Диссертация (Исследование функционально-градиентных свойств сред с полями дефектов), страница 7

Отсюда следует:TCijkmnl= C1T (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) ++ C2T (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik + δ ijδ klδ mn + δ ik δ jnδ ml ) ++ C3T (δ inδ jlδ km + δ mjδ nk δ li + δ inδ mjδ kl + δ ilδ jnδ mk ) +(2.37)+ C4T (δ imδ jnδ kl + δ imδ jlδ nk ) ++ C5T δ imδ jk δ nlОтметим, что кинематическая модель теории сред Тупина, так же, как и в теорияхАэро-Кувшинского и Джеремилло, является классической и определяетсянезависимыми кинематическими переменными Ri .Из выражения объемной плотности потенциальной энергии UV следуютформулы Грина, которые определяют силовую модель теории, и дают уравнениязакона Гука для соответствующих силовых факторов:=σ ij∂UV11= CijmnRm ,n∂Ri , j∂UVT=mijk =CijkmnlRm ,nl∂Ri , jk(2.38)37Таким образом, теория сред Тупина допускает существование в среде следующихвнутренних силовых факторов: симметричного тензора напряжений σ ij второгоранга и тензора моментных напряжений mijk третьего ранга.Вариационное уравнение теории сред Тупина получено из условиястационарности лагранжиана:δL =δ A − ∫∫∫ [σ ijδ Ri , j + mijk δ Ri , jk ]dV =∫∫∫==δ A − ∫∫∫ (σ ij − mijk ,k )δ Ri , j dV − ∫∫ mijk nkδ Ri, j dF =F(σ ij , j − mijk , jk + PiV )δ Ri dV + ∫∫ {[ Pi − (σ ij − mijk ,k )n j ]δ Ri −−mijk nk δ Ri , p (δ pj* + n p n j )}dF=∫∫∫(σ ij , j − mijk , jk + PiV )δ Ri dV +(2.39)*F+∫∫ {[ Pi − (σ ij − mijk ,k )n j + (mijkδ pj nk ), p ]δ Ri − mijk n j nkδ Ri }dF −− ∑ ∫ mijk v j nk δ Ri ds =0Отметим, что формулировки теорий Тупина, Аэро-Кувшинского и Джеремилло в«напряжениях» совпадают, а в перемещениях отличаются в силу различнойTAKJ, Cmnlijkи, соответственно, Cmnlijk.структуры тензоров моментных модулей CmnlijkВ кинематических переменных (перемещениях) вариационное уравнениеимеет вид:δ=L∫∫∫T11(CijmnRm ,nj − CijkmnlRm ,nlkj + PiV )δ Ri dV +FTT11*+∫∫ {[ Pi − (Cijmn Rm,n − Cijkmnl Rm,nlk )n j + (Cijkmnlδ pj nk Rm,nl ), p ]δ Ri(2.40)TT− Cijkmnln j nk Rm ,nlδ Ri }dF − ∑ ∫ Cijkmnlv j nk Rm ,nlδ Ri ds =0Другими словами, формулировка теории сред Тупина определяется тремядифференциальными уравнениями четвертого порядка.

Спектр краевых задачопределен шестью граничными условиями в каждой неособенной точкеповерхности.Общей характерной особенностью теорий Тупина, Аэро-Кувшинского иДжеремилло является наличие условий на ребрах.2.2.6 «Простейшая» теория сред с сохраняющимися дислокациями«Простейший» вариант теории сред с сохраняющимися дислокациями (ССД)сформулирован в предположении существования в среде полей сохраняющихсядислокаций [96].

Эта модель характеризуется тем, что градиентная часть38потенциальнойэнергииявляетсяквадратичнойформойкомпонентовпсевдотензора Ξij =Dip2 ,q Э pqj плотности дислокаций Де Вита. Наличие ненулевогопсевдотензора плотности дислокаций определяет существование в среде полейдислокаций. Тождественное равенство нулю дивергенции этого псевдотензораопределяет локальный закон сохранения полей дислокаций. Таким образом, вданной модели поля дислокаций не могут рождаться или исчезать, а тольколокально менять свою концентрацию. Лагранжиан L теории может бытьпредставлен в следующем виде:L= A−1BL11122222Ri , j Rm ,n + 2CijmnRi , j Dmn+ CijmnDij2 Dmn+ CijmnΞ ij Ξ mn ]dV[Cijmn∫∫∫2(2.41)BLимеет следующую структуру:Тензор моментных модулей CipmqBLCipmqC3BLδ ipδ mq + (C1BL + C2BL )δ imδ pq + (C1BL − C2BL )δ iqδ pm=(2.42)Отметим, что кинематическая модель теории ССД, совпадает с кинематическоймоделью теории Миндлина и определяется независимыми кинематическимипеременными Ri и Dij2 .Из выражения объемной плотности потенциальной энергии UV следуютформулы Грина, которые определяют силовую модель теории, и дают уравнениязакона Гука для соответствующих силовых факторов:=σ ij1∂UV11122= CijmnRm ,n + CijmnDmn∂Ri , j=σ ij2∂UV21222=CijmnRm ,n + CijmnDmn2∂Dij=mij(2.43)∂UVBL= CijmnΞ mn∂Ξ ijТаким образом, теория ССД допускает существование в среде следующихвнутренних силовых факторов: в общем случае несимметричных тензоровнапряжений σ ij1 и σ ij2 второго ранга и псевдотензора моментных напряжений mijвторого ранга.Вариационное уравнение теории ССД получено из условия стационарностилагранжиана:39δ L = δ A − ∫∫∫ [σ ij1δ Ri , j + σ ij2δ Dij2 + mijδΞ ij ]dV ==δ A − ∫∫∫ [σ ij1δ Ri , j + σ ij2δ Dij2 + minδ ( Dij2,k Э jkn )]dV =2= δ A − ∫∫∫ [σ ij1δ Ri , j + (−min ,k Э jkn + σ ij2 )δ Dij2 ]dV − ∫∫ min nk Э jknδ Dij dF==(2.44)∫∫∫ [(σ + P )δ R + (m Э − σ )δ D ]dV +0+∫∫ [( P − σ n )δ R − m n Э δ D ]dF =V1ij , jiFi1ijijin , ki2ijjknin kjkn2ij2ijВ кинематических переменных (перемещениях и свободных дисторсиях)вариационное уравнение имеет вид:=δL∫∫∫11122VBL2212222[(CijmnRm ,nj + CijmnDmn, j + Pi )δ Ri + (Cijkmnl Dmn ,lk − Cijmn Rm , n − Cijmn Dmn )δ Dij ]dV +F11122BL22+∫∫ {[ Pi − (Cijmn Rm,n + Cijmn Dmn )n j ]δ Ri + (−Cijkmnl nk Dmn )δ Dij }dF =0(2.45)BLBLЭ jkp Эnlq .

Таким образом, формулировка теории ССД определяется= Cipmqздесь Cijkmnlдвенадцатью дифференциальными уравнениями второго порядка специальноговида. Специальный вид определен тем, что дивергенция уравнений равновесиямоментов приводит к локальному закону сохранения σ ij2, j = 0 . Следовательно,общий дифференциальный порядок будет ниже, чем в теории Миндлина. Спектркраевых задач определен девятью граничными условиями в каждой неособеннойточке поверхности. В этом можно убедиться, обратив внимание на то, что ввозможной работе моментных силовых факторов содержится только шесть издевяти слагаемых:=∫∫∫∫min nk Э jknδ Dij2 dF =+ nm n j )dFmin nk Э jknδ Dim2 (δ mj* =(2.46)2 *2=0∫∫ min nk Э jknδ ( Dimδ mj )dF + ∫∫ min (n j nk Э jkn )δ ( Dim nm )dF =действительно, второй интеграл тождественно равен нулю в силу сверткисимметричноготензораn j nkсантисимметричнымпсевдотензоромЭ jkn .Следовательно, в формулировках краевых задач «простейшей» теории ССДфигурируют только шесть неклассических граничных условий (в дополнение ктрем классическим).402.2.7 Сравнительный анализ существующих теорийСуществующие градиентные теории можно разделить на две группы.

Впервую входят теории Тупина, Аэро-Кувшинского и Джеремилло. Во вторую –теории Миндлина, Коссера и сред с сохраняющимися дислокациями.Первая группа характеризуется тем, что все теории этой группы построенына основе классической кинематической модели – каждой точке среды эти теорииприписывают три степени свободы – компоненты вектора перемещений.Соответственно, и уравнений равновесия в этих теориях три.Вторая группа, в противоположность первой, характеризуется тем, чтотеории этой группы построены на основе неклассической кинематической модели.Каждой точке среды эти теории приписывают дополнительные степени свободы: втеории Коссера – это три компоненты псевдовектора свободных поворотов, а втеории Миндлина и в теории ССД - три компоненты псевдовектора свободныхповоротов и шесть компонент тензора свободных деформаций.

Соответственно, иуравнений равновесия в этих теориях больше: в теории Коссера – шесть, в теорияхМиндлина и ССД – двенадцать.Теория Тупина является наиболее общей теорией первой группы и содержиттеории Аэро-Кувшинского и Джеремилло как свои строгие частные случаи. ТеорияМиндлина является наиболее общей теорией второй группы и содержит теориюКоссера и теорию ССД как свои строгие частные случаи.

Таким образом, имеетсявозможность проводить сравнительный анализ групп, сравнивая теории Тупина иМиндлина, как максимально общих теорий в своих группах.Запишем лагранжианы обеих теорий в унифицированном виде, записавпотенциальные энергии в терминах стесненных Dij1 = Ri , j и свободных Dij2дисторсий:В теории Тупина:=UVВ теории Миндлина:1 11 1 1111[Cijmn Dij Dmn + CijkmnlDij1 ,k Dmn,l ]241UV=1 11 1 1122222222[Cijmn Dij Dmn + 2CijmnDij1 Dmn+ CijmnDij2 Dmn+ CijkmnlDij2,k Dmn,l ]2Такой унифицированный вид позволяет придать потенциальной энергии дисторсийв обеих теориях общий универсальный вид:1 pq p q 1 11 1 1122222]Cijmn Dij Dmn = [Cijmn Dij Dmn + 2CijmnDij1 Dmn+ CijmnDij2 Dmn22p, q = 1, 2Потенциальные энергии кривизн:=UV1 pq p qpqq[Cijmn Dij Dmn + CijkmnlDijp,k Dmn,l ]2нельзя записать подобным же образом.

В этом случае получается обобщениетеорий Миндлина и Тупина одновременно (за счет появления слагаемых,билинейных по кривизнам разных сортов, связанных со стесненными исвободными дисторсиями):pqqpqq[CijmnUV =Dijp Dmn+ CijkmnlDijp,k Dmn,l ] / 2 =111122222= [CijmnDij1 Dmn+ 2CijmnDij1 Dmn+ CijmnDij2 Dmn+11112122222+CijkmnlDij1 ,k Dmn,l + 2Cijkmnl Dij , k Dmn ,l + Cijkmnl Dij , k Dmn ,l ] / 2Если лишить такую обобщенную среду части своих механических свойств,12221222, Cijmn, Cijkmnl, Cijkmnl, получим теорию Тупина, как строгийположив нулю тензоры Cijmn1112, Cijkmnlчастный случай, положив нулю тензоры Cijkmnl, получим теорию Миндлина,как другой строгий частный случай. Таким образом, постулировано обобщениевсех известных градиентных теорий, которое содержит их как свои строгиечастные случаи.Обобщенные теории упругости даже для изотропных материалов включаютмного дополнительных физических постоянных, экспериментальное определениекоторых затруднено или вовсе невозможно.

В связи с этим значительный интереспредставляют прикладные теории с малым числом дополнительных физическихпараметров. Однако процесс редукции нелокальных теорий, имеющий цельуменьшить число дополнительных параметров является не вполне тривиальным иможет приводить к некорректным теориям.422.3 Общая структура нелокальных теорий упругостиСформулируем обобщенную модель деформирования в перемещениях.Предполагаем, что имеют место расширенные соотношения Коши, определяющиетензор дисторсии Dij1 по вектору непрерывных перемещений:∂R1γ ij + θδ ij − ωk eijkdij = i =Ri , j ; Dij1 =3∂x j(2.47)γ ij - компоненты тензора девиатора деформаций, θ - объемная деформация, ωk -псевдовектор поворотов или упругих вращений, eijk - компоненты тензора ЛевиЧивиты, δ ij - тензор Кронекера.Полагаем, что для тензора дисторсий выполняются однородные условияПапковича:∂Din1enmj = 0∂xm(2.48)Следовательно, по тензору дисторсии Dij1 можно однозначно восстановить векторперемещений, используя формулы Чезаро: Ri =R +0iMx∫ γM0ij1+ θδ ij − ωk eijk  dy j , здесь dy j3- элемент выбранной траектории интегрирования, Ri0 - значение вектора Ri в точкеM 0 .