Диссертация (Исследование функционально-градиентных свойств сред с полями дефектов), страница 6

δ=jkортогональной системы координат, связанной с ребром кусочно-гладкойповерхности, ограничивающей тело si v j nk Эijk = 1 , si - орт касательной к ребру,fi = mijk v j nk - «реберные» силы.В перемещениях вариационное уравнение теории сред Джеремилло имеетвид:δ=L∫∫∫J11Rm ,nj − CijkmnlRm ,nlkj + PiV )δ Ri dV +(CijmnFJJ11*+∫∫ {[ Pi − (Cijmn Rm,n − Cijkmnl Rm,nlk )n j + (Cijkmnlδ pj nk Rm,nl ), p ]δ Ri −(2.17)JJ− Cijkmnln j nk Rm ,nlδ Ri }dF − ∑ ∫ Cijkmnlv j nk Rm ,nlδ Ri ds =0таким образом, уравнения Эйлера теории дают систему трех уравнений четвертогопорядка с шестью граничными условиями в каждой неособенной точкеповерхности.Характерной особенностью теории является наличие условий на ребрах:∑ ∫fiδ Ri ds = 0(2.18)31которые можно трактовать как условия непрерывности (при переходе поповерхности через ребро) вектора перемещений Ri и вектора «реберных» силJfi = Cijkmnlv j nk Rm ,nl .2.2.3 Теория сред Аэро-Кувшинского (моментная теория упругости)Теория сред Аэро-Кувшинского [95] также является неклассическоймоделью сплошной среды.

В отличие от теории сред Коссера в ней задополнительные параметры состояния выбраны не свободные повороты ωi2 , авихри перемещений ωi1 = − Rm,n Эmni / 2 . Доказано [62], что, если постулироватьпропорциональность свободных поворотов вихрям перемещений (гипотезу АэроКувшинского), теория сред Аэро-Кувшинского является строгим следствиемтеории Коссера.

С другой стороны, теория сред Аэро-Кувшинского можетрассматриваться как некая альтернатива теории Джеремилло. Действительно, еслиградиентная часть потенциальной энергии в теории Джеремилло содержит толькоградиенты симметричной части градиента перемещений (тензор стесненныхдеформаций), то градиентная часть в теории Аэро-Кувшинского содержит толькоградиенты антисимметричной части градиента перемещений (тензор стесненныхповоротов или псевдовектор стесненных поворотов). Лагранжиан L теории средАэро-Кувшинского может быть представлен в следующем виде:L= A − ∫∫∫ UV dV111AKUV [Cijmn=ε ij1ε mn+ 4C pkqlω1p ,k ωq1,l ] / 2(2.19)Из факта существования плотности потенциальной энергии следует, что тензорымодулей обладают следующим свойством симметрии:1111Cijmn= CmnijAKAKCijmn= Cmnij(2.20)причем при формулировке теории заранее требовалась такая симметрия тензора«моментных» модулей, чтобы выражение объемной плотности потенциальнойэнергии содержало только градиенты вихрей перемещений.AK, выражение объемнойДействительно, при выбранной структуре тензора Cijmnплотности потенциальной энергии приводится к виду:32AKω1p ,k ωq1,l / 2 =4C pkqlAKAK=Эijp Эmnq ) Ri , jk Rm ,nl / 2 =4C pkql(− Ri , jk Эijp / 2)(− Rm ,nl Эmnq / 2) / 2 =(C pkql(2.21)AK= CijkmnlRi , jk Rm ,nl / 2кроме того, так как псевдотензор второго ранга ω1p ,k имеет нулевой след, сверткиAKAKC pkqlδ pk и C pkqlδ ql , содержащие один и тот же «моментный» модуль, не войдут вAKRi , jk Rm,nl / 2 , и его можно без ущерба длявыражение потенциальной энергии Cijkmnlобщности положить равными нулю.

Отсюда:11=λ 11δ ijδ mn + µ 11 (δ imδ jn + δ inδ jm )CijmnAKAK= C pkqlCijkmnlЭijp Эmnq(2.22)AK= (C1AK + C2AK )δ pqδ kl + (C1AK − C2AK )δ plδ kqC pkqlОтметим, что кинематическая модель теории сред Аэро-Кувшинского являетсяклассической и определяется независимыми кинематическими переменными Ri .Из выражения объемной плотности потенциальной энергии следуютформулы Грина, которые определяют силовую модель теории, и дают уравнениязакона Гука для соответствующих силовых факторов:=σ ij∂UV11= CijmnRm ,n∂Ri , j∂UVAK 1=mij =ωm , n4Cijmn1∂ωi , j(2.23)Таким образом, теория сред Аэро-Кувшинского допускает существование в средеследующих внутренних силовых факторов: симметричного тензора напряжений σ ijи псевдотензора моментных напряжений mij .Вариационное уравнение теории сред Аэро-Кувшинского получено изусловия стационарности лагранжиана:δL =δ A − ∫∫∫ [σ ijδ Ri , j + mijδωi1, j ]dV ==∫∫∫ (σ ij , j + m pq ,qj Эijp / 2 + PiV )δ Ri dV +*F+∫∫ {[ Pi − (σ ij + m pq,q Эijp / 2)n j − (m pq nqδ jk Эijp / 2),k ]δ Ri + (m pq nq Эijp / 2)n jδ Ri }dF −0− ∑ ∫ (m pq nq Эijp / 2)v jδ Ri ds =(2.24)33здесь точкой над переменной обозначена нормальная к поверхности производная*Ri = Ri , j n j .

δ=δ jk − n j nk - «плоский» тензор Кронекера, v j - орт криволинейнойjkортогональной системы координат, связанной с ребром кусочно-гладкойповерхности, ограничивающей тело si v j nk Эijk = 1 , si - орт касательной к ребру,fi = (m pq nq Эijp / 2)v j - «реберные» силы.В кинематических переменных (перемещениях) вариационное уравнениеимеет вид:δL=∫∫∫[(2 µ 11 + λ 11 ) Rk ,ki + µ 11 ( Ri , jj − R j ,ij ) − (C1AK + C2AK )( Ri , jj − R j ,ij ),qq + PiV ]δ Ri dV +1111FAKAK+∫∫ {Pi − λ Rk ,k ni − µ ( Ri, j + R j ,i )n j + (C1 + C2 )( Ri, j − R j ,i ),qq n j ++ [(C1AK + C2AK ) Rm ,nq nqδ *jk Эmnp Эijp + (C1AK − C2AK ) Rm ,np nqδ *jk Эmnq Эijp ],k }δ Ri dF −(2.25)− [(C1AK + C2AK ) Rm ,nq Эmnp + (C1AK − C2AK ) Rm ,np Эmnq ]nq n j Эijpδ Ri }dF −0− ∑ ∫ [(C1AK + C2AK )nk v j Эmnp Эijp + (C1AK − C2AK )nq v j Эmnq Эijk ]Rm ,nk δ Ri ds =Следовательно, формулировка теории сред Аэро-Кувшинского определяется тремядифференциальнымиуравнениямиповышенного(четвертого)порядкаспециального вида.

Специальный вид определен тем, что из двух векторов, которыевозможнопостроитьизвектораперемещенийпутемчетырехкратногодифференцирования, в уравнениях фигурирует только одна их линейнаякомбинация. Спектр краевых задач определен пятью граничными условиями вкаждой неособенной точке поверхности. Действительно, при выделении из δ Ri еепроекции по нормали к поверхности, можно убедиться, что соответствующий«статический»множительтождественноравеннулюзасчетсверткисимметричного ni n j и антисимметричного Эijp тензоров по индексам i, j : *(m pq=nq Эijp / 2)n jδ Ri (m pq nq Эijp / 2)n=jδ Rk (δ ik + ni nk )=(m pq nq Эijp / 2)n jδ ( R k δ ik* ) + (m pq nq / 2)(ni n j Эijp )δ ( R k nk ) =(m pq nq Эijp / 2)n jδ ( R k δ ik* )(2.26)Характерной особенностью теории является наличие условий на ребрах:∑ ∫fiδ Ri ds = 0(2.27)которые можно трактовать как условия непрерывности (при переходе поповерхности через ребро) вектора перемещений Ri и вектора «реберных» сил fi .342.2.4 Теория сред МиндлинаТеория сред Миндлина [2] является наиболее общей неклассическоймоделью сплошной среды.

В отличие от теории Коссера в ней учитываются нетолько антисимметичная часть тензора свободной дисторсии (свободныеповороты), а все компоненты Dij2 . Так же не делается никаких предположений оструктуре тензора моментных модулей. Лагранжиан L теории Миндлина можетбыть представлен в следующем виде:L= A − ∫∫∫ UV dVA=∫∫∫ PViFRi dV + ∫∫ Pi Ri dF(2.28)111222222MUV = [CijmnRi , j Rm ,n + 2CijmnRi , j DmnDij2 DmnDij2,k Dmn+ Cijmn+ Cijkmnl,l ] / 2Из факта существования плотности потенциальной энергии следует, что тензорымодулей обладают следующим свойством симметрии:pqqp=CijmnC=p, q 1, 2mnijMMCijkmnl= Cmnlijk(2.29)Отсюда:pq=λ pqδ ijδ mn + ( µ pq + χ pq )δ imδ jn + ( µ pq − χ pq )δ inδ jmCijmn(2.30)M= С1M (δ ijδ kmδ nl + δ mnδ liδ jk ) + С2M (δ ijδ knδ ml + δ mnδ ljδ ik ) +Сijkmnl+ С3M (δ ik δ jmδ nl + δ mlδ niδ jk ) + С4M (δ inδ jlδ km + δ mjδ nk δ li ) ++ С5M δ ijδ klδ mn + С6M δ ik δ jnδ ml + С7M δ imδ jk δ nl + С8M δ imδ jnδ kl +(2.31)+ С9M δ imδ jlδ nk + С10M δ inδ mjδ kl + С11M δ ilδ jnδ mkОтметим, что кинематическая модель теории сред Миндлина является наиболеесложной из всех общепризнанных теорий и определяется независимымикинематическими переменными Ri и Dij2 .

В отличие от теории Коссера, каждаяточка среды Миндлина ведет себя не как абсолютно твердое тело, а как упругоетело. Соответственно, независимыми степенями свободы являются не только2вектор перемещений Ri и псевдовектор свободных поворотов ωi2 = − DmnЭmni / 2 (чтоε ij2 ( Dij2 + D 2ji ) / 2 .свойственно средам Коссера), но и тензор свободных деформаций =35Из выражения объемной плотности потенциальной энергии UV следуютформулы Грина, которые определяют силовую модель теории, и дают уравнениязакона Гука для соответствующих силовых факторов:=σ ij1∂UV11122= CijmnRm ,n + CijmnDmn∂Ri , j=σ ij2∂UV21222=CijmnRm ,n + CijmnDmn2∂Dij=mijk(2.32)∂UVM2=CijkmnlDmn,l2∂Dij ,kТаким образом, теория сред Миндлина допускает существование в средеследующих внутренних силовых факторов: в общем случае несимметричныхтензоров напряжений σ ij1 и σ ij2 второго ранга и тензора моментных напряжений mijkтретьего ранга.Вариационное уравнение теории сред Миндлина получено из условиястационарности лагранжиана:δL =δ A − ∫∫∫ [σ ij1δ Ri , j + σ ij2δ Dij2 + mijk δ Dij2,k ]dV =∫∫∫ [(σ+∫∫ {( P=i1ij , jF+ PiV )δ Ri + (mijk ,k − σ ij2 )δ Dij2 ]dV +(2.33)− σ ij1 n j )δ Ri + (−mijk nk )δ Dij2 }dF =0В кинематических переменных (перемещениях и свободных дисторсиях)вариационное уравнение имеет вид:δL=∫∫∫11122V[(CijmnRm ,nj + CijmnDmn, j + Pi )δ Ri +2212222MDmn+ (Cijkmnl,lk − Cijmn Rm , n − Cijmn Dmn )δ Dij ]dV +(2.34)1112222FM+∫∫ {[ Pi − (Cijmn Rm,n + Cijmn Dmn )n j ]δ Ri + (−Cijkmnl nk Dmn )δ Dij }dF =0следовательно, формулировка теории сред Миндлина определяется двенадцатьюдифференциальными уравнениями второго порядка.

Спектр краевых задачопределен двенадцатью граничными условиями в каждой неособенной точкеповерхности.2.2.5 Теория сред ТупинаТеория сред Тупина [1] является одной из наиболее популярныхнеклассических моделей сплошной среды. В отличие от теории Аэро-Кувшинского36и теории Джеремилло в ней не делается никаких предположений о структуретензора моментных модулей. Лагранжиан L теории Тупина может бытьпредставлен в следующем виде:L= A − ∫∫∫ UV dV11T=UV [CijmnRi , j Rm ,n + CijkmnlRi , jk Rm ,nl ] / 2(2.35)Из факта существования плотности потенциальной энергии следует, что тензорымодулей обладают следующим свойством симметрии:1111Cijmn= CmnijTTCijkmnl= Cmnlijk(2.36)Кроме того, в силу симметрии тензоров стесненных кривизн Ri , jk и Rm,nlTотносительно перестановок индексов j, k и n, l , тензор Тупина Cijkmnlтак же долженбыть симметричным при перестановках в этих парах индексов.