Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 6

Анализ устой­чивости проводится в рамках линейного приближения с учетом как плоских,так и пространственных возмущений. Основные результаты данной главы былиопубликованы автором в [6].3.1. Линейный анализ устойчивости по отношению кпространственным возмущениямВ рамках линейного приближения плоские и пространственные возмуще­ния независимы. Действительно, структура гамильтониана (1.27) такова, что со­ответствующая ему линеаризованная система распадается на две независимыелинейные канонические системы: систему с гамильтонианом (1.28), описываю­щую изменение переменных 1 , 1 (плоские возмущения) и систему с гамиль­тонианом (1.29), описывающую изменение переменных 2 , 2 , 3 , 3 (простран­ственные возмущения).

Таким образом, задача об устойчивости резонансныхвращений в линейном приближении сводится к исследованию устойчивости три­виальных положений равновесия этих двух линейных систем.Анализ устойчивости системы с гамильтонианом (1.28) был выполнен впараграфе 2.2, ниже мы воспользуемся результатами этого анализа.43Рассмотрим систему c гамильтонианом (1.29), описывающую простран­ственные возмущения. Обозначим через X2 () ее фундаментальную матрицурешений, удовлетворяющую начальными условиями X2 (0) = E4 , где E4 единич­ная матрица четвертого порядка. Характеристическое уравнение этой системыс имеет следующий вид4 − 1 3 + 2 2 − 1 + 1 = 0,(3.1)где коэффициент 1 – след матрицы монодромии X2 (2), а коэффициент 2 –сумма главных миноров второго порядка этой матрицы.Если выполнены неравенства [22]− 2 < 2 < 6,4(2 − 2) < 21 < (2 + 2)2 /4,(3.2)то характеристическое уравнение (3.1) имеет две пары комплексно-сопряжен­ных корней, модули которых равны единице.

В этом случае рассматриваемаялинейная система устойчива. Если при тех же значениях параметров задачиимеет место устойчивость линейной системы с гамильтонианом (1.28), то иссле­дуемое резонансное вращение устойчиво в линейном приближении по отноше­нию как к плоским, так и к пространственным возмущениям.Неравенства (3.2) задают в плоскости коэффициентов 1 и 2 ограничен­ную область (криволинейный треугольник). Если значения коэффициентов неудовлетворяют неравенствам (3.2) и при этом точка (1 , 2 ) не принадлежитгранице указанной области, то характеристическое уравнение (3.1) имеет покрайней мере один корень, модуль которого больше единицы и линейная систе­ма с гамильтонианом (1.29) неустойчива. Более того, в этом случае из теоремыЛяпунова о неустойчивости по первому приближению следует неустойчивостьи полной нелинейной системы с гамильтонианом (1.26).

Последнее, очевидно,означает неустойчивость по Ляпунову резонансного вращения (1.10).В общем случае (при произвольных значениях параметров задачи) матри­44ца монодромии X2 (2) может быть получена только в результате численногоинтегрирования линейной системы с гамильтонианом (1.29). Результаты линей­ного анализа устойчивости, полученные на основании численного интегрирова­ния, представлены в параграфе 3.3, но сначала мы рассмотрим один предель­ный случай, когда возможно аналитическое исследование устойчивости.3.2. Линейный анализ устойчивости при малых значенияхэксцентриситетаПусть орбита центра масс спутника является слабоэллиптической, т.е.

ееэксцентриситет ≪ 1. В этом случае можно считать малым параметромзадачи.В [37] было показано, что при малых значениях эксцентриситета резонанс­ное вращение (1.10) устойчиво по отношению к плоским возмущениям. Исследу­ем его устойчивость по отношению к пространственным возмущениям. Для это­го при помощи канонических преобразований переменных приведем функциюГамильтона (1.29) к более простому виду, удобному для анализа устойчивости.Выполним сначала следующую унивалентную каноническую замену пере­менных)︂)︂(︂(︂112 = 2 cos + 1 sin , 2 = 1 + 2 sin + 2 − 1 cos ,224242(︂)︂(︂)︂113 = −2 sin + 1 cos , 3 = − 2 + 1 sin + 1 − 2 cos .224242(3.3)Новые переменные 1 , 2 , 1 , 2 выбраны так, что при = 0 функция Га­мильтона (1.29) явно от не зависит. Ее разложение в ряд по степеням имеетвид(0)(1)(2)22 = 22 + 22 + 2 22 + . .

. ,(3.4)45где)︀111 (︀ 2 + 48 − 48 1 2 + 2 2 + (1 2 − 2 1 ) ( − 4)32324(3.5))︀1 (︀ 22+ 1 + 2 ,2)︀)︀(︀1 (︀(︀1(1)22 = 2 1 2 − 2 2 cos + 1 2 + 2 2 −sin 2 (1 1 − 2 2 ) −6121 2− 12 (1 1 + 2 2 ) ( − 1)) − (cos (1 2 + 2 1 ) − 1 2 + 2 1 ) +12)︀1 (︀ 21+ + 24 sin 1 2 − 2 sin 1 2 −483)︀)︀1 (︀(︀ 3− + 144 − 144 cos − 3 − 48 1 2 +96)︀)︀1 (︀(︀ 2 + 48 cos + 2 2 2 ,+96(3.6)(0)22 =(2)(︀1 [︀(cos − 1) 4 + 12 sin2 3 − 72 sin2 2 − 72 4 cos2 −144]︀(︀ (︀)︀)︀1 [︀− cos − 1) + 216 cos2 1 2 −sin 12 2 + 3 cos − 3 2 −72(︀ 2(︀)︀)︀− 4 sin 6 − 3 + 6 2 − 3 + 3 cos 1 − 4 2 (cos − 1) (6 cos +(︀)︀)︀1 (︀+ 6 − ) 2 ] 1 −72 + (cos + 1) 12 ( + 6) (cos − 1) − 2 2 2 +144(︀ (︀)︀1 [︀ 2+ (cos + 1) (6 cos − 6 − ) 1 − sin 6 2 + 3 − 3 cos −18)︀ ]︀121− 3 − 6 2 2 2 + (cos + 1) 3 1 2 − 3 sin 2 1 − 3 (cos − 1) 2 2 .999(3.7)22 = −В предельном случае, когда орбита центра масс круговая ( = 0), резо­нансное вращение представляет собой цилиндрическую прецессию динамическисимметричного спутника, а соответствующие пространственные возмущения влинейном приближении описываются канонической системой с гамильтонианом(3.5).

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид4 +(︂)︂1 21 + 2 − 1 2 + (7 − 8) ( − 2) = 0 .44(3.8)46Результаты исследования линейной задачи об устойчивости цилиндрическойпрецессии динамически симметричного спутника изложены в [35], там же мож­но найти подробную библиографию по этому вопросу.Отметим, что в силу неравенства (1.22) при = 0 допустимые значения па­раметра лежат в интервале (0; 2]. Для значений параметра ∈ (0, * )∪(8/7; 2)(где * = 0.9605453476890599) уравнение (3.8) имеет корень с положительнойвещественной частью. Поэтому для указанных значений резонансное враще­ние неустойчиво [23], причем неустойчивость будет иметь место как при = 0,так и при достаточно малых, но отличных от нуля значениях .

Последнее сле­дует из непрерывной зависимости правых частей линейной системы с гамиль­тонианом (3.4) от эксцентриситета .Если же ∈ (* ; 8/7), то уравнение (3.8) имеет чисто мнимые корни ипри = 0 система с гамильтонианом (3.4) устойчива в линейном приближении[23]. В этом случае линейной канонической заменой переменных , → , ,( = 1, 2)1 = 11 1 + 12 2 ,2 = 11 1 + 12 2 ,1 = 21 1 + 22 2 ,2 = 21 1 + 22 2(3.9)гамильтониан (3.4) можно привести к виду̃︀ 22 = 1 1 (12 + 12 ) − 1 2 (12 + 12 ) + ̃︀ (1) + 2 ̃︀ (2) + (3 ) ,222222где√︁√| − |√︁√| + |2 =,2(︂)︂11 = 2 − 4, =2 + 2 − 1 , = (7 − 8) ( − 2) ,44а коэффициенты замены переменных (3.9) имеют вид)︀(︀)︀1 (︀1 1 = − 2 2 − 2 ,2 = −( − 4) 2 + 2 − 2 ,2 8 8(︀)︀111 = (−1) ( − 4) ,2 = (−1) ( − 4) + 8 − 8 2 ,281 =2,(3.10)(3.11)(3.12)47(︀)︀)︀ (︀8 4 + ( − 2) 2 − 8 2 − 6 + 12 , = 1, 2 .(3.13)8 ̃︀ (1) и ̃︀ (2) получаются подстановкой выражений (3.9) вКвадратичные формы =2222(3.6) и (3.7) соответственно, их явный вид здесь не приводится из-за громозд­кости.Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости резонансного вращения при ∈ [* ; 8/7] и достаточно малых, но отличных от нуля значениях .

Если вы­полнено хотя бы одно из резонансных соотношений: 21 = 1 , 22 = 2 или1 − 2 = (где 1 , 2 , – некоторые целые числа), то при ̸= 0 в системе сгамильтонианом (3.4) возможно явление параметрического резонанса, приводя­щее к неустойчивости (теорема Крейна-Гельфанда-Лидского [61]). Указанныерезонансные соотношения выполняются в двух внутренних точках интервала(* ; 8/7), а именно: в точке = 1 реализуется кратный резонанс 21 = 2,22 = 1, а в точке = ** = 1.1019093218554929 – комбинационный резонанс1 − 2 = −1. Кроме того, на левой границе данного интервала ( = * ) имеетместо резонансное соотношение 1 = 2 , а на его правой границе ( = 8/7) –соотношение 1 = 0.В плоскости параметров , из точек с координатами (0, * ), (0, 1), (0, ** ),(0, 8/7) исходят области неустойчивости. Если значение эксцентриситета мало,то границы указанных областей можно получить аналитически в виде сходя­щихся рядов по степеням = 0 + 1 + 2 2 + .

. . ,(3.14)где в качестве 0 следует положить одно из указанных выше резонансных зна­чений: * , 1, ** или 8/7. Коффициенты ( = 1, 2, . . .) можно вычислить, на­пример, методом, изложенным в [35]. Для этого необходимо подставить (3.14) в(3.10) и выполнить каноничекую линейную 2 -периодическую замену перемен­ных, приводящую функцию Гамильтона (3.10) к нормальной форме, независя­щей от . Такая нормализующая замена строится в виде сходящихся рядов по48степеням , коэффициенты которых можно последовательно находить, напри­мер, методом Депри-Хори [35]. Задача об устойчивости канонической системы сгамильтонианом (3.10) эквивалентна задаче об устойчивости нормализованнойсистемы.

Поскольку нормализованная система является автономной, то не пред­ставляет затруднений исследовать ее устойчивость и определить коффициенты ( = 1, 2, . . .).Вид нормализованной функции Гамильтона зависит от типа резонанса,поэтому каждый резонансный случай необходимо рассмотреть отдельно.Для построения границы области неустойчивости, исходящей из точки(0, 1) положим в (3.14) 0 = 1 и выполним 4 -периодическую замену пере­менных112 = 2 cos + 2 sin ,22111 = 1 sin + 1 cos , 2 = −2 sin + 2 cos ,221 = 1 cos − 1 sin ,(3.15)которая уничтожит в гамильтониане (3.10) члены независящие от .