Диссертация (Исследование функционально-градиентных свойств сред с полями дефектов), страница 9

Каждое из выделенных слагаемых в (2.65) удовлетворяет условиюкорректности (симметрии по порядку дифференцирования). Поэтому любаячастная модель, полученная из (2.65) путем редуцирования также будеткорректной. Отметим, что при этом условие симметрии по первой паре индексовв первой и во второй тройках индексов (условие симметрии в теории деформаций)в общем случае не выполняется. Т.е. в общем случае физическая моделькорректной градиентной теории определяется соотношениями (2.57), (2.65). Такаятеория является теорией дисторсии.Для рассматриваемой теории определяющие соотношения имеют вид:=σ ij λθδ ij + 2µε ijmijk= k1 (∆Rk δ ij + ∆R jδ ik + θ,iδ jk ) + 2k2 (θ,k δ ij + θ, j δ ik ) + k7 ∆Ri δ jk +θ = Rk ,k-совместное+ 2k8 Ri , jk + 2k11 R j ,ik + Rk ,ij()изменениеобъема(дивергенция(2.66)перемещений),=ε ij ( Ri , j + R j ,i ) / 2 - тензор совместных деформаций.

Рассмотрим теперь второй путь,когда при построении градиентной теории упругости от тензоров модулей A (2.64)требуется выполнение и условий потенциальности и условий симметрии теориидеформаций (симметрия по первым парам индексов в обеих тройках для компонент(2.64)). В таком случае получим:()+ k4 (δ ik δ jlδ mn + δ imδ jk δ ln + δ ik δ jmδ ln + δ ilδ jk δ mn ) ++ k8 (δ ilδ jmδ kn + δ imδ jlδ kn ) + k9 (δ ilδ jnδ km + δ imδ jnδ kl + δ inδ jlδ km + δ inδ jmδ kl )Aijklmn= k1 δ ijδ klδ mn + δ inδ jk δ lm + δ ijδ kmδ ln + δ ik δ jnδ lm + k3δ ijδ knδ lm +Соотношения(2.67)описываютобщийклассградиентных(2.67)теорийдеформаций, для которых, вообще говоря, не выполняются условия корректности- условия симметрии по порядку дифференцирования.

В результате, есть опасность49получить градиентную теорию, не являющуюся корректной. Вводя в (2.67)дополнительно условие симметрии по порядку дифференцирования, получимвыражения для компонент градиентного тензора модулей упругости в полностьюсимметричной градиентной теории:(Aijklmn= k1 δ ijδ klδ mn + δ inδ jk δ lm + δ ik δ jlδ mn + δ imδ jk δ ln + δ ijδ kmδ ln + δ ik δ jnδ lm +)+δ ijδ knδ lm + δ ik δ jmδ ln + δ ilδ jk δ mn +(2.68)()+ k8 δ ilδ jmδ kn + δ ilδ jnδ km + δ imδ jlδ kn + δ imδ jnδ kl + δ inδ jlδ km + δ inδ jmδ kl .Тем самым доказано утверждение, что полностью симметричная корректнаяградиентная теория деформаций является в общем случае двухпараметрической иее физическая модель определяется равенствами (2.58), (2.68).

Для полностьюсимметричной теории деформации имеем:=σ ij λθδ ij + 2µε ij()mijk= k1 ( 2ε il ,l + θ,i ) δ jk + 2ε jl ,l + θ, j δ ki + ( 2ε kl ,l + θ,k ) δ ij  +(+ 2k8 ε ij ,k + ε jk ,i + ε ki , j)(2.69)здесь mijk = Aijklmnε lm,n . Вариационная постановка дает следующие уравненияравновесия:σ ij , j − mijk ,kj + PiV =0(2.70)Учитывая физические уравнения (2.69) и соотношения Коши получим:0 , где Lij=H ij L jk Rk + PiV =( λ + µ ) ∂i ∂ j + µδ ij ∆,H ij= δ ij − l12δ ij ∆ − l22∂ i ∂ j(2.71)где PiV - компоненты вектора объемных сил f, Lij - оператор Ламе, операторуравнений равновесия изотропной классической упругости, H ij - операторГельмгольца изотропной теории деформаций, ∆ = ∂ l ∂ l - лапласиан, l1 и l2 масштабные параметры.Для общей корректной теории, удовлетворяющей условиям симметрии попорядку дифференцирования, (2.68), (2.66) имеем:l1 =k1 + 2k8µи l2 =4 µ ( k1 + k2 + k11 ) − ( λ + µ ) ( k7 + 2k8 )µ ( λ + 2µ )(2.72)50Общее решение для корректной градиентной теории зависит от двухдополнительных параметров l1 и l2 , однако краевые условия, записанные с учетом(2.57), (2.68) будут содержать все пять дополнительных постоянных k1 , k2 , k7 , k8 , k11Для полностью симметричной градиентной теории (2.70), (2.71) имеем:l1 =k1 + 2k8µи l2 =4 µ ( 2k1 + k8 ) − ( λ + µ ) ( k1 + 2k8 )µ ( λ + 2µ )(2.73)Решение для полностью симметричной теории зависит только от двухдополнительных постоянных, т.е.

модель градиентных эффектов являетсядвухпараметрической.Краевые условия в градиентной теории упругости (в частности и в полностьюсимметричной теории) находятся из вариационной постановки как естественныекраевые условия.2.5 Общие теоремы об эквивалентности средПри решении задачи в рамках классической ТУ не будут приниматься вовнимание масштабные параметры в определяющих соотношениях, однако еслиперейти к моделям сред с полями дефектов, то появляется возможность учестьпараметры размерности длины и тем самым моделировать масштабные эффектыСвойства реальных материалов сложнее и многообразнее свойств сплошных(бездефектных) сред. Исходя из экспериментальных данных масштабные эффектыподтверждаются, для таких материалов, как алюминий, эпоксидные смолы,полипропилен [26, 27, 96] и др.

Однако, уточненные теории деформации в первуюочередь используются для моделирования аномальных физико-механическихсвойств гетерогенных сред с микроструктурой, дисперсных композитов с микронановключениями, керамик и пр. [20, 21, 97, 98]. Для моделирования масштабныхэффектов в различных физико-механических процессах, в основном, используютсяградиентные теории первого порядка в силу их относительной простоты [24-26, 97,99, 101, 102].

Теории сред с полями свободных деформаций также находят всебольшее применение при уточненном описании деформаций пористых сред,пластичности и т.д.51Стоит отметить, особенность локализации свойств в окрестности границыраздела фаз, местах смены граничных условий, иных точках и линий возмущений,возникающую при решении задач в теории сред с полями дефектов. Здесьвыявляется еще одна особенность – трактовка пограничных слоев в окрестностяхграницы раздела фаз как зон повреждений, вызванных локализацией полейдефектов или градиентных масштабных эффектов.В данном разделе предлагается трактовка сред с полями дефектов,описываемых с помощью градиентной упругости для однородных изотропныхматериалов в окрестности особых точек как некоторых межфазных слоев спеременными свойствами.

В общем случае свойства таких функциональныхмежфазных слоев с переменными свойствами зависят от координат, а также отусловий нагружения и краевых условий. Среды с изотропными и неизменными вотношении координат свойствами будем называть однородными средами. Поэтомубудем говорить о возможности эквивалентной трактовки однородных сред,локализованное деформированное состояние которых описывается в рамкахобобщенных моделей деформирования и сред с переменными свойствамифункциональных сред, описываемых в рамках классической теории упругости.2.5.1 Вариационная постановка сред с полями дефектовЗапишем вариационную модель сред с полями дефектов. Лагранжиан Lобщей модели имеет вид:L = A − U = A − ∫∫∫ UV dV − ∫∫ U F dF − ∑ ∫ U S ds − ∑U P(2.74)где A - работа внешних сил, UV - объемная плотность потенциальной энергии, U F- поверхностная плотность потенциальной энергии (энергии адгезии), U S погонная плотность потенциальной энергии ребер (при наличии), U P-потенциальная энергия угловых точек (при наличии).12UV = UV ( Dij1 , Dij2 , Dijn, Dijn)(2.75)1U F = U F ( Dij1 , Dij2 , Dijqδ qk* , Dijn2 δ qk* )(2.76)12U S = U S ( Dij1 , Dij2 , Dijnsn , Dijnsn )(2.77)52U P = U P ( Dij1 , Dij2 )(2.78)здесь Dij1 , Dij2 - кинематические переменные второго ранга, которые определяютинтегрируемуюинеинтегрируемую(свободную)дисторсию,12Dijn, Dijn-кинематические переменные третьего ранга, которые, трактуются [99] какградиенты интегрируемой и неинтегрируемой дисторсии; δ ij - тензор Кронекера;*δ=ij(δij− ni n j ) - «плоский» тензор Кронекера, определенный на поверхности тела сортом нормали ni ; si - орт касательной к ребру поверхности, если таковое имеется.Верхние индексы кинематических переменных являются номером сортапеременных[99].Междукинематическимипеременнымиустановленысоотношения, аналогичные соотношениям Коши [25, 62, 99, 101]:∂Ri=D= Ri , j∂x j1ij∂Dij1D= = Ri , jk∂xk1ijk∂Dij2D= = Dij2,k∂xk2ijk(2.79)где Ri - непрерывная часть вектора перемещений.

Соотношения (2.79) всовокупности определяют кинематическую модель исследуемой среды.Формулы Грина выведены для каждой плотности потенциальной энергии,определяют силовые факторы соответственно: в объеме тела, на поверхности,ребрах и угловых точках. В объеме среды формулы Грина, для силовых факторов,дают определения напряжений Коши σ ij1 и дислокационных напряжений σ ij2 ,аналогично, моментных напряжений σ ijk1 и σ ijk2 :σ ij1=∂UV∂UV∂UV∂UV1σ ij2 =σ ijkσ ijk2==121∂Dij∂Dij∂Dijk∂Dijk2(2.80)Для силовых факторов на поверхности среды формулы Грина дают определениясоответствующих адгезионных напряжений Кошиaij1и дислокационныхадгезионных напряжений aij2 , а также адгезионных моментных напряжений этихдвух сортов aijk1 , aijk2 :=aij1∂U F∂U F∂U F∂U F12=aij2=aijk=aijk121∂Dij∂Dij∂Dijk∂Dijk2(2.81)53Для силовых факторов на ребрах поверхности соотношения Грина будут выглядетьследующим образом:=bij1∂U S∂U S∂U S∂U S==bij2 =Bij1Bij21212∂Dij∂Dij∂ ( Dijn sn )∂ ( Dijnsn )(2.82)Спектр силовых факторов в угловых точках ребер поверхности определяетсяформулами:=fij1Такимобразом,следуя∂U P∂U P=fij21∂Dij∂Dij2алгоритмупостроения(2.83)моделиврамках«кинематического» вариационного принципа [24-25, 62, 101], формальноустановлена структура потенциальной энергии (2.74) - (2.78) и получена силоваямодель (2.80) - (2.83), соответствующая выбранной кинематической модели (2.79).РассмотримобъемнуюплотностьпотенциальнойэнергииUVкакположительно определенную изотропную квадратичную форму своих аргументов,в предположении физической линейности уравнений закона Гука.abbabb=2UV CijmnDija Dmn+ CijkmnlDijka Dmnl(2.84)Обобщенные формулы Грина (2.80) дают следующие уравнения закона Гука длясиловых факторов в объеме среды:11122σ ij1 =CijmnRm ,n + CijmnDmn111122σ ijk=CijkmnlRm ,nl + CijkmnlDmn,l2122221222σ ij2 =CijmnRm ,n + CijmnDmnσ ijk2 =CijkmnlRm ,nl + CijkmnlDmn,l(2.85)Поверхностная плотность потенциальной энергии U F записывается какположительно определенная трансверсально-изотропная квадратичная формасвоих аргументов.abbabbabb2U F =AijmnDija Dmn+ 2 AijmnlDija Dmnl+ AijkmnlDijka Dmnl(2.86)abпостроены в работах Лурье иТензоры адгезионных модулей четвертого ранга AijmnabБелова [22, 96, 100], а структура тензоров шестого ранга Aijkmnlи тензоров модулейabпятого ранга Aijmnlустановлена в работе [99].