующеймодели (1.112).Моделированиебудемпроизводитьдлятрёхслойнойпластины,геометрический параметр для которой   0.025 ,   0,1   1 4 , 1 4  , а толщиныслоев соответствуют сетке A3   1/ 2, 1/ 4,0,1/ 2  по нормальной координате  .Безразмерное давление на верхней и нижней поверхности будем полагатьпеременными полями следующего вида:1pˆ   q1 , q2   A1   A3  A1  q1  2  A2  A3   q2   ,4где A1  2.5 103 , A2  3.75 103 , A3  5 103 , A1  2.5 104 , A2  3.75 104 , A3  5 104 .Распределение давления на верхней поверхности и расчетная сетка приведены нарисунке 3.13. Свойства материалов слоев пластины представлены в таблице 3.12,слой № 3 соответствует значению координаты   0.5 , а слой № 1 -   0.5 .

Нарисунке 3.14 показаны кривые ползучести для материала слоя № 2 пластины (внаибольшей степени подверженного ползучести) для различных значенийнапряжений (в пределах между минимальным и максимальным значениемдавления p̂ ). Верхний предел моделирования выберем, как и в предыдущемпункте, T  1 ( t0  1000ч ), а шаг разностной сетки  по временному параметру(постоянный) зададим равным   104 .109Рисунок 3.13. Поле давления (безразмерного) на верхней поверхности пластины ирасчетная сетка.Рисунок 3.14.

Кривые ползучести для материала слоя № 2 пластины дляразличных напряжений ( i -я кривая:  i   min   i  1 max   min  / 4 ,  min  1.25 104 , max  5 103 ).110№E , ГПаrT13000.352 1041.5 1053.7512400.151.5 1031023.3132000.31.12 10411043.51Таблица 3.12. Свойств материалов слоев пластиныРезультаты численного моделирования прогибов v3 0 и продольныхперемещений vI1 представлены на рисунках 3.15-3.16.Рисунок 3.15. Распределение прогиба v3 0 (безразмерного) для   T  1 .111а)б)Рисунок 3.16.

Поля продольных перемещений v11 (а) и v21 (б) (безразмерных) для  T  1.112На рисунках 3.16-3.28 представлены распределения компонент тензоранапряжений по толщине для различных точек пластины (а - q1  0 , б - q1  1 4 , в q1  1 , г - q1  3 , д - q1  1 ). Данные результаты демонстрируют существенное42влияние, оказываемое эффектами ползучести на напряженно-деформированноесостояние пластины при переменном давлении и несимметричном расположениислоев. В частности, кривая нормального напряжения  33 по толщине пластиныможет терять свойство монотонности (рис.

3.21-3.22), а кривые напряжениймежслойного сдвига  13 ,  23 (рис. 3.25-3.28) - испытывают искажение.На рисунках 3.29-3.30 показаны кривые изменения продольных  11 ипоперечных напряжений  22 , на рисунках 3.31-3.33 - кривые измененияпродольных перемещений vI1 и прогибов v3 0 во времени, в различных точкахпластины.113а)б)в)г)д)Рисунок 3.17. Распределение изгибного напряжения  11 (безразмерного) потолщине пластины при q2   1 4 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2 -   0 ).114а)б)в)г)д)Рисунок 3.18. Распределение изгибного напряжения  11 (безразмерного) потолщине пластины при q2  0 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2 -   0 ).115а)б)в)г)д)Рисунок 3.19. Распределение поперечного напряжения  22 (безразмерного) потолщине пластины при q2   1 4 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2 -   0 ).116а)б)в)г)д)Рисунок 3.20.

Распределение поперечного напряжения  22 (безразмерного) потолщине пластины при q2  0 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2 -   0 ).117а)б)в)г)д)Рисунок 3.21. Распределение нормального напряжения  33 (безразмерного) потолщине пластины при q2   1 4 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2 -   0 ).118а)б)в)г)д)Рисунок 3.22. Распределение нормального напряжения  33 (безразмерного) потолщине пластины при q2  0 (кривая 1 -   T  1 , кривая 2 -   0 ).119а)б)в)г)д)Рисунок 3.23.