Диссертация (Исследование функционально-градиентных свойств сред с полями дефектов), страница 2

В ходе работы получены аналитические соотношения, позволяющие понакопленной поврежденности за счет дефектов, определить эффективныехарактеристикиэквивалентногоизотропногоматериала,врамкахклассической ТУ.Теоретическая и практическая значимость работы. Уточненные моделидеформирования позволяют более полно и достоверно прогнозировать поведениенеоднородных структур.

Полученные в работе результаты позволяют пересмотретьсистему экспериментов и более правильно отнестись к исследованию гетерогенныхструктур.Методология и методы исследования.• Модели градиентной теории упругости.• Применение вариационных методов и уравнений математической физики• Применение тензорной алгебры.Положения, выносимые на защиту:1. Алгоритм получения, а также соотношения, позволяющие трактовать средыс полями дефектов, для однородных изотропных материалов в окрестностяхособых точек как некоторые межфазные слои с переменными свойствами.2. Разработанныйалгоритм,позволяющийвычислитькомпонентыпеременного по координатам тензора адгезионных модулей четвертого ранга3.

Решение задачи определения эффективных характеристик эквивалентногоизотропного функционально-градиентного материала.Достоверностьрезультатов,полученныхвходевыполнениядиссертационной работы подтверждается следующими положениями:o сопоставлением полученных в диссертации теоретических результатов стестовыми аналитическими решениями частных задач;o непротиворечивостьюполученныхрезультатовявлений, связанных с деформированием сред.физическомусмыслу7Основные результаты диссертационной работы апробированы на: 2-йВсероссийскойнаучнойконференции«Механикананоструктурированных материалов и систем». Москва, 17 - 19 декабря2013г. Международнойконференции«Деформированиеиразрушениекомпозиционных материалов и конструкций».

Москва, 10 - 13 ноября 2014 г. Второй международной конференции «Деформирование и разрушениекомпозиционных материалов и конструкций». Москва. 18 - 20 октября 2016г.8Глава 1 Обзор работ по проблеме моделирования неоднородныхструктурДляпостроенияматематическихмоделейсредиспользуется«кинематический» вариационный принцип, позволяющий получать корректные иэнергетически согласованные математические модели сред.

В соответствии с этимпринципом общий вид функционала энергии для исследуемой среды находится позаданным кинематическим связям. Спектр внутренних взаимодействий полностьюопределяется системой кинематических связей, реализующихся в среде. При этомпредполагается, что рассматриваются линейные, обратимые процессы.Начало развития градиентных теорий упругости следует связывать сработами Тупина и Миндлина [1-3]. В дальнейшем значительный интерес кобобщенным теориям упругости во многом определялся необходимостьюобъяснять и моделировать необычные физико-механические свойства новыхматериалов с тонкой и сверхтонкой структурой (например, микро- и наночастицы,наполненные композиты с микро/нановключениями, металлокомпозиты, наномодифицированные керамики и пр.).

В этом отношении большие надеждывозлагались на обобщенные модели сплошных сред при моделировании свойствразличных микро/наноструктур, в которых эффекты ближнего взаимодействиякогезии и адгезии и других проявлений масштабных эффектов могут иметьрешающие значение [4-9]. Первоначально прикладные градиентные теории былиразработаны Айфантисом [10,11] в начале восьмидесятых годов для градиентнойпластичности, а в 90-х годах для теории упругости (ТУ) [12-14]. История развитияи обзор исследований, посвященных разработке прикладных градиентных теорийза указанный период, представлены в работе Гао и Парка [15].

Дальнейшийпрогресс в области развития градиентных теорий связан с расширением областиприложения этих теорий на задачи термо-упруго-пластичности [16], а также наприкладныестатическиеидинамическиезадачиупругости,проблемытеплопроводности и диффузии [17]. В перечисленных работах разрабатывалисьварианты градиентных моделей сред для описания масштабных эффектов без учета9адгезивных взаимодействий. Весьма перспективными являются градиентныетеории для моделирования межфазных взаимодействий в неоднородных имногофазных материалах [18]. Особенно перспективны они при моделированииупругихсвойствкомпозиционныхматериалов(КМ),структурированныхматериалов с субмикронными и наноразмерными внутренними структурами.

Вработах Лурье и Белова [19-23] предложена градиентная теория межфазного слоя,которая применялась для учета масштабных эффектов и эффектов адгезии примоделировании свойств композитов. Нелокальные модели сред с полями дефектовучитывающие адгезионные взаимодействий развивались в работах [22-25].Для определения адгезионного контакта существует и другой подход,развиваемый в работах Шоркина [26, 27], основанный на феноменологическихметодах механики сплошных сред. Предложенный подход, позволяет, в том числеустановить связь адгезионных и когезионных свойств КМ, с несплошностьюадгезионного контакта элементов композита [28, 29].Экспериментально размерные эффекты стали наблюдаться сравнительнонедавно. Например, в работах [30-32] экспериментально обнаружено влияниемасштабных эффектов на жесткостные характеристики сверхтонких алюминиевыхи эпоксидных консольных балок.Общая градиентная теория упругости, разработанная Миндлиным [2, 3]содержит в качестве дополнительных физических постоянных для изотропныхсред пять физических постоянных, через которые записываются компонентытензора градиентных модулей упругости.

Тем не менее, оказывается, что даже вслучае изотропных материалов трудно или даже невозможно, извлечь этидополнительные постоянные из экспериментов. Очевидным является стремлениеполучить рационально упрощенную градиентную теорию с меньшим количествомдополнительных коэффициентов, предпочтительно только с одним. С точки зренияпостроения прикладных теорий важными представляются соображения, связанныес определением фундаментальных свойств симметрии механических структур,которые могут использоваться как строгие ограничения на тензоры упругихпостоянных при построении физических моделей деформирования. Например, в10классической теории упругости Коши-Пуассона упругие константы представленытензором четвертого ранга, который удовлетворяет так называемым условиямсимметрии по деформациям.

Тензор модулей упругости в таком случае долженоставаться неизменным при перестановке индексов в первой и второй парахиндексов. Фундаментальным свойством является и симметрия, связанная стребованием потенциальности и сводящаяся к неизменности тензора модулей приперестановке первой и второй пар индексов. В результате, подобные свойствасимметрии позволяют существенно упростить физическую модель материала.В градиентной теории упругости физические свойства сред, которыепредставлены через тензор градиентных модулей упругости шестого ранга, такжедолжны подчиняться некоторым условиям симметрии.

Именно условия симметриипозволили снизить общее число физических постоянных в градиентных теориях с300 до 7 для изотропных, центрально симметричных материалов. Тем не менее, напротяжении достаточно длительного периода изучения градиентных теорий,исследованию условий симметрии и степени их влияния на физические постоянныеуделялось мало внимания. В недавних работах [33, 34], пожалуй, впервыепредставлены систематические исследования в этой области.Построение моделей дефектных сплошных сред является необходимым примоделировании масштабных эффектов в упругости и пластичности.

Было показано[35-39], что градиентная теория достаточно эффективна для анализа среды на нанои микроуровнях.Кинематика дефектов составляет основу в развитии феноменологическихмоделей теории дефектов. Во-первых, она является наиболее важным элементомпри применении вариационных методов для описания градиентных моделейвысокого порядка [14, 37, 38].

Действительно, знание кинематики дефектовпозволяет установить список аргументов для корректной формулировкисоответствующего лагранжиана. Во-вторых, кинематический анализ позволяетустановить связи между различного типа дефектами и проанализировать причиныи условия их развития и исчезновения [39, 40]. В данной работе сделан акцент напористость, как один из видов дефектов, рассматриваемый в дальнейшим.11Поры относятся к внутренним, объёмным дефектам.

Их наличие илиотсутствие может существенно влиять на физические характеристики материала. Сфизической точки зрения, изменение объемного содержания пористости в средесвязано со свободной дилатацией.Теория упругих пористых материалов изучалась такими учеными как Ковин,Гудман, Нинзиато, Марков и др. Одной из первых работ, в которой развиваетсяданное направление является работа Миндлина [40], в которой формулируетсялинейная теория трехмерного упругого континуума, обладающая некоторымисвойствами кристаллической решетки, в результате включения в теорию идейэлементарной ячейки. В работах Нинзиато и Ковина [41, 42] рассматриваетсятеория поведения пористых твердых тел, в которой материал матрицы являетсяупругим.

Теория допускает как конечные деформации, так и нелинейныеопределяющие соотношения. Существенным отличием от классической линейнойТУ является то, что объемная доля, соответствующая пустотам, принимается занезависимую кинематическую переменную. В работе Маркова [43] дается прогнозв отношении механического поведения сред, в которых имеется малое объемноесодержание микроскопических пор-дефектов, способных в незначительнойстепени оказывать влияние на жесткость материала, однако играющихсущественную роль в процессе накопления повреждений в задачах прочности иразрушения.Отдельно стоит отметить влияние пористости на коэффициент Пуассона [44,45]. Частным случаем является описание сред и метаматериалов с отрицательнымкоэффициентом Пуассона (ауксетиков).В рамках дилатационной теории упругости известны различные замкнутыеаналитические решения. Рассмотрим некоторые из них. В работе Ковина иНинзиато [42] рассматриваются однородные деформации.

В ходе исследованияавторы доказывают, что некоторые материальные коэффициенты, а такжекоэффициенты упругости Cijkm могут быть определены из экспериментов,основанных на использовании однородных деформаций, если и только еслиматериал обладает центральной симметрией.12В работе Ковина и Пури [46] решаются задачи о толстостенных сферическихи круглых цилиндрических оболочках, находящихся под действием внутреннего ивнешнего давления в рамках линейной теории упругих материалов с пустотами.Монография Ковина [47] связана с решением задачи о распределении напряженийоколо круглого отверстия в пластине, подвергнутой одноосному растяжению вдалиот отверстия для линейного упругого материала с пустотами. В ходе решениязадачи получается, что коэффициент концентрации напряжений для этой задачивсегда больше или равен трем, а в некоторых случаях может быть существеннобольше трех.

Интересной особенностью представленных решений является то, чтонапряжения, деформации и перемещения совпадают с предсказанными в рамкахклассической ТУ в начальный момент времени, а при устремлении времени кбесконечности получается новое равновесное решение длянапряжений,деформаций и перемещений.В работах [48-51] рассматривается задача Сен-Венана для линейногоупругого пористого материала. Проблема сводится к решению двух плоскихэллиптических задач. Их решения дают зависимость поперечных и продольныхперемещений как функцию осевой и продольной координаты. Также показано, чтогипотезы Сен-Венана/Клебша и Фойгта не применимы к этой проблеме.Соответствующим критерием является то, что вторая производная компонент вплоскости по осевой координате, в тензоре напряжений должна обращаться в ноль.Кроме того, обращение в ноль первой производной по осевой координате неэквивалентно обращению в ноль этих компонент как это имеет место вклассической линейной ТУ.Отдельным направлением являются температурные эффекты, которые однимиз первых стал изучать Иесан [52].