Диссертация (Исследование функционально-градиентных свойств сред с полями дефектов), страница 8

Тензор дисторсии Dij1 в этом случае называют тензором стесненных дисторсий,акцентируя внимание на том, что он однозначно связан с вектором перемещений.В общем случае будем рассматривать среду с полями дефектов - дислокаций.Следовательно, будем полагать, что наряду с непрерывными перемещениями Riимеется поле дефектов, которое определяется плотностью дислокаций Ξij . Если всреде имеются поля дефектов, то наряду с тензором стесненных деформацийдеформационное состояние среды определяется также непрерывным тензоромсвободных дисторсий βij , отражающих наличие полей дефектов, которые несвязаны с полем перемещений.

Поэтому для свободных дисторсий имеют местонеоднородные условия Папковича [22]:43∂βinenmj =Ξ ij ≠ 0∂xmПраваяСледовательно,частьэтоуравненияуравнение(2.49)можно(2.49)являетсяплотностьюрассматриватькакдислокаций.определениехарактеристики полей дефектов - плотности дислокаций. Учитывая равенства(2.48) и (2.49) можем найти полный тензор дисторсий:Dij   = Dij1 + βij(2.50)Следует учесть, что только тензор стесненных дисторсий Dij1   в правой частиравенства (2.50) может быть записан через вектор перемещений Ri с помощьюсоотношения Коши, следовательно:1, Ri , jDij    D=Ri , j + βij==ij + β ij∂Ri∂x j(2.51)Соотношениями (2.48) - (2.50) полностью определяется кинематическая частьмоделей сред с полями дефектов - дислокаций.Существенно, что уравнение (2.49) является неоднородным в случаесуществования полей дефектов.

Иначе тензор βin был бы интегрируемым, егоможно было бы отождествить с тензором Dij1   и он определял бы непрерывное полеперемещений с помощью формулы Чезаро, а не поле дефектов.Обратим внимание, что именно при определении кинематической сторонымоделей сред с полями дефектов - дислокаций (модели сред Миндлина) внекоторых научных публикациях допускаются ошибки. Они связаны с тем, чтосоотношения Коши навязываются полными дисторсиями, забывая, что для полныхдисторсий условия интегрируемости не выполняются ∂Din / ∂xm enmj =Ξij ≠ 0 в силусоотношений (2.49), (2.50).

Предположим, что подобное недоразумение могловозникнуть, в силу неверной аналогии с термоупругостью, где соотношения Кошисправедливы для полных деформаций.442.4 Условия симметрии в градиентных теориях упругостиРассмотрим плотность потенциальной энергии в градиентной теорииупругости:()U Ri , j , Ri , jk =()1σ ij Ri , j + µijk Ri , jk =2(2.52)1= Cijkl Ri , j Rk ,l + Aijklmn Ri , jk Rl ,mn + 2 Blmijk Rl ,m Ri , jk 2В данной постановке плотность потенциальной энергии (2.52) полностьюопределяет физическую модель, которая строится с помощью формул Грина:σ ij =+Cijkl Rk ,l Bijklm Rk ,lm , mijk =Blmijk Rl ,m + Aijklmn Rl ,mn(2.53)В общем случае компоненты Aijklmn , Blmijk и Cijkl упругих тензоров A, B и Cудовлетворяют условию потенциальности:=Cijkl C=Almnijkklij , Aijklmn(2.54)но не удовлетворяют условиям симметрии, соответствующим теории деформаций.Если дополнительно удовлетворить условия симметрии деформаций, то получим:=Cijkl Cijlk , B=B=Bijlkm , A=Aijkmlnijklmjiklmijklmn(2.55)В результате, определяющие соотношения (2.53) записываются в деформациях:σ ij =Cijkl ε kl + Bijklmε kl ,m , mijk =+Blmijk ε lm Aijklmnε lm,n(2.56)Рассмотрим снова общий случай изотропного материала.

Для центральносимметричных материалов тензор пятого ранга B отсутствует. В результате числонезависимых упругих постоянных материала уменьшается, а определяющиесоотношения градиентной теории дисторсий (2.53) становятся несвязанными:σ ij = Cijkl Rk ,l , mijk = Aijklmn Rk ,lm , Cijkl ≠ Cijlk , Aijklmn ≠ Aijkmln(2.57)Соответственно, для градиентной теории деформаций (2.55) вместо (2.56) получим:=σ ij C=Aijklmnε kl ,mijkl ε kl , mijk(2.58)Соотношения (2.58) могут быть представлены в форме (2.57), если воспользоватьсяравенством=ε ij( Ri, j + R j,i )Остановимся2.болееподробнонаградиентнойчастиплотностипотенциальной энергии деформации Aijklmn Ri , jk Rl ,mn / 2 .

Обратим внимание на то, что45вторые производные от компонент вектора перемещенийRi , jkявляютсякомпонентами тензора второго ранга, и удовлетворяют условию симметрии вотношении перестановки индексов в последней паре:Ri , jk = Ri ,kj(2.59)Условие симметрии (2.59), является необходимым и достаточным условиемнепрерывности первых производных вектора перемещений.

Это качествонепрерывных полей перемещений отмечается специально, как характерноесвойство градиентных теорий упругости, поскольку для таких теорий градиентнаячастьпотенциальнойэнергииявляетсяквадратичнойформойкривизнперемещений.Рассмотрим физическое соотношение для тензора моментных напряжений(2.57) и выделим в тензоре модулей упругости симметричные и антисимметричныесоставляющие по индексам, соответствующим порядку дифференцирования:= (1/ 2) ( Aijklmn + Aijklnm ) + ( Aijklmn − Aijklnm )  Rl ,mnm=Aijklmn Rl ,mnijk(2.60)Антисимметричная часть тензора градиентных модулей ( Aijklmn − Aijklnm ) / 2 в (2.60) небудет входить в выражение для неклассической плотности энергии деформацииAijklmn Ri , jk Rl ,mn и, поэтому, является энергетически невидимой.

Только симметричнаячасть тензора градиентных модулей Aijklmn является энергетически существенной.Псевдотензор моментных напряжений mijk может быть представлен в видеследующего разложения:()()mijk =(1/ 2) mijk + mikj + (1/ 2) mijk − mikj =mˆ ijk + m ijk(2.61)где mˆ ijk , m ijk - компоненты симметричного и антисимметричного тензоров m̂ и mсоответственно.Так как в градиентной теории упругости в силу симметрии тензора Rl ,mn попорядку дифференцирования имеет место равенство δ Rl ,mn = δ Rl ,nт , то толькосимметричная часть mˆ ijk тензора моментов определяет вариацию градиентной=δ U σ ijδ Ri , j + mˆ ijk δ Ri , jk .

Следовательно, ичасти плотности потенциальной энергии46уравнения равновесия и естественные граничные условия определяются толькосимметричной частью тензоров моментов по порядку дифференцирования.Антисимметричная часть является энергетически невидимой и должна бытьопущена.Приведем математическое доказательство этого утверждения. Рассмотримвариацию плотности упругой энергии δ U :=δ U σ ijδ Ri , j + mijk δ Ri , jk(2.62)Так как Ri , jk = Ri ,kj , то вариация δ Ri , jk в (2.62) не может использоваться каксвободная независимая переменная. Следуя методу множителей Лагранжа,записываем:δU =σ ijδ Ri , j + mijk δ Ri , jk + λijk δ Ri , jk(2.63)где δ U - расширенный функционал, Ri , jk - компоненты антисимметричной частивторого градиента вектора перемещений ∇∇R в (2.62), (2.63) и λijk - компонентытензора третьего ранга - неизвестного пока тензора множителей Лагранжа.Используя разложение (2.61) для тензора mijk и δ Ri , jk , найдем:m=mˆ ijk δ Rˆi , jk + m ijk δ Ri , jkijk δ Ri , jkи соответственно:δ U= σ ijδ Ri , j + mˆ ijk δ Rˆi , jk + ( λijk + m ijk ) δ Rˆi , jkДобьемся исключения δ Ri , jk , используя свойства множителей Лагранжа иполагая λijk = −m ijk .

В результате из (2.63) получим следующую вариационнуюпроблему со свободными переменными, записанную в терминах симметричнойчасти m̂ :δU =σ ijδ Ri , j + mˆ ijk δ Rˆi , jk =σ ijδ Ri , j + mˆ ijk δ Ri , jk =0где δ Ri , jk может быть рассмотрена как свободная переменная. Следовательно,имеет место следующее утверждение. Теорема: вариационное уравнение дляградиентной теории упругости может быть записано только для симметричнойчасти тензора моментов (из-за условия Ri , jk = Ri ,kj ). Следовательно для градиентной47упругости и краевая задачи в целом должна быть сформулирована только длясимметричной части тензора m : mijk = mikj .Таким образом для градиентной теории упругости тензор градиентныхмодулей A должен удовлетворять условию потенциальности (2.54) и условиюсимметрии по порядку дифференцирования.Заметим, что доказанная теорема остается справедливой и для более общейтеории когда Blmijk ≠ 0 .Есть два пути для удовлетворения этих требований.

Первый путь основан напривлечении градиентной теории упругости, которая автоматически удовлетворяетиусловиюпотенциальности,иусловиюсимметриипопорядкудифференцирования (по второму и третьему, также по пятому и шестомуиндексам). Второй путь связан с тем, что обычно в качестве прикладных теорийиспользуютсяградиентныетеориидеформаций(2.58).Тогдапроцедураудовлетворения условию симметрии по порядку дифференцирования, связана свыбором подмножества теорий с требуемыми свойствами симметрии из общихградиентных теорий деформаций, удовлетворяющих всем трем условиямсимметрии.

Градиентную теорию с такими свойствами можно называть полностьюсимметричной градиентной теорией.В общем случае для изотропного центрально симметричного материалатензорградиентныхмодулейупругостизаписываетсячерезпятнадцатьнезависимых постоянных материала:Aijklmn = k1δ ijδ klδ mn + k2δ ijδ kmδ ln + k3δ ijδ knδ lm + k4δ ik δ jlδ mn + k5δ ik δ jmδ ln ++ k6δ ik δ jnδ lm + k7δ ilδ jk δ mn + k8δ ilδ jnδ kl + k9δ ilδ jnδ km + k10δ imδ jk δ ln +(2.64)+ k11δ imδ jlδ kn + k12δ imδ jnδ kl + k13δ inδ jk δ lm + k14δ inδ jlδ km + k15δ inδ jmδ klгде δ ij - тензор Кронеккера, а k1 , , k15 - компонентны тензора адгезии (физическиепостоянные материала).Требования выполнения условия потенциальности и условия симметрии попорядку дифференцирования приводят к тому, что тензор градиентных модулейупругости зависит только от пяти физических постоянных:48()+ k2 (δ ijδ kmδ ln + δ ik δ jnδ lm + δ ijδ knδ lm + δ ik δ jmδ ln ) + k7δ ilδ jk δ mn ++ k8 (δ ilδ jmδ kn + δ ilδ jnδ km ) + k11 (δ imδ jlδ kn + δ imδ jnδ kl + δ inδ jlδ km + δ inδ jmδ kl )Aijklmn= k1 δ ijδ klδ mn + δ inδ jk δ lm + δ ik δ jlδ mn + δ imδ jk δ ln +(2.65)При таком подходе к построению физической модели среды реализуетсяпервый путь.