Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 5

Резонансы пер­вого и второго порядков возникают в граничных точках областей S ( =1, . . . , 5). Выводы об устойчивости в этих точках приведены в таблицах 2.1 и2.2 соответственно.Таблица 2.1: Результаты анализа устойчиво­сти в случаях резонансов первого порядка.ВыводыЗначениеОбласть эксцентриси­30S2тета0.9179098745 -202.3925301S30.9905450170S40.9993035623229.6449258S50.999918785801обустойчиво­стинеустойчивость1.696113987·105 неустойчивостьнеустойчивость1.901744809·108 неустойчивость35Таблица 2.2: Результаты анализа устойчиво­сти в случаях резонансов второго порядка.ОбластьВыводыЗначение экс­2центриситетаобустойчиво­S10.32173112.82071918стиустойчивостьS20.900101571.000669754·106устойчивостьS30.9921141691.106038355·105устойчивостьS40.9991665985S50.99993211684−1.531048806·106 неустойчивость1.262886788·108устойчивостьВнутри каждой из областей S ( = 1, .

. . , 5) присутствуют точки, отве­чающие резонансам третьего и четвертого порядков. Для проверки критериевустойчивости в случае резонанса третьего порядка для каждого соответствую­щего значения эксцентриситета была вычислена величина 21 +21 . Эта величина,а также соответствующие выводы об устойчивости представлены в таблице 2.3.Таблица 2.3: Результаты анализа устойчиво­сти в случаях резонансов третьего порядка.ОбластьЗначение экс­центриситетаВыводы21 + 21обустойчиво­S10.2777452сти13.71215993 неустойчивостьS20.904939562378.55146 неустойчивостьS30.99174898285.14411248 неустойчивостьS40.999203146271039.37430 неустойчивостьS50.999929008032 1905.700852 неустойчивость36Для резонансов четвертого порядка в соответствующих значениях эксцен­триситета были вычислены величины |κ| и√︀κ12 + κ22 .

Их значения и выводыоб устойчивости представлены в таблице 2.4.Таблица 2.4: Результаты анализа устойчиво­сти в случаях резонансов четвертого порядка.ОбластьЗначение экс­центриситетаВыводы|κ|10.26041834√︀κ12 + κ2275.18084153обустойчиво­стинеустойчивостьS10.2261418S20.9094951S30.9913672552.345075583·106 7.752249460·105устойчивостьS40.99923803127.071483608·107 2.450001142·107устойчивостьS50.99992576233 2.655202464·109 8.772761051·108устойчивость6.143888257·105 7.826940827·105 неустойчивость2.5. Исследование устойчивости в особом случаевырожденияДля решения вопроса об устойчивости в особых точках * = 0.23340371 и** = 0.907502979, где имеет место вырождение (κ = 0), необходимо получитьявный вид симплектического отображения (2.7) до членов пятой степени вклю­чительно и выполнить его нормализацию. Это можно сделать используя идеюподхода, описанного в работе [36].

Она заключается в том, что замена перемен­ных (2.10) проводится в исходной гамильтоновой системе, а симплектическоеотображение (2.12) строится уже в системе с преобразованным гамильтониа­ном. Этот подход несколько упрощает вычисления, так как позволяет сразуперейти к системе дифференциальных уравнений, решениями которых на ин­тервале [0, 2] являются коэффициенты ( + = ) форм ( = 3, 4, 5, 6).37Получив явное выражение для симплектического отображения (2.12)вплоть до членов нужного нам порядка, проведем каноническую замену пере­менных , → , , приводящую отображение к нормальной форме.

Выводыоб устойчивости могут быть получены путем анализа коэффициентов даннойнормальной формы. Расчеты показали, что в точках = * и = ** кор­ни ( = 1, 2) характеристического уравнения (2.5) удовлетворяют условию ̸= 1 ( = 1, . . . , 6), то есть в исходной гамильтоновой системе отсутствуютрезонансы до шестого порядка включительно. В этом случае нормализованноеотображение имеет следующую форму:⃦⃦)︀2⃦⃦ ⃦⃦3 (︀ 22⃦0 + 0 0 + 0 + 6 ⃦⃦ ⃦⃦⃦ 1 ⃦⃦4⃦ ⃦ = G⃦⃦.(2.22)⃦⃦ ⃦⃦(︀)︀32⃦⃦1 ⃦⃦⃦0 − 0 02 + 02 + 6 ⃦4Каноническая замена переменных, приводящая отображение к нормаль­ной форме, может быть построена, например, с помощью метода Биркгофа[65, 68, 69].Введем симплектические полярные координаты по формулам:√=√2 sin ,=(2.23)2 cos ,тогда отображение (2.22) принимает следующую форму71 = 0 + (02 ),51 = 2 + 0 + 302 + (02 ) .(2.24)Если ̸= 0, то по теореме Мозера [68] следует, что в любой сколь угодно малойобласти точки = 0 существует закрытая инвариантная поверхность охва­тывающая эту точку.

Из последнего следует устойчивость неподвижной точки = = 0 отображения (2.22).Когда величина , а также величины ( + = , где = 3, 4, 5, 6) най­дены, коэффициент может быть вычислен по явной формуле. К сожалению,вид данной формулы слишком громоздкий.38Приведем алгоритм, позволяющий упростить явное выражение для нахож­дения .Для начала, отметим, что если в системе с гамильтонианом (2.3) отсут­ствуют резонансы третьего порядка, то с помощью нелинейной, близкой к тож­дественной замены переменных , → , отображение (2.12) может бытьприведено к нормальной форме, не содержащей членов второй степени.

Такаязамена переменных имеет следующий вид:=−3+ (, ), =+3+ (, ),(2.25)где 3 – форма третьей степени, коэффициенты которой имеют вид:1130 = − 30 +[203 sin 2 + (03 + 21 ) sin 4] ,24∆1121 = − 21 −[212 sin 2 + (330 − 12 ) sin 4] ,24∆1112 = − 12 +[221 sin 2 + (303 − 21 ) sin 4] ,24∆1130 = − 03 −[230 sin 2 + (30 + 12 ) sin 4] ,24∆(2.26)где ∆ = cos (2 ) − cos (4 ).Через (, ) и (, ) обозначены ряды, содержащие члены третьей ивыше степени.

Коэффициенты в данных рядах выбираются наиболее простыми,но таким образом, чтобы замена переменных (2.25) удовлетворяла условиямканоничности. В частности, можно положить (, ) ≡ 0, тогда для того, чтобызамена (2.25) была канонической, выберем (, ) следующим образом:=∞ ∑︁∑︁=2 += .(2.27)39где202 = −1203 21 + 412, 11 = −1803 30 + 212 21 ,4 220 = −430 12 + 21, 03 = −202 12 , 12 = 02 21 − 211 12 ,333221 = 402 30 − 11 21 − 220 12 , 30 = − 11 30 − 20 21 ,32204 = −203 12 ,(2.28)13 = 203 21 − 212 12 ,31 = 312 30 − 21 21 − 230 12 ,4022 = 603 30 − 221 12 ,68= − 21 30 − 30 21 .55Теперь опишем процедуру вычисления коэффициента .Вернемся к исходной системе с гамильтонианом (2.3) и выполним два ка­нонических преобразования. Первое из которых – линейная замена , → , по формулам (2.10), и второе – нелинейное преобразование , → , по фор­мулам (2.25).

В переменных , гамильтониан принимает следующую формуΓ(, , ) = (11 (, ) + 12 (, ), 21 (, ) + 22 (, ), ),(2.29)где функции (, ) и (, ) задаются формулами (2.25).Затем строится симплектическое отображение 0 , 0 → 1 , 1 , соответству­ющее канонической системе с гамильтонианом (2.29). Данное отображение пред­ставляет собой композицию двух отображений [36] :1. Линейное симплектическое отображение * , * → 1 , 1 задаваемое мат­рицей (2.13).2. Нелинейное симплектическое отображение 0 , 0 → * , * задаваемоеявно с помощью производящей функции (* , 0 )0 =,0* =,*(2.30)где(* , 0 ) = * 0 + 4 (* , 0 ) + . .

. , (* , 0 ) =∑︁+= * 0 .(2.31)40Явные формулы, приведенные в [36], позволяют получить систему диффе­ренциальных уравнений, решение которых дает нам коэффициенты форм (* , 0 ).В конце, с помощью нелинейной, близкой к тождественной замене пере­менных , → , , построенной по методу Биркгофа, симплектическое отобра­жение 0 , 0 → 1 , 1 может быть приведено к нормальной форме (2.22).Стоит отметить, что из-за проведенного канонического преобразования(2.25) производящая функция (* , 0 ) не содержит членов третьей степени.Таким образом, симплектическое отображение 0 , 0 → 1 , 1 , соответствующееканонической системе с гамильтонианом (2.29), не включает в себя квадратич­ных членов. Это обстоятельство приводит к значительному упрощению проце­дуры нормализации.

И в результате, выражение для , выписанное с помощьюкоэффициентов , может быть записано в следующей простой форме:5151 = − 06 − 24 − 60 − 42 + 31 (304 + 222 + 540 ) +2222 [︁]︁122(04 − 22 + 40 ) + (13 − 31 ) cot 4−+ 13 (340 + 222 + 504 ) −2]︁[︁22− (13 + 31 ) + 4 (04 − 40 ) cot 2 .(2.32)Вычисления показали, что при = * величина = 0.2602763116, а коэф­41фициенты производящей функции (2.31) имеют вид04 = − 1.39164453519674, 05 = 1.13049541865365, 06 = 23.0270131944171,13 = − 0.649389629305511, 14 = −22.9102219648364, 15 = −97.0663839548672,22 = 8.00264323022938, 23 = 12.3797617234779, 24 = −0.680110459331499,31 = − 2.04052756046703, 32 = −7.79715422609757, 33 = −115.430653837797,40 = − 1.27569798734149, 41 = 23.5247742520580, 42 = −18.5328762641862,50 = − 2.62561828060514, 51 = −79.9340447925700, 60 = 29.6927439871871 .(2.33)В этом случае коэффициент = −582.30138.Если = ** , то = −0.28565780477076522874, a коэффициенты произво­дящей функции (2.31) принимают следующие значения04 = − 22461.6682275286, 05 = −10486039.62, 06 = 4765789901,13 = − 76969.7167479434, 14 = 59076252.30, 15 = −3973561412,22 =153712.7495, 23 = −29881179.57, 24 = −66846255710,(2.34)31 =21550.0216278781, 32 = −131531674.7, 33 = 97291000740,40 = − 28775.9149832872, 41 = 24274342.28, 42 = 50568162680,50 = − 58846.6402456501, 51 = −16047708160, 60 = −75025608.38 .В этом случае = 43161599830.Поскольку при ̸= 0 неподвижная точка симплектического отображенияустойчива, то резонансное вращение (1.10) в рассматриваемых случаях при =* и = ** устойчиво по Ляпунову.42Глава 3Исследование устойчивости резонансныхвращений несимметричного спутника приналичии пространственных возмущенийВ данной главе мы продолжаем исследование устойчивости по Ляпуно­ву резонансного вращения спутника, при котором он совершает один оборот вабсолютном пространстве за два оборота центра масс по орбите.