Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 2

В этом случае можно ввести малыйпараметр, характеризующий несимметричность распределения массы спутни­ка, что позволяет изучать указанные резонансные вращения при произвольныхзначениях эксцентриситета аналитическими методами [43, 44, 45, 46, 47, 66, 67].Помимо резонансных вращений типа 1:1 отдельный интерес представляеттакже исследование резонансных движений при которых периоды вращательно­го и орбитального движений относятся как 3:2.

Такому резонансному соотноше­нию удовлетворяет движение Меркурия, поэтому резонансные вращения типа83:2 часто называют меркурианскими. Исследованию существования и устойчи­вости меркурианских движений посвящены работы [10, 33, 34, 60].В двух особых случаях, когда параметры задачи о движении спутни­ка относительно центра масс связаны соотношениями 2 = ( − )/ или−2 = 3(−)/ , где , , – главные центральные моменты инерции спутни­ка, а – эксцентриситет орбиты, уравнение В.В. Белецкого, описывающее плос­кие движения спутника относительно центра масс, допускает точные частныерешения, отвечающие резонансным вращениям типа 1:2 или 3:2 соответствен­но [7, 8, 11]. Для определенных значений параметров устойчивость указанныхвращений исследовалась в [28, 36, 37, 52, 54, 58].Целью данной диссертационной работы является исследование устойчиво­сти вращений типа 1:2 или 3:2, определяемых точными решениями уравненияВ.В.

Белецкого, для неисследованных ранее значений параметров, а также раз­работка конструктивного алгоритма решения задачи об устойчивости перио­дической гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансахпервого и второго порядков.В первой главе сформулированы основные предположения используемойматематической модели движения спутника относительно его центра масс на эл­липтической орбите. Введены канонические переменные и дан вывод функцииГамильтона системы уравнений, описывающих движение спутника. Выписанысемейства частных периодических решений, описывающих плоские резонанс­ные вращения типа 1:2 и 3:2. Даны постановки задач об устойчивости данныхвращений с учетом как плоских, так и пространственных возмущений, а так­же сформулирована постановка задачи об устойчивости резонансных вращенийдинамически симметричного спутника. Выписано разложение функции Гамиль­тона системы уравнений возмущенного движения до членов четвертого порядкавключительно.Во второй главе исследуется устойчивость резонансного вращения типа 1:29с учетом только плоских возмущений при неисследованных ранее значениях экс­центриситета.

Получено разложение гамильтониана возмущенного движения вряд по каноническим переменным до шестой степени включительно. Проведенанализ устойчивости линеаризованной в окрестности данного вращения систе­мы и найдены три новые интервала устойчивости в линейном приближении.В указанных интервалах выполнен нелинейный анализ устойчивости и получе­ны строгие выводы об устойчивости по Ляпунову.

В частности, показано, чтонеустойчивость может иметь место лишь в конечном числе резонансных точек.Исследована устойчивость в вырожденных случаях, когда для решения вопросаоб устойчивости необходимо проводить нелинейный анализ с учетом членов дошестой степени включительно. Показано, что в вырожденных случаях имеетместо устойчивость по Ляпунову.В третьей главе исследуется устойчивость в линейном приближении резо­нансного вращения типа 1:2. Спутник моделируется несимметричным твердымтелом при этом учитываются как плоские, так и пространственные возмуще­ния. В этом случае в задаче имеется два параметра: эксцентриситет орбитыцентра масс и параметр, характеризующий геометрию масс спутника.

Исследо­вание устойчивости проводилось как аналитически, при малых значениях экс­центриситета, так и численно при произвольных значениях данного парамет­ра. В плоскости параметров были построены области устойчивости в линейномприближении. При малых значениях эксцентриситета были получены аналити­ческие выражения для границ указанных областей. Результаты численного ианалитического исследования хорошо согласуются.В четвертой главе приведена методика исследования устойчивости перио­дических гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в нерезонансныхслучаях и в случаях резонансов третьего и четвертого порядков. Разработа­на конструктивный алгоритм нормализации указанных гамильтоновых системслучаях резонансов первого, второго порядков. Данный алгоритм позволяет10выполнять нелинейный анализ устойчивости на границах областей параметри­ческого резонанса.В пятой главе проводится строгое исследование устойчивости резонансныхвращений типа 1:2 и 3:2 в случае динамически симметричного спутника с уче­том пространственных возмущений.

Для данной цели используются методики,разработанные и приведенные в предыдущей главе.Основные результаты данной диссертационной работы докладывались нанаучных семинарах, российских и международных конференциях, а также былиопубликованы в научных журналах, рекомендованных ВАК [5, 6, 63, 64].11Глава 1Резонансные вращения спутника наэллиптической орбите1.1. Уравнения движения спутника относительно центрамасс на эллиптической орбите.Рассмотрим спутник, движущийся в центральном ньютоновском гравита­ционном поле сил. Спутник моделируется твердым телом, центр масс которогодвижется по кеплеровской эллиптической орбите, т.е задача рассматриваетсяв классической ограниченной постановке, когда предполагается, что движениеспутника относительно центра масс не влияет на его орбиту [8]. Для описаниядвижения спутника относительно центра масс введем следующие системы ко­ординат (Рис.

1)ˆ Орбитальную систему координат , оси , , которой на­правлены по радиус-вектору центра масс относительно притягивающегоцентра, по трансверсали и по нормали к орбите соответственно.ˆ Жестко связанную со спутником систему координат , оси которойнаправлены вдоль его главных центральных осей инерции.Ориентацию связанной системы координат относительно орбитальной бу­дем задавать углами Эйлера , , (Рис. 1). Уравнения движения спутникаотносительно центра масс можно записать в гамильтоновой форме.

Следуя [35],получим функцию Гамильтона.Обозначим через , и главные моменты инерции спутника относитель­но осей , и , а через , и - проекции вектора угловой скорости на12ZzqyYjfxXNРис. 1.эти оси, тогда кинетическая энергия движения спутника относительно центрамасс будет иметь следующий вид =1 2 11 + 2 + 2 ,222(1.1)где , и выражаются через углы Эйлера и истинную аномалию следующимобразом˙ sin sin + ˙ cos = ( + )˙ cos sin − ˙ sin , = ( + )=(1.2)˙ cos + ˙ = ( + )Учитывая, что центр масс спутника движется по заданной кеплеровской орбите,потенциальную энергию движения спутника относительно центра масс можнозаписать в виде [9])︀3 023 (︀222(1+cos)++,Π=1112132 (1 − 2 )3(1.3)где 0 – средняя угловая скорость вращения радиуса-вектора центра масс, а 11 ,12 , 13 – направляющие косинусы радиуса-вектора центра масс в орбитальной13системе координат ; они выражаются через углы Эйлера по формулам11 = cos cos − sin sin cos ,12 = − cos sin − sin cos cos ,13 = sin sin .Введем обобщенные импульсы, соответствующие углам Эйлера =, ˙ =, ˙ =, ˙(1.4)где = − Π – функция Лагранжа.Гамильтониан задачи имеет вид(1.5) = 2 − 0 + Π.При помощи канонической замены переменных = 0 ,(1 − 2 )3/2 = 0 ,(1 − 2 )3/2 = 0(1 − 2 )3/2 ,(1.6)3/2с валентностью(1−2 )0введем безразмерные импульсы , , .Таким образом, в переменных , , , , , уравнения движения запи­сываются в следующей канонической форме=,=−,=,=−,=,=−(1.7)14с гамильтонианом(︀)︀(︂1 Θ cos2 + sin2 21 Θ cos2 cos2 ++=2 sin2 (1 + cos )22 sin2 (1 + cos )2)︂1Θ1cos2 sin2 2+2 +2 +22 Θ (1 + cos )2 sin (1 + cos )(︀)︀(︀)︀1 Θ sin2 + cos2 2 cos Θ cos2 + sin2 +−−2(1 + cos )2sin2 (1 + cos )2cos sin (Θ − 1) cos sin cos (Θ − 1) +− +−sin (1 + cos )2sin (1 + cos )2(︃3(Θ − 1) (cos cos − sin sin cos )2+ (1 + cos )+2Θ)︂(Θ − 1) sin2 sin2 +,Θ(1.8)где Θ = / , Θ = / .При определенных ограничениях на параметры задачи уравнения движе­ния допускают точные частные решения, отвечающие так называемым резо­нансным движениям спутника.Если параметры Θ , Θ и удовлетворяют соотношению3(Θ − Θ ) = −2,(1.9)то канонические уравнения с гамильтонианом (1.8) имеют частное решение [11]1 (1 + cos )2 * 11* = − , =, = , * = 0, * = 0, * = 0 .22Θ2*(1.10)Решение (1.10) описывает резонансное вращение спутника, при которомего главная центральная ось инерции направлена по нормали к плоскостиорбиты, а сам спутник совершает один оборот в абсолютном пространстве задва оборота центра масс по орбите.Если же параметры Θ , Θ и удовлетворяют соотношениюΘ − Θ = 2,(1.11)15то каноническая система с гамильтонианом (1.8) имеет частное решение [7, 8]13 (1 + cos )2 * 1*, = , * = 0, * = 0, * = 0 .

= , =22Θ2*(1.12)Решение (1.12) представляет собой резонансное вращение спутника, прикотором его ось динамической симметрии лежит в плоскости орбиты, а самспутник совершает в абсолютном пространстве три полных поворота относи­тельно нормали к плоскости орбиты за два оборота его центра масс по орбите.1.2. Постановки задачи об устойчивости резонансныхвращенийУравнения движения с гамильтонианом (1.8) допускают семейство част­ных решений, описывающих плоские движения спутника, при которых главнаяцентральная ось инерции направлена по нормали к плоскости орбиты. Нарешениях этого семейства* =1, * = 0, * = 0, * = 0 ,2(1.13)а изменение переменных * и * описываются канонической системой=,=−(1.14)с гамильтонианом1Θ 2− +=2 (1 + cos )2(︁)︁322+(1 + cos ) (Θ − 1) (cos ) + (Θ − 1) (sin ) .2Θ(1.15)Поскольку резонансные вращения являются плоскими движениями, то при вы­полнении равенства (1.9) система (1.14) имеет частное решение11 (1 + cos )2* = − , =,22Θ*(1.16)16а при выполнении равенства (1.11) – частное решение13 (1 + cos )2* = , =,22Θ*(1.17)описывающее упомянутые выше резонансные вращения спутника.Таким образом, возникает задача об устойчивости резонансных вращенийспутника с учетом только плоских возмущений, т.е.

таких возмущений, прикоторых ось инерции сохраняет неизменным свое направление по нормалик плоскости орбиты. Другими словами, это задача об устойчивости частныхрешений (1.16) и (1.17) системы (1.14).В работах [37, 54] исследовалась задача об устойчивости решения (1.16).В частности, в [37] для значений эксцентриситета из интервала [0, 0.91791],за исключением лишь двух особых точек, были получены строгие выводы обустойчивости по Ляпунову решения (1.16). В главе 2 данной диссертационнойработы выполнен анализ устойчивости данного решения для неисследованногоранее интервала значений эксцентриситета, а также в особых точках. В работах[28, 36, 52] был проведен исчерпывающий анализ устойчивости по Ляпуновурешения (1.16).Если учитывать не только плоские, но и пространственные возмущения,то для решения вопроса об устойчивости резонансных вращений необходиморассматривать полную систему уравнений движения с гамильтонианом (1.8),т.е.