Диссертация (Исследование функционально-градиентных свойств сред с полями дефектов), страница 10

С учетом (2.86) уравнения закона Гукадля силовых факторов на поверхности среды можно получить из обобщенныхформул Грина (2.81):541112211122+ Aijmnlaij1 = AijmnRm ,n + AijmnDmnRm ,nl + AijmnlDmn,l11121211122= Amnijk+ AijkmnlaijkRm ,n + AmnijkDmnRm ,nl + AijkmnlDmn,l2122221222+ Aijmnlaij2 = AijmnRm ,n + AijmnDmnRm ,nl + AijmnlDmn,l(2.87)22221222212=aijkAmnijkRm ,n + Amnijk Dmn + Aijkmnl Rm , nl + Aijkmnl Dmn ,lИспользуя формулировки плотностей потенциальной энергии (2.84) и (2.86),запишем лагранжиан наиболее общей теории сред с полем сохраняющихсядислокаций в следующем виде:1abbabb+ CijkmnlL=A − ∫∫∫ (CijmnDija DmnDijka Dmnl)dV −21abbabbabb− Dija Dmn+ 2 AijmnlDija Dmnl+ AijkmnlDijka Dmnl( Aijmn)dF∫∫2(2.88)В этом выражении не записаны потенциальные энергии ребер поверхности и ихугловых точек.

Поэтому лагранжиан в выписанной форме (2.88) описывает упругиесвойства тел без учета индивидуальных физических свойств ребер и угловых точек.2.5.2 Лагранжиан и уравнения эйлераПредставим лагранжиан исследуемой здесь теории (2.88) в развернутом виде:1111122222L=A − ∫∫∫ [CijmnDij1 Dmn+ 2CijmnDij1 Dmn+ CijmnDij2 Dmn+211111212222]dV −+ CijkmnlDijkDmnl+ 2CijkmnlDijkDmnl+ CijkmnlDijk2 Dmnl1111122222[ AijmnDij1 DmnDij1 DmnDij2 Dmn+ 2 Aijmn+ Aijmn+∫∫2111122211222+2 AijmnlDij1 Dmnl+ 2 AijmnlDij1 Dmnl+ 2 AijmnlDij2 Dmnl+ 2 AijmnlDij2 Dmnl+−(2.89)11111212222+ AijkmnlDijkDmnl+ 2 AijkmnlDijkDmnl+ AijkmnlDijk2 Dmnl]dFКак частный случай вариационная модель (2.89) приводит к модели сред Миндлинас полем свободных деформаций. Действительно, если в (2.89) положить равными1112, Cijkmnlи все тензоры адгезионных модулей,нулю тензоры «объемных» модулей Cijkmnlто получим лагранжиан теории сред Миндлина:1111122222222L=A − ∫∫∫ [CijmnDij1 DmnDij1 DmnDij2 DmnDijk2 Dmnl]dV+ 2Cijmn+ Cijmn+ Cijkmnl2Из теории Миндлина, в свою очередь, следуют [62, 24] как строгие частныеслучаи: «простейшая» теория сред с сохраняющимися дислокациями, теория сред55Коссера (теория сред с ω - дислокациями), теория пористых сред (теория сред с θ- дислокациями) и теория сред с γ - дислокациями [25, 62, 101].Рассмотрим еще один частный случай.

Пусть все тензоры модулей,содержащие индекс сортности 2, равны нулю. Тогда лагранжиан теории принимаетвид, совпадающий с лагранжианом идеальной (бездефектной) среды Миндлина1111Aijmn0,=Aijmnl0 иТупина с адгезионными свойствами поверхности [101], а при=11Aijkmnl= 0 с «классической» теорией Тупина [22, 96, 100]:11111111L=A − ∫∫∫ [CijmnDij1 Dmn+ CijkmnlDijkDmnl]dV2Врезультате,модельпсевдоконтинуумаМиндлина-Тупинаможетрассматриваться как строгий частный случай более общей модели (2.89), а не какприближенный частный случай модели сред с полями дефектов Миндлина,1полученный с использованием гипотезы Dij2 ≈ aijmn Dmn[25, 62, 101]. Таким образомлюбая теорема, доказанная в рамках общей теории, будет справедлива и для любойизвестной градиентной теории, имеющей ту же или более простую структуру, чем(2.89).В соответствии с (2.80), (2.81) вариация лагранжиана (2.89) может бытьзаписана в виде:11δL =δ A − ∫∫∫ [σ ij1δ Dij1 + σ ij2δ Dij2 + σ ijkδ Dijk+ σ ijk2 δ Dijk2 ]dV −11221122−∫∫ [aijδ Dij + aijδ Dij + aijkδ Dijk + aijkδ Dijk ]dFВ соответствии с (2.79) вариация лагранжиана (2.89) может быть записана в виде:1δL =δ A − ∫∫∫ [σ ij1δ Ri , j + σ ij2δ Dij2 + σ ijkδ Ri , jk + σ ijk2 δ Dij2,k ]dV −122122−∫∫ [aijδ Ri, j + aijδ Dij + aijkδ Ri, jk + aijkδ Dij ,k ]dFВзяв слагаемые, содержащие кривизны по частям, получим:1222δ L =δ A − ∫∫∫ [(σ ij1 − σ ijk, k )δ Ri , j + (σ ij − σ ijk , k )δ Dij ]dV −1112222−∫∫ [(aij + σ ijk nk − aijk ,k )δ Ri, j + (aij + σ ijk nk − aijk ,k )δ Dij ]dF −12vk δ Ri , j + aijkvk δ Dij2 }ds− ∑ ∫ {aijkВведем определения обобщенных силовых факторов:561(σ ij1 − σ ijkτ ij1k),= 22τ ij2(σ ij − σ ijk ,=k)11(aij1 + σ ijknk − aijkaij1k),= 222aij2(aij + σ ijk nk − aijk ,=k)1aijkv=pij1k 2pij2aijk v=k(2.90)Вариационное уравнение в обобщенных силовых факторах, выраженных черезисходные кинематические переменные:δ L=∫∫∫[(τ ij1 , j + PiV )δ Ri − τ ij2δ Dij2 ]dV −F11 *122+∫∫ {[ Pi − τ ij n j + (aijδ kj ),k ]δ Ri − aij n jδ Ri − aijδ Dij }dF −−∑ ∫ {[aij1 v j − ( pij1 s j sk ),k ]δ Ri + pij1 δ Ri ,k (vk v j + nk n j ) + pij2δ Dij2 }ds −− ∑ pij1 s jδ Ri =02.5.3 Теоремы об энергетической эквивалентностиВ этом разделе приведем утверждения, позволяющие давать трактовкимоделям сред с полями дефектов как моделям неоднородной среды МиндлинаТупина.

Приводится также утверждение, позволяющее, трактовать моделиградиентных сред псевдоконтинуума как эквивалентной неоднородной среды,описываемой классической теорией упругости.Теорема-1: лагранжиан общей теории сред с полями сохраняющихсядислокаций можно представить в виде лагранжиана неоднородной средыМиндлина-Тупина.Доказательство. Пусть основные неизвестные Ri и Dij2 удовлетворяютрешению некоторой краевой задачи, вытекающей из требования стационарностилагранжиана (2.89). Введем в качестве промежуточных переменных вместокомпонентов тензора свободной дисторсии Dij2 компоненты тензора относительнойповрежденности tij соотношениями:Dij2 tip R p , j =Dijk2 tip R p , jk + tip ,k R p , j=(2.91)Из определения (2.91) следует, что тензор tij тоже является известнойфункцией координат, соответствующий выбранной краевой задаче.

Этот тензоропределяется единственным образом, если определитель тензора R p , j не равеннулю.Подставляя (2.91) в (2.89), получим:571122222L=A − ∫∫∫ [(C11pjqn + 2C pjmn t mq + Cijmn tip t mq + Cijkmnl tip , k t mq ,l ) R p , j Rq , n +222+ 2(C12pjkmnl t mq ,l + Cijkmnl tip t mq ,l ) Rq , n R p , jk +1222+ (C11pjkqnl + 2C pjkmnl t mq + Cijkmnl tip t mq ) R p , jk Rq , nl ]dV −11212[( A11pjqn + 2 Apjmn t mq + 2 Apjmnl t mq ,l +∫∫2222222+ Aijmntip tmq + 2 Aijmnltip tmq ,l + Aijkmnltip ,k tmq ,l ) R p , j Rq ,n +−121221+ (2 A11pjqnl + 2 Apjmnl t mq + 2 Aqnlijkυip , k + 2 Aijqnl tip +222222+ 2 Aijmnltip tmq + Aijkmnltip ,k tmq + Aijkmnltmq tip ,k ) R p , j Rq ,nl +1222+ ( A11pjkqnl + 2 Apjkmnl t mq + Aijkmnl tip t mq ) R p , jk Rq , nl ]dFВведем определения переменных по координатам тензорных полей упругихC ijmn , C ijmnl , C ijkmnl и адгезионных Aijmn , Aijmnl , Aijkmnl свойств:11122222C ijmn =Cijmn+ 2Cijbntbm + Cajbntai tbm + Cajkbnltai ,k tbm ,l 1222Cijmnl (Cmnlbjk+ Canlbjktam )tbi ,k=111222Cijkmnltbm + Cajkbnltai tbm+ 2CijkbnlCijkmnl =111222122222 Aijmn =Aijmn+ 2 Aijbnυbm + Aajbntai tbm + (2 Aijbnl + 2 Aajbnl t ai + Aajkbnl t ai , k )tbm ,l111221221222 Aijmnl =Aijmnl + Aijbnl tbm + Aajmnl tai + Aajbnl tai tbm + ( Amnlajk + Aajkbnl tbm )tai ,k111222( Aijkmnl+ 2 Aijkbnltbm + Aajkbnltai tbm ) Aijkmnl =(2.92)Используя выражения (2.91) и (2.92), приведем лагранжиан общей теории(2.89) к лагранжиану неоднородной среды Тупина:{}1L=A − ∫∫∫ C ijmn Ri , j Rm ,n + 2C ijmnl Ri , j Rm ,nl + C ijkmnl Ri , jk Rm ,nl dV −21− Aijmn Ri , j Rm ,n + 2 Aijmnl Ri , j Rm ,nl + Aijkmnl Ri , jk Rm ,nl dF2 ∫∫{}(2.93)Таким образом, доказано, что лагранжианы (2.89) и (2.93) эквивалентны, еслисправедливы соотношения (2.91).Получимвариационноеуравнение,соответствующееусловиюстационарности лагранжиана (2.93), в новых переменных с учетом определенийобобщенных силовых факторов (2.90):58∫∫∫ {[τ=δL1ij , j+ PiV + (τ kj2 tki ), j ]δ Ri − τ ij2 R p , jδ tip }dV −F11 *22*+∫∫ {[ Pi − τ ij n j + (aijδ kj ),k − τ kj tki n j + (akj tkiδ qj ),q ]δ Ri −− (aij1 n j + akj2 tki n j )δ Ri − aij2 R p , jδ tip }dF −−∑ ∫{[aij1 v j − ( pij1 s j sk ),k + akj2 tki v j − ( pqj2 tqi sk s j ),k ]δ Ri +(2.94)+ ( pij1 + pqj2 tqi )δ Ri ,k (vk v j + nk n j ) + pij2 R p , jδ tip }ds −0− ∑ [ pij1 s j + pqj2 tqi s j ]δ Ri =Сравнение уравнений Эйлера в старых и новых переменных приводит кследующему заключению: уравнения Эйлера совпадают, если определительтензора стесненной дисторсии R p , j не равен нулю.В старых переменных:τ ij1 , j + PiV =0 2τ ij = 0В новых переменных:τ ij1 , j + PiV + (τ kj2 tki ), j =0 2τ ij R p , j = 0Сравнение краевых задач в старых и новых переменных приводит кследующему заключению: краевые задачи совпадают, если определитель тензорастесненной дисторсии R p , j не равен нулю.Формулировка спектра краевых задач в старых переменных:∫∫ {[ P−∑ ∫ {[a vFi1ijj− τ ij1 n j + (aij1 δ kj* ),k ]δ Ri − aij1 n jδ Ri − aij2δ Dij2 }dF −− ( pij1 s j sk ),k ]δ Ri + pij1 δ Ri ,k (vk v j + nk n j ) + pij2δ Dij2 }ds −− ∑ pij1 s jδ Ri =0Формулировка спектра краевых задач в новых переменных:∫∫{[ Pi F − τ ij1 n j + (aij1 δ kj* ),k − τ kj2 tki n j + (akj2 tkiδ qj* ),q ]δ Ri −− (aij1 n j + akj2 tki n j )δ Ri − aij2 R p , jδ tip }dF −−∑ ∫ {[aij1 v j − ( pij1 s j sk ),k + akj2 tki v j − ( pqj2 tqi sk s j ),k ]δ Ri ++ ( pij1 + pqj2 tqi )δ Ri ,k (vk v j + nk n j ) + pij2 R p , jδ tip }ds −− ∑ [ pij1 s j + pqj2 tqi s j ]δ Ri =059Таким образом, теорема доказана для всех возможных кинематических состояний,удовлетворяющих условию:=R p ,q Ri ,m R j ,n Rk ,l Эijk Эmnl ≠ 0Стоит отметить, что формулировка общей теории сред с полямисохраняющихся дислокаций в форме (2.93) не содержит в явном виде тензорсвободных дисторсий Dij2 или тензор относительной поврежденности tij .

Этипеременные оказались «спрятанными» в тензорные поля упругих и адгезионныхсвойств. Так как для каждой конкретной краевой задачи тензор относительнойповрежденности tij известен как функция координат, то в соответствии с (2.92) иполя упругих и адгезионных свойств также известны как функции координат.Учтем тот факт, что свободная дисторсия Dij2 и, следовательно, относительнаяповрежденность tij концентрируются вблизи поверхностей возмущения и носятлокальный характер. Тогда с точки зрения определений (2.92) можно утверждать,что переменность механических свойств, обусловленная тензорными полямиC ijmn , C ijmnl , C ijkmnl и Aijmn , Aijmnl , Aijkmnl , так же носит локальный характер.Следствие-1.

Области изотропной среды вблизи поверхностей возмущенияможно трактовать с точки зрения неоднородной среды Миндлина-Тупина какмежфазные слои (в силу локальности тензорных полей механических свойств).Следствие-2. Межфазные слои являются неклассическими изотропныминеоднородными объектами, не имеющими фиксированной толщины. В то же времяони обладают определенными геометрическими параметрами, связанными сотношениями неклассических модулей разной физической размерности (схарактерными длинами когезионных и адгезионных взаимодействий).В качестве аналогии можно привести краевой эффект теории пластинТимошенко.

Он не имеет фиксированной длины, так как определяется затухающейэкспонентой, но имеет соответствующую характерную длину, связанную сотношением жесткости на сдвиг и цилиндрической жесткости. В отличие откраевых эффектов, масштабные эффекты зависят только от материала среды и60имеют абсолютный характер. Поэтому для макротел, они пренебрежимо малы посравнению с краевыми эффектами, для мезоструктур они имеют тот же порядок,что и краевые эффекты, а для наноструктур они, как правило, доминируют.Следствие-3. В силу единственности решения, для каждой краевой задачимежфазные слои будут отличаться.Следствие-4.