Диссертация (Исследование функционально-градиентных свойств сред с полями дефектов), страница 3

В его работе рассматривалась реакция наконцентрированный источник тепла, деформации толстостенной сферическойоболочки и полого цилиндра. В каждом случае определялось изменение объемапустот, вызванное деформацией. Существенной особенностью этих решенийявляется то, что поля перемещений, температуры и напряжений имеют новыепараметры, характеризующие влияние пористости:13u=βξ − mbT *r2 ( λ + µ ) ξ − b2 (1.1)поэтому эти значения отличаются от предсказанных классической теориейтермоупругости:u=βT *r2 (λ + µ )(1.2)где β , λ , µ , ξ , m, b – коэффициенты, зависящие от параметров материала. Бирсенрассматривал изгиб термоупругих тонких пластин, выполненных из материала спустотами [53]. Предложенная им теория учитывает влияние поперечнойдеформации сдвига, как в модели пластин Миндлина-Тимошенко, но не вводитпоправочный коэффициент для нее.В работах [54, 55] приводится три полных решения системы уравнений вчастных производных, определяющих три различные теории, основанные наклассической линейной упругости – термоупругость, пороупругость (теория Био)и теория изотропных упругих материалов с пустотами.

Каждая из них имеетсистему определяющих соотношений, которая является частным случаем общейсистемы.Для описания механического поведения пористых стержней, в научныхтрудах Бирсана и Альтенбаха [56] используются модели с динамическиминелинейными уравнения поля. В рамках линейной теории доказываетсяединственностьрешениясоответствующейзадачи.Предполагается,чтопоперечное сечение стержней не меняет свою форму при деформировании, атолько поворачивается. Вводятся два вектора, которые объясняют соответственнорастяжения со сдвигом и изгибно-крутильную деформацию.

Затем определяетсявыражение для функции внутренней энергии через векторы деформации ипеременные пористости. Поля напряжений имеют следующую форму:*=t22d D l  x sinh ( x1 / l0 )  δM x1ν 2 1 S ( J1 − J 2 ) + 2 1 0  1 −IE0 (1 − SJ 0 ) c11δ1d5  l0 cosh ( a / l0 )   d D  d D l  x sinh ( x1 / l0 )   F− M*t33= x1 1 − SJ 0 + S 3 1  − 3 1 0  1 − +I (1 − SJ 0 )  δ 2 d5  δ 2 d5  l0 cosh ( a / l0 )   A(1.3)14где функция S является геометрическим фактором, зависящим от отношения a l0 ,l0 - параметр с размерностью длины, для выражения скорости плоских волн,ответственных за изменение доли пустот, a, b - параметры поперечного сечения, A- площадь, F - осевая сила, M - изгибающий момент, E - модуль Юнга, ν коэффициент Пуассона, d и D - матрицы, зависящие от параметров пористой среды,J 0 − J 3 зависят от d:c22 d32 + c33 d 22 + 2c23 d 2 d3 − c11d 42d 2 d3d 22d2d4===J0, J1 =, J2, J3δ 2 d5δ 1d 5ν 2δ1d5δ1 (ν 2 d 6 − d 7 )aa  − tanh  lac11α14a b l0 I = , l02 => 0, S =S =1− 3  0 33d5a l0   l0 (1.4)3(1.5)Исследование контактных задач представлено в работах [57, 58].

В работеПомпеи и др. рассматривается контактная задача о жестком прямоугольномштампе, принудительно помешенном на полупространство из линейного упругогоизотропного материала с пустотами. Авторы сравнивают два различных решения прямоечисленное,полученноеметодомколлокацииирезультатыполуаналитического асимптотического метода. Также приводится сравнение сболее ранними асимптотическими подходами [59].Механизмы поведения пористых материалов с точки зрения механикиразрушений вызывал значительный интерес у исследователей.

В работах [60, 61]рассматривается задача о трещинах. С помощью преобразований Фурье, задачасводится к некоторым интегральным уравнениям. Исследуется распределениекоэффициента концентрации напряжений в зависимости от пористости материала.Авторы приходят к выводу, о том, что среде с пустотами коэффициентконцентрации напряжений всегда выше при тех же условиях, чем в классическойупругой среде. На рисунке 1.1 приведены графики для коэффициентаконцентрации напряжений в зависимости от коэффициентов Ламе и параметровпористой среды.15Рисунок 1.1. Относительная величина коэффициента концентрации напряжений(на первом графике c 2 = 0.2 , на втором c 2 = 0.4 ).µβλ + 2µλ + 2µ=N ( l22 l12 ) H , 0 ≤=N < 1. c2 =N – так называемый номер связи, Hαβбезразмерные параметры, а параметры=l12 =, l22-αимеют размерность длины. µξи λ – классические упругие константы, α , β , ξ - константы связанные спараметрами пористости среды.В работах Лурье и Белова [19-23, 25, 62] вводится новая теория дефектов всплошных средах.

Авторами представлено кинематическое описание сплошнойсреды с дефектами, дается описание дефектов разного уровня и вводитсяклассификация сплошных сред с дефектами. В работе [62] тех же авторов на основевариационного кинематического принципа=δU∫∫∫ σ δ ( dij0ij− Ri , j ) + mijδ ( Ξij − d inΞ,m Эnmj )dV(1.6)разработана полная модель сплошной среды с сохраняющимися дислокациями, гдеΞij - псевдотензор несовместности, d inΞ,m - тензор второго ранга свободнойдисторсии. Она обобщает полученные ранее модели, с точки зрения адгезионныхвзаимодействий.

Используемый подход основан на последовательном формальномописании кинематики среды и построении соответствующей потенциальнойэнергии деформации с использованием множителей Лагранжа:Ξ2U F =aijmn d ijΞ d mn=( µ F + λ F )( 2θ 2θ ) + 2µ F ( 2γ ij 2γ ij ) + 2 χ F ( 2ωij 2ωij ) + η F ( 2ζ k 2ζ k )(1.7)где aijmn - тензор модулей адгезии, d inΞ - тензор свободной дисторсии, µ F - модульсдвига, λ F и χ F - коэффициенты Ламе, η F - адгезионный аналог жесткости16Винклера.

Свободная дисторсия представлена в виде тензорного разложения наследующие компоненты:θ2- сферический тензор,γ ij2- девиатор,ωij2-антисимметричный тензор, 2ζ k - вектор углов поворота поверхности при изгибеВпервыечисленныерешениястатическихидинамическихзадачдилатационной теории упругости были построены в работах [63, 64]. Авторами наоснове метода конечных элементов была разработана программная реализация длядилатационной теории с использованием прямых алгоритмов вычислений. Вработах[66-70]программныйдляпостроениякомплексComsolчисленныхдлярешенийрешениябылиспользовансвязаннойсистемыдифференциальных уравнений модели дилатационной теории упругости.

Здесьбыли исследованы численные решения задач об однородных деформациях внелинейной постановке [66], о деформациях полого цилиндра под давлением [68],о деформациях пластины конечного размера с отверстием [69], об усадкепрямоугольных брусков пористой структуры [67, 68].Особо стоит отметить работы, в которых исследовались, экспериментальныеэффекты, прогнозируемых в рамках моделей дилатационной теории упругости, ина идентификацию ее дополнительных физических параметров.

Например, вработах [71, 72] была дана экспериментальная оценка для возможных значенийпараметра связанности (дополнительная материальная постоянная дилатационнойтеории). Кроме натурных испытаний был проведен виртуальный эксперимент,рисунок 1.2.Рисунок 1.2. а) распределение пор в образце, б) распределение напряжений17В работе [70] на примере исследований полиуретана, было показано, что длявысокопористых материалов масштабные эффекты могут проявляться как виспытаниях на изгиб, так и в испытаниях на кручение, что входит в противоречиес теоретическими прогнозами, следующими из дилатационной теории упругости[43]. Однако, в более поздней работе [71] была показана возможностьсуществования связанных эффектов между свободной дилатацией и деформациямисдвига при рассмотрении нелинейной постановки дилатационной теории.В обзоре Кнудсена [72], посвященном попытки установить зависимостьмежду прочностью с одной стороны и пористостью, а также размером зерна сдругой предлагается следующая зависимость:σ σ 0 exp ( −bP )=(1.8)где σ - прочность пористого поликристаллического тела, σ 0 - вычисленнаяпрочность такого же тела, но без пор, b - эмпирическая константа, P - пористостьобразца, равная отношению объема пустот к общему объему образца.

Авторпроанализировав ряд источников с экспериментальными данными для разныхматериалов, нашел значения константы b = 4...9 . Такой разброс величиныобъясняется изменением в образце эффективной или критической несущейплощади, размер которой в свою очередь, будет меняться в зависимости отраскрытия или схлопывания пор.

Однако под критической площадью следуетпонимать не все поперечное сечение образца, а некую нерегулярную поверхностьпоперечного сечения, проходящую между зернами. Кроме того, если принятьутверждение [69, 70] что контакт между зернами слабее самих зерен, то прочностьобразца будет зависеть от площади контакта между зернами для всех диапазоновпористости.Ранее, Кобл и Кингери [75] отмечали, что несмотря на обширныйэкспериментальный материал трудно определить влияние именно пористости насвойства материала. Проблема заключается в том, исследуемые образцы могутиметь как различный химический состав исходных компонентов, так и бытьизготовлены по отличающимся технологическим процессам.

Все это приводит к18изменению размеров кристаллов, размеров и форм пор, а также содержаниюпримесей,чтоделаетоценкувлиянияконкретнопористостивесьмазатруднительной. Для исключения подобных факторов, авторы вместе спекалиобразцы, с пористостью от 5 до 50% и исследовали ее влияния на прочность,коэффициент теплового расширения и модуль упругости:G 5 ( 3K 0 + 4G0 )1−P + AP 2=G0( 9 K 0 + 8G0 )(1.9)и dE dP = −2.36 , где G - модуль сдвига, K - модуль объемного сжатия, P - объемноесодержание пор, нулевой индекс относится к сплошным материалам, A константа, E - модуль упругости. Константу можно определить полуэмпирическимметодом.

Пусть коэффициент Пуассона будет равен 0.3, а G0 = 1 , K 0 = 2.36 , тоA = −0.91 .В работе [76] приводятся оценки для модуля Юнга и модуля сдвига образцовстекла приготовленных специальным образом с абсолютно сферическими порами:=E E0 (1 − α E P )(1.10)=G G0 (1 − α G P )где E и G - модуль Юнга и модуль сдвига материала с порами, E0 и G0 - модулидля сплошного материала, α - константа, P - объемное содержание пор.Теоретически вычисленное значение констант3 ( 9 + 5ν 0 )(1 −ν 0 ) / 2 ( 7 + 5ν 0 ) ,αE =αG =15 (1 −ν 0 ) / ( 7 − 5ν 0 ) , где ν 0 - коэффициент Пуассона для сплошного материала.На основании экспоненциальной зависимости влияния пористости на модулиупругости [72]:E = E0 exp ( −bP ) , G = G0 exp ( −bP )(1.11)Спригс [77] делает предположение, что корректней оценивать отдельно влияниезакрытых и открытых пор.