Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 7
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите". PDF-файл из архива "Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 7 страницы из PDF
Теперьканонической, близкой к тождественной заменой переменных , → , функцию Гамильтона можно привести к следующему виду22 = 2000 12 +1010 1 1 +0020 12 +0200 22 +0101 2 2 +0002 22 +(). (3.16)Коэффициенты нового гамильтониана (3.16) зависят только от параметров задачи и не зависят от , они представляются в виде сходящихся рядов по степеням49. Методом Депри-Хори были получены следующие выражения)︂(︂)︂(︂71257677221 +− 18 1 +1 − 2 ++ (3 ),0020 = 46629(︂)︂7372000 = 1 − 2 18 1 2 − 1 − 2 + (3 ),422(︂)︂)︂(︂153571 +1 2 + 17 1 − 3 2 +0200 = − 2+ (3 ),2222)︂(︂)︂(︂1121 2321 +−1 + 5 1 − 3 2 −+ (3 ),0002 = 22221010 = (3 ),(3.17)0101 = (3 ).Нетрудно показать, что на границе области неустойчивости характеристическое уравнение линейной системы с гамильтонианом (3.16) имеет по крайнеймере два нулевых корня. Из этого условия последовательно определяются величины .
В итоге, получаем следующие уравнения границ области неустойчивости (параметрического резонанса)+ = 1 + (3 ),− = 1 −24 + 2 + (3 ).39(3.18)Здесь и далее через + обозначается верхняя (по параметру ) граница областинеустойчивости, а через − – нижняя.Заметим, что полученные выше формулы для границ области неустойчивости можно уточнить, если заметить, что данные границы соответствуют случаю динамически симметричного спутника. При этом динамической симметрии = соответствует верхняя граница, а динамической симметрии = –нижняя. Поэтому асимптотические выражения (3.18) можно заменить точными+ = 1,− =3.(3 + 2)(3.19)Для построения границы области неустойчивости, исходящей из точки(0, ** ) нужно в (3.14) положить 0 = ** и выполнить 2 -периодическую заме50ну переменных1 = 1 ,2 = cos 2 + sin 2 ,1 = 1 ,2 = − sin 2 + cos 2 ,(3.20)приводящую гамильтониан (3.10) к виду(︀)︀1Γ22 = − ** 12 − 22 + 12 − 22 + (),2** = 0.2097075743251561, (3.21)а затем линейной близкой к тождественной 2 -периодической по канонической заменой переменных (построенной методом Депри-Хори) гамильтонианприводится к нормальной форме, независящей явно от .
Не приводя промежуточных вычислений, выпишем уравнения границ областей неустойчивости,полученные на основании анализа корней характеристического уравнения канонической системы с нормализованной функцией Гамильтона+ = ** − 0.39564820916 + 0.51865636783 2 − 0.38818378378 3 ++ 0.40846785827 4 + (5 ) ,23(3.22)− = ** − 0.41382122657 + 0.53200637935 − 0.27448784825 ++ 0.32770854616 4 + (5 ) .Вблизи граничных точек интервала (* , 8/7) функция Гамильтона уже неприводится к виду (3.10), но использованная выше методика построения границобластей неустойчивости, применима и в этих случаях.Для построения границы области неустойчивости, исходящей из точки(0, * ) положим в (3.14) 0 = * и выполним замену переменных1 = 0.95588593618915477223 2 − 0.032277479617649743 1 ,2 = 1.0061966961098455678 1 − 0.033976327216937882 2 ,1 = −0.040793298297696656017 1 + 1.0475273952102542624 2 ,2 = −0.038753595876725391652 2 + 0.99515006233436072407 1 ,(3.23)51нормализующую в гамильтониане (3.4) члены, независящие от .
В переменных , ( = 1, 2) функция Гамильтона принимает вид̃︀ 22 = 1 ( 1 2 + 2 2 ) + * (1 2 − 2 1 ) + ̃︀ (1) + (2 ) ,222(3.24)где * = 0.7588651186541301966.Линейной близкой к тождественной 2 -периодической канонической заменой переменных , → , ( = 1, 2) функция Гамильтона (3.33) приводитсяк виду122 = (1 + 22000 )(12 + 22 ) + 0020 (12 + 22 ) + * (1 2 − 2 1 )+2(3.25)+ 1010 1 1 + 0110 2 1 .Гамильтониан (3.25) не зависит явно от и является аналитической функцией параметра . Методом Депри-Хори можно вычислить разложения коэффициентов 2000 , 0020 , 1010 , 0110 в ряды по до сколь угодно высокого порядка.В первом приближении по имеем следующие выражения для коэффициентов20001=4Z (︁+(1)ℎ2000+(1)ℎ0200)︁ + (2 ) ,(3.26)000201=42Z(︁(1)ℎ0020+(1)ℎ0002)︁ + (2 ) ,(3.27)010101=22Z(︁)︁(1)(1)2 + ℎ0101 + ℎ1010 + (2 ) ,(3.28)001101=22Z0(︁(1)ℎ0110−(1)ℎ1001)︁ + (2 ) ,(3.29)52где2Z (︁Z (︁)︁)︁(1)(1)(1)(1)=ℎ0020 − ℎ0002 −ℎ0020 + ℎ0002 ,20Z02Z (︁(︁)︁)︁(1)(1)(1)(1)=2 + ℎ0101 + ℎ1010 −2 + ℎ0101 + ℎ1010 .2(3.30)00Уравнение границы области неустойчивости получается на основании анализа корней характеристического уравнения канонической системы с нормализованной функцией Гамильтона (3.24).
Не приводя промежуточных вычислений,выпишем его явный вид с точностью до членов пятой степени по = * − 0.307549121658 − 0.516112650718 2 + 0.362028557898 3 −456(3.31)− 0.0223315330946 − 0.148718160532 + ( ) .Действуя аналогично, можно получить границу области неустойчивости, исходящую из точки (0, 8/7). Для этого нужно положить в (3.14) 0 = 8/7 ивыполнить замену переменных2 √ √20 1/4 √3 1582 −7921 ,79792 3/4 √20 √ √2 =7921 −3 1582 ,79237√529 √ √3/41 =7921 +3 1582 ,3169485 √ √29 1/4 √2 =3 1582 +7921 ,3163161 =(3.32)приводящую гамильтониан (3.4) к виду√̃︀ 22 = 1 79(1 2 + 1 2 ) − 1 2 2 + ̃︀ (1) + (2 ) .22142(3.33)Далее, аналогично рассмотренным выше резонансным случаям, вычисляется нормальная форма Гамильтониана, которая явно от не зависит. В результате анализа корней характеристического уравнения канонической системы с53нормализованной функцией Гамильтона было получено следующее уравнениеграницы области неустойчивости8649196 2 126656 3 266721795196877 4−+ − −+7 14715435324135700920220455000524416524132554 5 + (6 ) .+1839915578694375=(3.34)3.3.
Результаты линейного анализа устойчивости припроизвольных значениях эксцентриситетаПусть теперь параметры задачи принимают любые (не обязательно малые)допустимые значения. Для решения вопроса об устойчивости в этом случаезадавались конкретные значения параметров и и путем численногоинтегрирования линейной системы с гамильтонианом (1.29) определялась матрица монодромии X(2), затем вычислялись коэффициенты 1 и 2 и на основании неравенств (3.2) делались выводы об устойчивости или неустойчивости.При этом параметры выбирались из области их допустимых значении с шагом0.001.Результаты проведенного анализа устойчивости представлены на Рис. 1.
Вобластях, закрашенных серым цветом, имеет место неустойчивость рассматриваемой линейной системы и, как следствие, неустойчивость резонансного вращения (1.10). В областях, обозначенных белым цветом, линейная система с гамильтонианом (1.29) устойчива. Отметим, что на Рис. 1 изображена не вся областьдопустимых значений параметров, а только ее часть, соответствующая значениям из интервала [0.85, 1.15], где расположены области устойчивости. Расчетыпоказали, что для значений вне указанного интервала неравенства (3.2) невыполняются и линейная система с гамильтонианом (1.29) неустойчива.Представленные на Рис.
1 результаты численного анализа устойчивостихорошо согласуются с результатами анализа устойчивости, полученными ана54Рис. 1. Области неустойчивости и области устойчивости в линейном приближении системыс гамильтонианом (1.29)55литически в разделе 3.2 для малых значений . В частности, сравнение этих результатов показало, что, в рамках полученного приближения, формулы (3.18),(3.22), (3.31) и (3.34) позволяют аппроксимировать границы областей неустойчивости при всех, а не только при малых значениях .
Другими словами, анализполученных результатов показал, что для любого фиксированного значения из интервала (0, 1) разность между значением , вычисленным на границе области неустойчивости численно, и значением , полученным по приближеннойформуле, не превосходит величины остаточного члена этой приближенной формулы.Совместив результаты, описанные в данном разделе с результатами, представленными в разделе 2.2 можно построить области устойчивости резонансного вращения (1.10) в линейном приближении с учетом как плоских, так ипространственных возмущений.
Эти области изображены на Рис. 2.Все области устойчивости, за исключением одной из двух, изображенныхна Рис. 2 a), представляют собой криволинейные трапеции, основания которыхлежат на прямой = 1, а их боковые стороны – вертикальные отрезки, проходящие через граничные точки соответствующих интервалов устойчивости Рис.2. При приближении эксцентриситета к единице размер областей устойчивости уменьшается. Две области устойчивости, изображенные на Рис.
2 a) и Рис.2 c), пересекаются узкими областями неустойчивости.56b)a)d)c)e)Рис. 2. Области устойчивости в линейном приближении57Глава 4О методе исследования устойчивостипериодических гамильтоновых систем с двумястепенями свободы в критических случаяхВ данной главе излагается метод исследования устойчивости периодических движений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в случаяхкогда требуется нелинейный анализ. Основная идея данного метода была предложена А.П.Маркеевым. Она состоит в построении и нормализации симплектического отображения, генерируемого фазовым потоком этой системы.
По нормализованному отображению уже нетрудно получить нормальную форму функции Гамильтона, зная которую на основании известных критериев можно сделать строгие выводы об устойчивости исходной системы. А.П. Маркеевым былпредложен конструктивный алгоритм построения и нормализации симплектического отображения для нерезонансных случаев и случаев резонансов третьегои четвертого порядков [29], в параграфе 4.1 дается его краткое описание.