Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 2
Описание файла
Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите". PDF-файл из архива "Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
В этом случае можно ввести малыйпараметр, характеризующий несимметричность распределения массы спутника, что позволяет изучать указанные резонансные вращения при произвольныхзначениях эксцентриситета аналитическими методами [43, 44, 45, 46, 47, 66, 67].Помимо резонансных вращений типа 1:1 отдельный интерес представляеттакже исследование резонансных движений при которых периоды вращательного и орбитального движений относятся как 3:2.
Такому резонансному соотношению удовлетворяет движение Меркурия, поэтому резонансные вращения типа83:2 часто называют меркурианскими. Исследованию существования и устойчивости меркурианских движений посвящены работы [10, 33, 34, 60].В двух особых случаях, когда параметры задачи о движении спутника относительно центра масс связаны соотношениями 2 = ( − )/ или−2 = 3(−)/ , где , , – главные центральные моменты инерции спутника, а – эксцентриситет орбиты, уравнение В.В. Белецкого, описывающее плоские движения спутника относительно центра масс, допускает точные частныерешения, отвечающие резонансным вращениям типа 1:2 или 3:2 соответственно [7, 8, 11]. Для определенных значений параметров устойчивость указанныхвращений исследовалась в [28, 36, 37, 52, 54, 58].Целью данной диссертационной работы является исследование устойчивости вращений типа 1:2 или 3:2, определяемых точными решениями уравненияВ.В.
Белецкого, для неисследованных ранее значений параметров, а также разработка конструктивного алгоритма решения задачи об устойчивости периодической гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансахпервого и второго порядков.В первой главе сформулированы основные предположения используемойматематической модели движения спутника относительно его центра масс на эллиптической орбите. Введены канонические переменные и дан вывод функцииГамильтона системы уравнений, описывающих движение спутника. Выписанысемейства частных периодических решений, описывающих плоские резонансные вращения типа 1:2 и 3:2. Даны постановки задач об устойчивости данныхвращений с учетом как плоских, так и пространственных возмущений, а также сформулирована постановка задачи об устойчивости резонансных вращенийдинамически симметричного спутника. Выписано разложение функции Гамильтона системы уравнений возмущенного движения до членов четвертого порядкавключительно.Во второй главе исследуется устойчивость резонансного вращения типа 1:29с учетом только плоских возмущений при неисследованных ранее значениях эксцентриситета.
Получено разложение гамильтониана возмущенного движения вряд по каноническим переменным до шестой степени включительно. Проведенанализ устойчивости линеаризованной в окрестности данного вращения системы и найдены три новые интервала устойчивости в линейном приближении.В указанных интервалах выполнен нелинейный анализ устойчивости и получены строгие выводы об устойчивости по Ляпунову.
В частности, показано, чтонеустойчивость может иметь место лишь в конечном числе резонансных точек.Исследована устойчивость в вырожденных случаях, когда для решения вопросаоб устойчивости необходимо проводить нелинейный анализ с учетом членов дошестой степени включительно. Показано, что в вырожденных случаях имеетместо устойчивость по Ляпунову.В третьей главе исследуется устойчивость в линейном приближении резонансного вращения типа 1:2. Спутник моделируется несимметричным твердымтелом при этом учитываются как плоские, так и пространственные возмущения. В этом случае в задаче имеется два параметра: эксцентриситет орбитыцентра масс и параметр, характеризующий геометрию масс спутника.
Исследование устойчивости проводилось как аналитически, при малых значениях эксцентриситета, так и численно при произвольных значениях данного параметра. В плоскости параметров были построены области устойчивости в линейномприближении. При малых значениях эксцентриситета были получены аналитические выражения для границ указанных областей. Результаты численного ианалитического исследования хорошо согласуются.В четвертой главе приведена методика исследования устойчивости периодических гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в нерезонансныхслучаях и в случаях резонансов третьего и четвертого порядков. Разработана конструктивный алгоритм нормализации указанных гамильтоновых системслучаях резонансов первого, второго порядков. Данный алгоритм позволяет10выполнять нелинейный анализ устойчивости на границах областей параметрического резонанса.В пятой главе проводится строгое исследование устойчивости резонансныхвращений типа 1:2 и 3:2 в случае динамически симметричного спутника с учетом пространственных возмущений.
Для данной цели используются методики,разработанные и приведенные в предыдущей главе.Основные результаты данной диссертационной работы докладывались нанаучных семинарах, российских и международных конференциях, а также былиопубликованы в научных журналах, рекомендованных ВАК [5, 6, 63, 64].11Глава 1Резонансные вращения спутника наэллиптической орбите1.1. Уравнения движения спутника относительно центрамасс на эллиптической орбите.Рассмотрим спутник, движущийся в центральном ньютоновском гравитационном поле сил. Спутник моделируется твердым телом, центр масс которогодвижется по кеплеровской эллиптической орбите, т.е задача рассматриваетсяв классической ограниченной постановке, когда предполагается, что движениеспутника относительно центра масс не влияет на его орбиту [8]. Для описаниядвижения спутника относительно центра масс введем следующие системы координат (Рис.
1) Орбитальную систему координат , оси , , которой направлены по радиус-вектору центра масс относительно притягивающегоцентра, по трансверсали и по нормали к орбите соответственно. Жестко связанную со спутником систему координат , оси которойнаправлены вдоль его главных центральных осей инерции.Ориентацию связанной системы координат относительно орбитальной будем задавать углами Эйлера , , (Рис. 1). Уравнения движения спутникаотносительно центра масс можно записать в гамильтоновой форме.
Следуя [35],получим функцию Гамильтона.Обозначим через , и главные моменты инерции спутника относительно осей , и , а через , и - проекции вектора угловой скорости на12ZzqyYjfxXNРис. 1.эти оси, тогда кинетическая энергия движения спутника относительно центрамасс будет иметь следующий вид =1 2 11 + 2 + 2 ,222(1.1)где , и выражаются через углы Эйлера и истинную аномалию следующимобразом˙ sin sin + ˙ cos = ( + )˙ cos sin − ˙ sin , = ( + )=(1.2)˙ cos + ˙ = ( + )Учитывая, что центр масс спутника движется по заданной кеплеровской орбите,потенциальную энергию движения спутника относительно центра масс можнозаписать в виде [9])︀3 023 (︀222(1+cos)++,Π=1112132 (1 − 2 )3(1.3)где 0 – средняя угловая скорость вращения радиуса-вектора центра масс, а 11 ,12 , 13 – направляющие косинусы радиуса-вектора центра масс в орбитальной13системе координат ; они выражаются через углы Эйлера по формулам11 = cos cos − sin sin cos ,12 = − cos sin − sin cos cos ,13 = sin sin .Введем обобщенные импульсы, соответствующие углам Эйлера =, ˙ =, ˙ =, ˙(1.4)где = − Π – функция Лагранжа.Гамильтониан задачи имеет вид(1.5) = 2 − 0 + Π.При помощи канонической замены переменных = 0 ,(1 − 2 )3/2 = 0 ,(1 − 2 )3/2 = 0(1 − 2 )3/2 ,(1.6)3/2с валентностью(1−2 )0введем безразмерные импульсы , , .Таким образом, в переменных , , , , , уравнения движения записываются в следующей канонической форме=,=−,=,=−,=,=−(1.7)14с гамильтонианом(︀)︀(︂1 Θ cos2 + sin2 21 Θ cos2 cos2 ++=2 sin2 (1 + cos )22 sin2 (1 + cos )2)︂1Θ1cos2 sin2 2+2 +2 +22 Θ (1 + cos )2 sin (1 + cos )(︀)︀(︀)︀1 Θ sin2 + cos2 2 cos Θ cos2 + sin2 +−−2(1 + cos )2sin2 (1 + cos )2cos sin (Θ − 1) cos sin cos (Θ − 1) +− +−sin (1 + cos )2sin (1 + cos )2(︃3(Θ − 1) (cos cos − sin sin cos )2+ (1 + cos )+2Θ)︂(Θ − 1) sin2 sin2 +,Θ(1.8)где Θ = / , Θ = / .При определенных ограничениях на параметры задачи уравнения движения допускают точные частные решения, отвечающие так называемым резонансным движениям спутника.Если параметры Θ , Θ и удовлетворяют соотношению3(Θ − Θ ) = −2,(1.9)то канонические уравнения с гамильтонианом (1.8) имеют частное решение [11]1 (1 + cos )2 * 11* = − , =, = , * = 0, * = 0, * = 0 .22Θ2*(1.10)Решение (1.10) описывает резонансное вращение спутника, при которомего главная центральная ось инерции направлена по нормали к плоскостиорбиты, а сам спутник совершает один оборот в абсолютном пространстве задва оборота центра масс по орбите.Если же параметры Θ , Θ и удовлетворяют соотношениюΘ − Θ = 2,(1.11)15то каноническая система с гамильтонианом (1.8) имеет частное решение [7, 8]13 (1 + cos )2 * 1*, = , * = 0, * = 0, * = 0 .
= , =22Θ2*(1.12)Решение (1.12) представляет собой резонансное вращение спутника, прикотором его ось динамической симметрии лежит в плоскости орбиты, а самспутник совершает в абсолютном пространстве три полных поворота относительно нормали к плоскости орбиты за два оборота его центра масс по орбите.1.2. Постановки задачи об устойчивости резонансныхвращенийУравнения движения с гамильтонианом (1.8) допускают семейство частных решений, описывающих плоские движения спутника, при которых главнаяцентральная ось инерции направлена по нормали к плоскости орбиты. Нарешениях этого семейства* =1, * = 0, * = 0, * = 0 ,2(1.13)а изменение переменных * и * описываются канонической системой=,=−(1.14)с гамильтонианом1Θ 2− +=2 (1 + cos )2(︁)︁322+(1 + cos ) (Θ − 1) (cos ) + (Θ − 1) (sin ) .2Θ(1.15)Поскольку резонансные вращения являются плоскими движениями, то при выполнении равенства (1.9) система (1.14) имеет частное решение11 (1 + cos )2* = − , =,22Θ*(1.16)16а при выполнении равенства (1.11) – частное решение13 (1 + cos )2* = , =,22Θ*(1.17)описывающее упомянутые выше резонансные вращения спутника.Таким образом, возникает задача об устойчивости резонансных вращенийспутника с учетом только плоских возмущений, т.е.
таких возмущений, прикоторых ось инерции сохраняет неизменным свое направление по нормалик плоскости орбиты. Другими словами, это задача об устойчивости частныхрешений (1.16) и (1.17) системы (1.14).В работах [37, 54] исследовалась задача об устойчивости решения (1.16).В частности, в [37] для значений эксцентриситета из интервала [0, 0.91791],за исключением лишь двух особых точек, были получены строгие выводы обустойчивости по Ляпунову решения (1.16). В главе 2 данной диссертационнойработы выполнен анализ устойчивости данного решения для неисследованногоранее интервала значений эксцентриситета, а также в особых точках. В работах[28, 36, 52] был проведен исчерпывающий анализ устойчивости по Ляпуновурешения (1.16).Если учитывать не только плоские, но и пространственные возмущения,то для решения вопроса об устойчивости резонансных вращений необходиморассматривать полную систему уравнений движения с гамильтонианом (1.8),т.е.