Диссертация (Исследование функционально-градиентных свойств сред с полями дефектов), страница 5

Для первого подхода предлагаются определяющиесоотношения, позволяющие установить эквивалентность сред, а для второго –примеры учета явлений с физической точки зрения, например, зависимости от типанагружения.25Глава 2 Неклассические модели сред с полями дефектов иградиентные модели сред2.1 ВведениеАнализсовременногоуровняисследованийвобластимеханикимелкодисперсных композитов и сред с микро- и нано- структурой показывает, чтопотребность в корректных моделях механики, способных описать масштабныеэффекты, является своевременной и актуальной. Классическая механика сплошнойсреды не может в принципе описать масштабные эффекты. Эта ситуация,несомненно, ограничивает возможности моделирования аномальных свойствновых материалов с внутренними структурами (нанокомпозитов, наноустройств,тонких пленок и т.д.).

Развитие технологии производства нанообъектов инаноустройств требует создания теории, способной описать как свойства ужесуществующих нанообъектов и структур, так и еще проектируемых. Вбольшинстве случаев, нанообъекты используются не сами по себе, а в сочетании смакрообъектами. Поэтому важную роль играет технология создания композиции иумение ее моделировать.

Знание физических механизмов, и умение управлятьтакими явлениями, как смачиваемость, капиллярность, адгезия, имеет большоезначение при разработке композиционных материалов и технологии ихпроизводства.Исходя из данной точки зрения методы механики сплошной средыпредставляются наиболее последовательными и корректными, и могут служитьосновой для построения моделей механики дефектных сред. Если попытатьсявыразить это в более формальном виде, то получается следующие: должны бытьразвиты модели деформирования сред с учетом масштабных эффектов, связанныхс существованием в сплошной среде неоднородностей масштаба 10-9 м.

Воснование таких моделей должен быть заложен факт существования дефектовсплошности, таких как дислокации, дисклинации и дефекты более высокого ранга.При этом, конечно, описание громадного количества изолированных дефектов26типа дислокаций целесообразно заменить представлением в виде поля. Реализациятакого подхода, даже в рамках линейных моделей, позволяет развить механикудефектных сред как некоторое естественное обобщение классической механикидеформируемых сред.2.2 Основные градиентные модели и неклассические модели сред с полямидефектов2.2.1 Теория сред КоссераТеория сред Коссера [93] является самой старой неклассической модельюсплошной среды.

В общем случае лагранжиан L теории сред Коссера может бытьпредставлен в следующем виде:L= A − ∫∫∫ UV dV=A∫∫∫ PViFRi dV + ∫∫ Pi Ri dF(2.1) −R Э 11Cos serat 2UV= [CijmnRi , j Rm ,n + 8 χ 12  i , j ijk  ωk2 + 4 χ 22ωk2ωk2 + Cijmnωi , jωm2 ,n ] / 22здесь A - работа внешних объемных PiV и поверхностных Pi F сил, UV - объемнаяплотность потенциальной энергии, Ri - вектор перемещений, Ri , j - градиент вектораперемещений (тензор стесненной дисторсии), ωk2 - псевдовектор свободныхповоротов, которые по определению не могут быть представлены как роторперемещений, δ ij - тензор Кронекера, Эijk - псевдотензор Леви-Чивиты.

Тензорымодулей имеют следующую структуру:11= λ 11δ ijδ mn + ( µ 11 + χ 11 )δ imδ jn + ( µ 11 − χ 11 )δ inδ jmCijmnCos serat= C1Cδ ijδ mn + (C2C + C3C )δ imδ jn + (C2C − C3C )δ inδ jmCijmn(2.2)λ 11 , µ 11 - классические коэффициенты Ламе, χ 11 , χ 12 , χ 22 - неклассические модули,имеющие ту же размерность, что и классические модули, C1C , C2C , C3C - моментныемодули, по размерности отличающиеся от классических модулей на размерностьквадрата длины.Эта теория характерна тем, что каждой точке среды приписывается шестьстепеней свободы: три компоненты вектора перемещений Ri и три компоненты27псевдовектора свободных поворотов ωk2 , которые не являются вихрями поляперемещений.

Таким образом, каждая точка такой среды ведет себя как абсолютнотвердое тело. Независимые кинематические переменные Ri и ωk2 определяюткинематическую модель среды Коссера.Из выражения объемной плотности потенциальной энергии теории средКоссера следуют формулы Грина, которые определяют силовую модель теории, иуравнения закона Гука для соответствующих силовых факторов:∂UV11= CijmnRm ,n − 2 χ 12ωk2 Эijk∂Ri , j=σ ij∂UV=−2 χ 12 Ri , j Эijk + 4 χ 22ωk2mk =2∂ωk=mij(2.3)∂UVCos serat 2= Cijmnωm , n∂ωi2, jТаким образом, теория сред Коссера допускает существование в средеследующих внутренних силовых факторов: несимметричного тензора напряженийσ ij ,псевдовектора объемных моментовmkи псевдотензора моментныхнапряжений mij .Вариационное уравнение теории сред Коссера получено из условиястационарности лагранжиана:δL =δ A − ∫∫∫ [σ ijδ Ri , j + miδωi2 + mijδωi2, j ]dV =∫∫∫ [(σ+∫∫ [( P=ij , jFi+ PiV )δ Ri + (mij , j − mi )δωi2 ]dV +(2.4)− σ ij n j )δ Ri + (−mij n j )δωi2 ]dF =0Вариационное уравнение теории сред Коссера в кинематических переменных:δL=∫∫∫11[(CijmnRm ,nj + 2 χ 12ωm2 ,n Эmni + PiV )δ Ri +Cos serat 2+ (2 χ 12 Rm ,n Эmni − 4 χ 22ωi2 + Cijmnωm,nj )δωi2 ]dV +(2.5)1112 2Cos serat22F+∫∫ [( Pi − Cijmn n j Rm,n − 2 χ ωm nn Эmni )δ Ri + (−Cijmn n jωm,n )δωi ]dF =0Уравнения Эйлера:(2 µ 11 + λ 11 ) R j , ji + ( µ 11 + χ 11 )( Ri , jj − R j , ji ) + 2 χ 12ωm2 ,n Эmni + PiV =0 1222 2222CCCC02 χ Rm ,n Эmni − 4 χ ωi + (C2 + C3 )(ωi , jj − ω j , ji ) + (C1 + 2C2 )ω j , ji =Дивергенция уравнений равновесия моментов дает:(2.6)28(CC1+ 2C2C )4 χ 22ω,kk − ω =0(2.7)здесь введено обозначение ω = ωi2,i .

Ротор уравнений равновесия сил при χ 12 ≠ 0дает:( µ 11 + χ 11 )1=(ω − ω )R p , jjq Э pqi + 12 PpV,q Э pqi122χ2χ2i , jj2j , ji(2.8)Тогда уравнение равновесия моментов можно записать относительно ωi2 валгебраическом виде:(C C + C3C )( µ 11 + χ 11 )(C2C + C3C ) V(C1C + 2C2C )χ 12RЭPЭωi2 =22 R p ,q Э pqi + 2ω,i (2.9)++p , jjq pqip , q pqi2χ8 χ 12 χ 228 χ 12 χ 224 χ 22Подставляя ωi2 в уравнение равновесия сил, получим:χ 12 χ 12 (2 µ 11 + λ 11 ) R j , ji +  µ 11 + χ 11 − ( R − R j , ji ) −χ 22  i , jj(C C + C3C )( µ 11 + χ 11 )(C2C + C3C ) VV()( Pi , jj − PjV, ji ) =0RRP− 2−+−i , jjj , ji , kki22224χ4χ(2.10)таким образом, теория сред Коссера может быть описана решением распадающейсясистемы уравнений относительно вектора перемещений Ri и псевдоскаляра ω :(C− 11χ 12 χ 12 1111112Rµλµχ+++−() j , ji  ( R − R j , ji ) −χ 22  i , jjC2+ C3C ) ( µ 11 + χ 11 )4χ22( Ri , jj − R j , ji ),kk + PiV(C−C2+ C3C )4χ22( PiV, jj − PjV, ji ) =0(2.11)(C1C + 2C2C )0ω,kk − ω =4 χ 22При этом краевая задача при χ 12 ≠ 0 остается связанной и содержит шестьграничных условий в каждой неособенной точке поверхности.

Следует обратитьвнимание на то, что разрешающие уравнения теории не содержат одной из трехлинейных комбинаций «моментных» модулей, а именно: ( C2C − C3C ) . Она фигурируеттолько в формулировке статических граничных условий на «моментные»напряжения.292.2.2 Теория сред ДжеремиллоТеория сред Джеремилло [94] является давно известной, но забытой,неклассической моделью сплошной среды. В общем случае лагранжиан L теориисред Джеремилло может быть представлен в следующем виде:L= A − ∫∫∫ UV dVJ1111=+ Cijkmnlε ij1ε mnε ij1 ,k ε mnUV [Cijmn,l ] / 2(2.12)=ε ij1 ( Ri , j + R j ,i ) / 2Из факта существования плотности потенциальной энергии следует, что тензорымодулей обладают следующим свойством симметрии:1111Cijmn= CmnijJJCijkmnl= Cmnlijk(2.13)1кроме того, так как тензор шестого ранга ε ij1 ,k ε mn,l симметричен при перестановкеиндексов внутри пар i, j и m, n , антисимметричные по этим индексам компонентыJJ1ε ij1 ,k ε mnтензора модулей Cijkmnlне войдут в выражение потенциальной энергии Cijkmnl,l / 2и их можно без ущерба для общности положить равными нулю.

Отсюда:11Cijmn=λ 11δ ijδ mn + µ 11 (δ imδ jn + δ inδ jm )JCijkmnl= C1J (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk + δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ++ δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk + δ ik δ jnδ ml + δ imδ jk δ nl + δ ijδ klδ mn ) +(2.14)+C2J (δ inδ jlδ km + δ mjδ nk δ li + δ imδ jlδ nk + δ ilδ jnδ mk + δ imδ jnδ kl + δ inδ mjδ kl )Кинематическая модель теории сред Джеремилло является классической иопределяется независимыми кинематическими переменными Ri .Из выражения объемной плотности потенциальной энергии следуютформулы Грина, которые определяют силовую модель теории, и дают уравнениязакона Гука для соответствующих силовых факторов:=σ ij∂UV11= CijmnRm ,n∂Ri , j∂UVJ=mijk =CijkmnlRm ,nl∂Ri , jk(2.15)30Таким образом, теория сред Джеремилло допускает существование в средеследующих внутренних силовых факторов: симметричного тензора напряжений σ ijи тензора моментных напряжений mijk .Вариационное уравнение теории сред Джеремилло получено из условиястационарности лагранжиана:δL =δ A − ∫∫∫ (σ ijδ Ri , j + mijk δ Ri , jk )dV ==δ A − ∫∫∫ (σ ij − mijk ,k )δ Ri , j dV − ∫∫ mijk nkδ Ri, j dF ==∫∫∫(σ ij , j − mijk , jk + PiV )δ Ri dV +F+∫∫ {[ Pi − (σ ij − mijk ,k )n j ]δ Ri − mijk nkδ Ri, j }dF ==∫∫∫(2.16)(σ ij , j − mijk , jk + PiV )δ Ri dV +*F+∫∫ {[ Pi − (σ ij − mijk ,k )n j + (mijkδ pj nk ), p ]δ Ri − mijk n j nkδ Ri }dF −0− ∑ ∫ mijk v j nk δ Ri ds =здесь точкой над переменной обозначена нормальная к поверхности производная*δ jk − n j nk - «плоский» тензор Кронекера, v j - орт криволинейнойRi = Ri , j n j .