Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 4

Зависимость коэффициентаот эксцентриситета на интервале [0.99; 0.99994]провести численное интегрирование линейной системы от 0 до 2 . Следует отме­тить, что при = 1 в правых частях системы (2.4) присутствует точка разрывавторого рода при = . Численные расчеты показали, что при приближении к единице, коэффициент многократно меняет знак, более того, после каждойсмены знака возрастает или уменьшается до некоторой величины, модулькоторой превосходит единицу.

Это приводит к чередованию областей устойчи­вости и неустойчивости вблизи = 1. При приближении эксцентриситета к еди­нице упомянутые интервалы сужаются. На Рис. 1 и Рис. 2 представлен графикзависимости коэффициента от эксцентриситета . Численное интегрированиесистемы (2.4) для значений эксцентриситета близких к единице требует оченьбольшой точности и становится затруднительным. Поэтому численные расчетыпроизводились для значений эксцентриситета 0 < < 0.999933. Оказалось, что28в интервалахU1 = [0.32173093; 0.90010166] ,U2 = [0.9179098746; 0.9905450175] ,U3 = [0.9921141694; 0.99916659849] ,U4 = [0.99930356235; 0.999918785804]резонансное вращение (1.10) неустойчиво, а в интервалахS1 = [0; 0.32173093] ,S2 = [0.90010166; 0.9179098746] ,S3 = [0.9905450175; 0.9921141694] ,S4 = [0.99916659849; 0.99930356235] ,S5 = [0.999918785804; 0.999932116844]резонансное вращение (1.10) устойчиво в линейном приближении.Отметим еще что интервалы 1 , 2 , 1 , 2 впервые были обнаружены вработе [54], а их границы были уточнены в работе [37].2.3.

О методе нелинейного анализа устойчивостипериодических гамильтоновых систем с однойстепенью свободыДля строгого решения вопроса об устойчивости резонансного вращенияв областях ( = 1, . . . , 5), необходимо выполнить дополнительное исследо­вание устойчивости с учетом нелинейных членов в правых частях уравнений(1.14).

В данной диссертационной работе нелинейный анализ устойчивости вы­полняется на основе метода, разработанного А.П.Маркеевым [28, 36]. Основнаяидея указанного метода состоит в построении симплектического отображения,29генерируемого периодической гамильтоновой системой с одной степенью свобо­ды, и дальнейшем исследовании устойчивости неподвижной точки этого отоб­ражения.

Задача об устойчивости неподвижной точки эквивалентна задаче обустойчивости положения равновесия исходной гамильтоновой системы. В дан­ном параграфе дается краткое описание указанного метода.Рассмотрим каноническую систему с одной степенью свободы, гамильто­ниан (, , ) которой является 2 -периодической функцией независимой пе­ременной . Разложение функции Гамильтона в ряд в окрестности положенияравновесия = = 0 имеет вид(2.6) = 2 + 3 + 4 + ...,где – форма степени по каноническим переменным и с2 -периодическими по коэффициентами.Характеристическое уравнение линейной канонической системы, гамиль­тонианом 2 которой является квадратичная часть функции Гамильтона (2.3),имеет вид (2.5).

Далее мы предполагаем, что коэффициент в этом уравненииудовлетворяет неравенству || ≤ 1, т.е. в задаче об устойчивости каноническойсистемы с гамильтонианом имеет место критический случай, когда для решениявопроса об устойчивости необходим нелинейный анализ.Пусть 0 , 0 – начальные значения переменных , , а 1 , 1 их значенияпри = 2 . Тогда, согласно [28], искомое симплектическое отображение можнопостроить в следующем виде⃦⃦2⃦⃦⃦ ⃦3343⃦0 −⃦+−+⃦ ⃦4⃦⃦⃦ 1 ⃦00 000⃦⃦ ⃦ = X(2) ⃦⃦⃦,⃦ ⃦2⃦⃦⃦1 ⃦334⃦ 0 + 3 −⃦++4⃦⃦ 2 000(2.7)0где = Φ (0 , 0 , 2), а Φ (0 , 0 , ) – формы степени ( = 3, 4) удовлетворя­30ющие следующим уравнениямΦ3 (0 , 0 , )= −3 (0 , 0 , ),Φ4 (0 , 0 , )3 (0 , 0 , ) Φ3 (0 , 0 , )= −4 (0 , 0 , ) −,00(2.8)где (0 , 0 , ) – формы, полученные из (, , ) путем замены переменных⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦ = X() ⃦ 0 ⃦ ,⃦ ⃦⃦ ⃦⃦0 ⃦⃦⃦(2.9)где X() – матрица фундаментальных решений линейной канонической систе­мы, гамильтонианом 2 которой является квадратичная часть функции Гамиль­тона (2.3).Приравнивая коэффициенты в обеих частях уравнения (2.8), получим де­вять обыкновенных дифференциальных уравнений на коэффициенты формΦ (0 , 0 , ) ( = 3, 4).

Правые части этих уравнений содержат значения (),которые являются элементами матрицы X() и определяются путем решениялинеаризованной системы. Таким образом, интегрируя систему из 13 уравне­ний, получим коэффициенты формы . В общем случае, интегрирование долж­но проводиться численно.Выполним следующую каноническую замену переменных = 11 + 12 , = 21 + 22 ,(2.10)нормализующую линейную часть отображения (2.7). В областях устойчивостив линейном приближении, т.е. когда || < 1, коэффициенты могут бытьвычислены по формулам [28]11 = −12 (2), 12 = 0, 21 = [11 (2) − cos (2)] , 22 = − sin (2) ,√︁ = |12 (2) sin (2)|−1 , = sign [12 (2) sin(2)] .(2.11)31В переменных , отображение принимает следующий вид⃦⃦2⃦⃦⃦ ⃦3343⃦0 −⃦+−+⃦ ⃦4⃦⃦⃦1 ⃦0 0 0 0 0⃦⃦ ⃦ = G⃦⃦⃦,⃦ ⃦2⃦⃦⃦ 1 ⃦3343⃦ 0 +⃦−++4 ⃦⃦2 000(2.12)0где3 (0 , 0 ) = 3 (11 0 + 12 0 , 21 0 + 22 0 ),4 (0 , 0 ) = 4 (11 0 + 12 0 , 21 0 + 22 0 ) + ∆,(︂)︂2)︂ (︂)︂(︂)︂2 ]︃(︂13333∆=12 22+ 11 21− 212 21,20000[︃а - валентность канонической замены переменных (2.10), вычисленная по фор­муле = (11 22 − 21 12 )−1 .Нормализованная линейная часть отображения (2.12) задается матрицей⃦⃦⃦⃦⃦ cos (2) sin (2) ⃦⃦,G=⃦⃦⃦⃦− sin (2) cos (2)⃦(2.13) = и представляет собой поворот на угол 2 .При = 1, характеристическое уравнение (2.5) имеет кратный корень = 1 (случай резонанса первого порядка).

Предположим, что по крайней мереодна из величин 12 (2) или 21 (2) не равна нулю, тогда в формулах (2.10)коэффициенты могут быть выбраны следующим образом:если 12 (2) ̸= 0, 21 (2) = 0, то11 =√︀|12 (2)|,12 = 0,21 = 0,22 =√︀|12 (2)|/12 (2);(2.14)если 12 (2) = 0, 21 (2) ̸= 0, то11 = 0,12 =√︀|21 (2)|/21 (2),21 =√︀|21 (2)|,22 = 0;(2.15)если 12 (2) 21 (2) ̸= 0, то11 = 12 (2),12 = 0,21 = 1 − 11 (2),22 = 1.(2.16)32В этом случае матрица линейной части отображения (2.12) имеет вид⃦⃦⃦⃦⃦1 1⃦⃦.G=⃦⃦⃦⃦0 1⃦(2.17)При = −1, характеристическое уравнение (2.5) имеет кратный корень 1 =2 = −1 (случай резонанса второго порядка). В этом случае коэффициенты в(2.10) могут быть вычислены по формулам (2.14) если 12 (2) ̸= 0, 21 (2) = 0и по формулам (2.15) если 12 (2) = 0, 21 (2) ̸= 0.

Если же 12 (2) 21 (2) ̸= 0,то коэффициенты следует выбрать такими:11 = 12 (2),12 = 0,21 = −1 − 11 (2),22 = 1.(2.18)После выполнения замены переменных (2.10) матрица нормализованной линей­ной части отображения (2.12) примет вид⃦⃦⃦⃦⃦−1 1 ⃦⃦,G=⃦⃦⃦⃦ 0 −1⃦(2.19)Введем следующие обозначения1 = 30 − 12 ,2 = 12 + 330 ,1 = 21 − 03 ,3 = 22 − 40 − 04 ,2 = 21 + 303 ,(2.20)3 = 13 − 31 ,κ =8 (340 + 22 + 304 ) + 6 (1 2 − 2 1 ) − 82 2 +(︀)︀(︀)︀9 cot (3) 21 + 21 + 3 cot () 22 + 22 ,κ1 =2 [43 + 91 1 − 2 2 + 3 cot () (1 2 − 1 2 )] ,(︀)︀ (︀)︀κ2 =83 − 9 21 − 21 + 22 − 22 + 6 cot () (1 2 + 2 1 ) ,21 =240 + 21,(2.21)22 = 40 − 1230 21 + 930,где ( + = ) – коэффициенты форм ( = 3, 4).В работах [27, 28] были получены следующие критерии устойчивости непо­движной точки отображения (2.12).33ˆЕсли в системе с гамильтонианом (2.3) отсутствуют резонансы дочетвертого порядка включительно, и если κ ̸= 0, то неподвижная точ­ка отображения (2.12) устойчива.ˆПусть в системе с гамильтонианом (2.3) присутствует резонанс пер­вого порядка (1 = 2 = 1), и хотя бы одна из величин 12(2) или 21(2)не равна нулю.

Если 30 ̸= 0, то неподвижная точка отображения (2.12)неустойчива. Если 30 = 0, то неподвижная точка отображения (2.12)устойчива при 1 < 0, и неустойчива при 1 > 0.ˆПусть в системе с гамильтонианом (2.3) присутствует резонанс вто­рого порядка (1 = 2 = −1), и хотя бы одна из величин 12(2) или21 (2) не равна нулю. Неподвижная точка отображения (2.12) устой­чива, если 2 > 0, и неустойчива, если 2 < 0.ˆПредположим, что в системе с гамильтонианом (2.3) имеет место ре­зонанс третьего порядка, т.е. 3 = 1 ( = 1, 2). Если хотя бы одна извеличин 1 или 1 не равна нулю, то неподвижная точка отображения(2.12)неустойчива. Если 1 = 1 = 0 и κ ̸= 0, то неподвижная точкаотображения (2.12) устойчива.ˆПусть в системе с гамильтонианом (2.3) возникает резонанс четвер­того порядка, т.е. 4 = 1 ( = 1, 2).

Если выполняется неравенство√︀κ12 + κ22 , то неподвижная точка отображения (2.12) устойчи­√︀ва; если |κ| < κ12 + κ22, то неподвижная точка неустойчива.|κ| >Если κ = 0, то первый критерий не дает ответа на вопрос об устойчивости.В этом особом случае необходим дополнительный анализ с учетом членов дочленов выше третьей степени в правых частях симплектического отображения(2.12).

Методика такого анализа изложена в параграфе 2.5 данной главы.342.4. Результаты нелинейного анализа устойчивостиИспользуя подход, описанный в разделе 2.3 было проведено строгое нели­нейное исследование резонансного вращения (1.10) с учетом плоских возмуще­ний в областях S ( = 1, . . . , 5). А именно, для значений эксцентриситета изуказанных областей были вычислены коэффициенты ( + = ; = 3, 4)отображения (2.12) и применены упомянутые выше критерии.Проведенные расчеты показали, что в областях S ( = 1, . . . , 5) за исклю­чением резонансных и особых точек * = 0.23340371 и ** = 0.907502979, вкоторых κ = 0, резонансное вращение (1.10) устойчиво по Ляпунову.Приведем результаты исследования в резонансных точках.