Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 7

Теперьканонической, близкой к тождественной заменой переменных , → , функцию Гамильтона можно привести к следующему виду22 = 2000 12 +1010 1 1 +0020 12 +0200 22 +0101 2 2 +0002 22 +(). (3.16)Коэффициенты нового гамильтониана (3.16) зависят только от параметров зада­чи и не зависят от , они представляются в виде сходящихся рядов по степеням49. Методом Депри-Хори были получены следующие выражения)︂(︂)︂(︂71257677221 +− 18 1 +1 − 2 ++ (3 ),0020 = 46629(︂)︂7372000 = 1 − 2 18 1 2 − 1 − 2 + (3 ),422(︂)︂)︂(︂153571 +1 2 + 17 1 − 3 2 +0200 = − 2+ (3 ),2222)︂(︂)︂(︂1121 2321 +−1 + 5 1 − 3 2 −+ (3 ),0002 = 22221010 = (3 ),(3.17)0101 = (3 ).Нетрудно показать, что на границе области неустойчивости характеристи­ческое уравнение линейной системы с гамильтонианом (3.16) имеет по крайнеймере два нулевых корня. Из этого условия последовательно определяются ве­личины .

В итоге, получаем следующие уравнения границ области неустойчи­вости (параметрического резонанса)+ = 1 + (3 ),− = 1 −24 + 2 + (3 ).39(3.18)Здесь и далее через + обозначается верхняя (по параметру ) граница областинеустойчивости, а через − – нижняя.Заметим, что полученные выше формулы для границ области неустойчи­вости можно уточнить, если заметить, что данные границы соответствуют слу­чаю динамически симметричного спутника. При этом динамической симметрии = соответствует верхняя граница, а динамической симметрии = –нижняя. Поэтому асимптотические выражения (3.18) можно заменить точны­ми+ = 1,− =3.(3 + 2)(3.19)Для построения границы области неустойчивости, исходящей из точки(0, ** ) нужно в (3.14) положить 0 = ** и выполнить 2 -периодическую заме­50ну переменных1 = 1 ,2 = cos 2 + sin 2 ,1 = 1 ,2 = − sin 2 + cos 2 ,(3.20)приводящую гамильтониан (3.10) к виду(︀)︀1Γ22 = − ** 12 − 22 + 12 − 22 + (),2** = 0.2097075743251561, (3.21)а затем линейной близкой к тождественной 2 -периодической по канониче­ской заменой переменных (построенной методом Депри-Хори) гамильтонианприводится к нормальной форме, независящей явно от .

Не приводя проме­жуточных вычислений, выпишем уравнения границ областей неустойчивости,полученные на основании анализа корней характеристического уравнения ка­нонической системы с нормализованной функцией Гамильтона+ = ** − 0.39564820916 + 0.51865636783 2 − 0.38818378378 3 ++ 0.40846785827 4 + (5 ) ,23(3.22)− = ** − 0.41382122657 + 0.53200637935 − 0.27448784825 ++ 0.32770854616 4 + (5 ) .Вблизи граничных точек интервала (* , 8/7) функция Гамильтона уже неприводится к виду (3.10), но использованная выше методика построения границобластей неустойчивости, применима и в этих случаях.Для построения границы области неустойчивости, исходящей из точки(0, * ) положим в (3.14) 0 = * и выполним замену переменных1 = 0.95588593618915477223 2 − 0.032277479617649743 1 ,2 = 1.0061966961098455678 1 − 0.033976327216937882 2 ,1 = −0.040793298297696656017 1 + 1.0475273952102542624 2 ,2 = −0.038753595876725391652 2 + 0.99515006233436072407 1 ,(3.23)51нормализующую в гамильтониане (3.4) члены, независящие от .

В переменных , ( = 1, 2) функция Гамильтона принимает вид̃︀ 22 = 1 ( 1 2 + 2 2 ) + * (1 2 − 2 1 ) + ̃︀ (1) + (2 ) ,222(3.24)где * = 0.7588651186541301966.Линейной близкой к тождественной 2 -периодической канонической заме­ной переменных , → , ( = 1, 2) функция Гамильтона (3.33) приводитсяк виду122 = (1 + 22000 )(12 + 22 ) + 0020 (12 + 22 ) + * (1 2 − 2 1 )+2(3.25)+ 1010 1 1 + 0110 2 1 .Гамильтониан (3.25) не зависит явно от и является аналитической функ­цией параметра . Методом Депри-Хори можно вычислить разложения коэф­фициентов 2000 , 0020 , 1010 , 0110 в ряды по до сколь угодно высокого порядка.В первом приближении по имеем следующие выражения для коэффициентов20001=4Z (︁+(1)ℎ2000+(1)ℎ0200)︁ + (2 ) ,(3.26)000201=42Z(︁(1)ℎ0020+(1)ℎ0002)︁ + (2 ) ,(3.27)010101=22Z(︁)︁(1)(1)2 + ℎ0101 + ℎ1010 + (2 ) ,(3.28)001101=22Z0(︁(1)ℎ0110−(1)ℎ1001)︁ + (2 ) ,(3.29)52где2Z (︁Z (︁)︁)︁(1)(1)(1)(1)=ℎ0020 − ℎ0002 −ℎ0020 + ℎ0002 ,20Z02Z (︁(︁)︁)︁(1)(1)(1)(1)=2 + ℎ0101 + ℎ1010 −2 + ℎ0101 + ℎ1010 .2(3.30)00Уравнение границы области неустойчивости получается на основании анали­за корней характеристического уравнения канонической системы с нормализо­ванной функцией Гамильтона (3.24).

Не приводя промежуточных вычислений,выпишем его явный вид с точностью до членов пятой степени по = * − 0.307549121658 − 0.516112650718 2 + 0.362028557898 3 −456(3.31)− 0.0223315330946 − 0.148718160532 + ( ) .Действуя аналогично, можно получить границу области неустойчивости, ис­ходящую из точки (0, 8/7). Для этого нужно положить в (3.14) 0 = 8/7 ивыполнить замену переменных2 √ √20 1/4 √3 1582 −7921 ,79792 3/4 √20 √ √2 =7921 −3 1582 ,79237√529 √ √3/41 =7921 +3 1582 ,3169485 √ √29 1/4 √2 =3 1582 +7921 ,3163161 =(3.32)приводящую гамильтониан (3.4) к виду√̃︀ 22 = 1 79(1 2 + 1 2 ) − 1 2 2 + ̃︀ (1) + (2 ) .22142(3.33)Далее, аналогично рассмотренным выше резонансным случаям, вычисля­ется нормальная форма Гамильтониана, которая явно от не зависит. В резуль­тате анализа корней характеристического уравнения канонической системы с53нормализованной функцией Гамильтона было получено следующее уравнениеграницы области неустойчивости8649196 2 126656 3 266721795196877 4−+ − −+7 14715435324135700920220455000524416524132554 5 + (6 ) .+1839915578694375=(3.34)3.3.

Результаты линейного анализа устойчивости припроизвольных значениях эксцентриситетаПусть теперь параметры задачи принимают любые (не обязательно малые)допустимые значения. Для решения вопроса об устойчивости в этом случаезадавались конкретные значения параметров и и путем численногоинтегрирования линейной системы с гамильтонианом (1.29) определялась мат­рица монодромии X(2), затем вычислялись коэффициенты 1 и 2 и на осно­вании неравенств (3.2) делались выводы об устойчивости или неустойчивости.При этом параметры выбирались из области их допустимых значении с шагом0.001.Результаты проведенного анализа устойчивости представлены на Рис. 1.

Вобластях, закрашенных серым цветом, имеет место неустойчивость рассматри­ваемой линейной системы и, как следствие, неустойчивость резонансного враще­ния (1.10). В областях, обозначенных белым цветом, линейная система с гамиль­тонианом (1.29) устойчива. Отметим, что на Рис. 1 изображена не вся областьдопустимых значений параметров, а только ее часть, соответствующая значени­ям из интервала [0.85, 1.15], где расположены области устойчивости. Расчетыпоказали, что для значений вне указанного интервала неравенства (3.2) невыполняются и линейная система с гамильтонианом (1.29) неустойчива.Представленные на Рис.

1 результаты численного анализа устойчивостихорошо согласуются с результатами анализа устойчивости, полученными ана­54Рис. 1. Области неустойчивости и области устойчивости в линейном приближении системыс гамильтонианом (1.29)55литически в разделе 3.2 для малых значений . В частности, сравнение этих ре­зультатов показало, что, в рамках полученного приближения, формулы (3.18),(3.22), (3.31) и (3.34) позволяют аппроксимировать границы областей неустой­чивости при всех, а не только при малых значениях .

Другими словами, анализполученных результатов показал, что для любого фиксированного значения из интервала (0, 1) разность между значением , вычисленным на границе об­ласти неустойчивости численно, и значением , полученным по приближеннойформуле, не превосходит величины остаточного члена этой приближенной фор­мулы.Совместив результаты, описанные в данном разделе с результатами, пред­ставленными в разделе 2.2 можно построить области устойчивости резонанс­ного вращения (1.10) в линейном приближении с учетом как плоских, так ипространственных возмущений.

Эти области изображены на Рис. 2.Все области устойчивости, за исключением одной из двух, изображенныхна Рис. 2 a), представляют собой криволинейные трапеции, основания которыхлежат на прямой = 1, а их боковые стороны – вертикальные отрезки, прохо­дящие через граничные точки соответствующих интервалов устойчивости Рис.2. При приближении эксцентриситета к единице размер областей устойчиво­сти уменьшается. Две области устойчивости, изображенные на Рис.

2 a) и Рис.2 c), пересекаются узкими областями неустойчивости.56b)a)d)c)e)Рис. 2. Области устойчивости в линейном приближении57Глава 4О методе исследования устойчивостипериодических гамильтоновых систем с двумястепенями свободы в критических случаяхВ данной главе излагается метод исследования устойчивости периодиче­ских движений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в случаяхкогда требуется нелинейный анализ. Основная идея данного метода была пред­ложена А.П.Маркеевым. Она состоит в построении и нормализации симплекти­ческого отображения, генерируемого фазовым потоком этой системы.

По нор­мализованному отображению уже нетрудно получить нормальную форму функ­ции Гамильтона, зная которую на основании известных критериев можно сде­лать строгие выводы об устойчивости исходной системы. А.П. Маркеевым былпредложен конструктивный алгоритм построения и нормализации симплекти­ческого отображения для нерезонансных случаев и случаев резонансов третьегои четвертого порядков [29], в параграфе 4.1 дается его краткое описание.