Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 3

решать задачу об устойчивости решений (1.10) и (1.12) системы (1.7).Для спутника с неравными моментами инерции устойчивость резонансноговращения (1.12) при наличии пространственных возмущений исследовалась в[58].Устойчивость резонансного вращения (1.10) с учетом как плоских, так ипространственных возмущений исследуется в главе 3 данной диссертационнойработы.Отдельный интерес представляет исследование устойчивости резонансных17вращений динамически симметричного спутника ( = ), когда в невозмущен­ном движении (резонансном вращении) ось динамической симметрии находитсяв плоскости орбиты центра масс.

В этом случае постановка задачи об устойчиво­сти резонансных вращений имеет некоторые отличия от общего случая несим­метричного спутника. Это связано с тем, что при динамической симметрииугол собственного вращения является циклической координатой, а соответ­ствующий импульс является первым интегралом уравнений движения (1.7).Очевидно, что при ̸= 0 резонансные вращения неустойчивы по отношению квозмущениям угла , но можно исследовать их устойчивость по отношению квозмущениям, удовлетворяющим условию = 0.Если положить = 0, то движение спутника описывается следующейсистемой канонических уравнений=,=,=−,=−(1.18)с гамильтонианом 21 21+− +2 sin2 (1 + cos )2 2 (1 + cos )23+ (1 + cos ) (Θ − 1) sin2 sin2 .2=(1.19)Частные решения этой системы, отвечающие резонансным вращениям, при вы­полнении условий (1.10) или (1.12) принимают соответственно вид1 (1 + cos )2 * 11* = − , =, = , * = 022Θ2(1.20)13 (1 + cos )2 * 1* = , =, = , * = 0.22Θ2(1.21)*или*Таким образом, задача об устойчивости резонансных вращений динами­чески симметричного спутника состоит в исследовании устойчивости решений18(1.20) и (1.21) системы (1.18).

В такой постановке эта задача ранее не рассмат­ривалась, ее решению посвящена глава 5 данной диссертационной работы.1.3. Гамильтониан возмущенного движенияВ силу равенства (1.9) в задаче об устойчивости резонансного вращения(1.10) имеется два независимых параметра. В качестве таких параметров выбе­рем эксцентриситет орбиты и новый инерционный параметр = 1/Θ = /.Введение параметра обусловлено тем, что, в отличие от параметров Θ и Θ ,он имеет ограниченную область значений, определяемую неравенством0<≤6,3 + 2(1.22)которое является простым следствием неравенства треугольника для моментовинерции , , .Аналогично, в задаче об устойчивости резонансного вращения (1.12) в ка­честве параметров задачи выберем и . В этом случае область их значенийтакже ограничена.

С учетом равенства (1.11) и неравенства треугольника длямоментов инерции , , она задается неравенствами0<≤2,1 + 20<≤1.2(1.23)Для описания движения в окрестности резонансных вращений (1.10) и (1.12)введем новые канонические переменные , ( = 1, 2, 3) по формулам1, = * + (1 + cos ) 1 + sin 1 ,1 + cos 2 = * +, = * + (1 + cos ) 2 + sin 2 ,1 + cos 3 = * +, = * + (1 + cos ) 3 + sin 3 .1 + cos = * +(1.24)Замена переменных (1.24) является канонической, с валентностью −1 , по­этому уравнения движения в переменных , , ( = 1, 2, 3) имеют гамильтоно­19ву форму=,=−,( = 1, 2, 3) .(1.25)Переменные 1 , 1 определяют плоские возмущения, а переменные2 , 2 , 3 , 3 – пространственные возмущения, т.е возмущения при которых глав­ная ось инерции отклоняется от нормали к плоскости орбиты.

Таким об­разом, в переменных , ( = 1, 2, 3) задача об устойчивости резонансноговращения сводится к задаче об устойчивости положения равновесия = = 0системы (1.25).Разложим функцию Гамильтона в ряд в окрестности = = 0 = 2 + 3 + . . . .(1.26)Квадратичная часть разложения (1.26) имеет следующую структуру2 = 21 (1 , 1 , ) + 22 (2 , 3 , 2 , 3 , ),(1.27)Выпишем необходимые в дальнейшем члены разложения гамильтониана(1.26) системы уравнений возмущенного движения в окрестности резонансноговращения (1.9). Квадратичные члены этого разложения имеют следующий вид211 2 1 cos 1 2= 1 −,22 1 + cos (1.28)20(︀(︀16(cos−1)(1+cos)+ (5 − 6) cos2 +28 (1 + cos )(︀ 2)︀)︀(︀)︀ )︀+ 4 + 8 − 6 cos − 4 2 + 4 + 7 − 4 2 cos2 − 1 2 2 2 +11(18 (cos + 1) (1 + cos ) −+ 2 2 +28 (1 + cos )2 (2 − 3)(︀(︀)︀)︀− 3 (11 + 6) cos2 + 6 2 2 + 6 + 3 cos − 12 2 + 12 + 15 +(︀)︀+ 7 2 (2 + 3) cos2 + 2 (8 + 3) cos − 8 3 − 12 2 + 10 − 3 2 +)︁3 2 sin ( − 1) 2 22 3+ 2 (1 + cos ) 3 2 − 3++4 − 61 + cos (︀)︀1 sin 2 + 3 − 3 2 3 11+ 3 2 −+ ( − 1) 3 2 +22 (1 + cos )2sin (2 + 3 − 3) 3 3−.(1 + cos ) (2 − 3)22 =(1.29)Члены третьей и четвертой степеней в разложении (1.26) имеют, соответ­ственно, следующий вид3 1 2 sin 2 3 1 ( − 1) 3 1 2 1 ( − 1) 3 2 1++++1 + cos 2 1 + cos 1 + cos (1 + cos )21 2 2 1( − 1) sin 2 1 3 1 ( − 1) sin ( + 3) 1 3 2++++2 1 + cos 2(1 + cos )2 (1 + cos )2 sin 3 1 21 sin ( + 3 − 3) 1 2 2 2 sin 1 3+−−−3 (1 + cos )2(1 + cos )2 2 (1 + cos )2(︀ 2 (︀ 2)︀)︀ cos − 1 2 + 3 cos ( − 1) (1 + cos ) 1 2 3−, (1 + cos )33 =(1.30)211 ( − 1) 3 2 2 2 1 ( − 1) 3 2 1 2 1 ( − 1) 2 3 3+−−2 (1 + cos )22 (1 + cos )23 (1 + cos )21 (( + 6) cos + + 6) 3 4 ( − 1) ( − 1) 2 3 2 3−++24 (1 + cos )3(1 + cos )21 ( − 1) 2 3 2 3 1 ( − 1) sin ( − 6) 2 3 3 13 2 2 2++++2 (1 + cos )262 (1 + cos )2 (1 + cos )3 sin 2 2 3 3 1 ( − 1) 2 2 3 212 2 1 2++−+2 (1 + cos )24 (1 + cos )2(1 + cos )3(︀ (︀)︀ 22 2 3 22−3+−6+6cos −8 (1 + cos )4(︀)︀)︀− 2 ( − 1) ( − 3 + 3) cos − 4 2 + 1 2 + 7 − 6 +(︀)︀5 3 2 31 sin 3 2 + 2 − 3 + 3 2 3 3+++12 (1 + cos )2 12 (1 + cos )31 (( + 1) (3 cos − 2) − 3 cos + 3) 2 4 ( − 1) sin 1 3 2 1+−+12 (1 + cos )3(1 + cos )3(︀ (︀)︀)︀1 ( − 1) 2 cos2 − 1 + 3 cos (1 + cos ) 1 2 3 2−+2 (1 + cos )4 sin 1 1 2 2( − 1) sin 1 2 2 3 1 cos 1 4+−3++3 (1 + cos )3(1 + cos )3 (1 + cos )3(︀)︀1 ( + 3 − 3) cos2 + (2 + 3 − 3) cos + 2 1 2 2 2+.2 (1 + cos )44 = −(1.31)Приведем также явный вид разложения гамильтониана (1.26) системыуравнений возмущенного движения в окрестности резонансного вращения(1.11) до членов четвертой степени включительно.В этом случае квадратичные члены разложения (1.26) имеют вид211 2 7 cos 1 2= 1 +,22 1 + cos (1.32)221 3 2 sin (2 − + 1) 3 31 22 +−+22 2 + 1(1 + cos ) (2 + 1)(︀ (︀31+ ( − 1) 3 2 − 6 − 18 2 3 +228 (1 + cos ) (2 + 1))︀(︀+ (2 − 17) 2 + (13 − 6) cos2 − 2 (2 + 1) 9 2 − (4 − 3) −(︀)︀− 3 − 3) cos + 6 − 18 3 + 8 3 − 4 2 + 6 − 9 2 +(︀)︀ )︀3sin ( − 1) 2 2++ 4 2 + 12 + 3 3 2 + 3 2 +21+cos(︀)︀(︀ (︀3 2 − + 1 sin 2 312++2 6 − 4 +2 (1 + cos )8 (1 + cos )(︀(︀)︀)︀+ (29 − 6) ) cos2 − 12 2 − 40 + 6 + 6 − 6 cos − 6+(︀)︀ )︀+ 4 2 2 − 4 2 + 12 − 15 2 2 ,22 =(1.33)а члены третей и четвертой степеней запишутся в виде( − 1) 3 1 2 3 ( − 1) 3 2 1 3 1 2 sin 2 3 1 3 =++++1 + cos 2 1 + cos 1 + cos (1 + cos )23 2 2 1( − 1) sin 2 1 3 3 ( − 1) sin ( − 1) 1 3 2+++−2 1 + cos 2(1 + cos )2 (1 + cos )2)︀)︀(︀ 2 (︀ 2 cos − 1 2 + 3 cos ( − 1) (1 + cos ) 1 2 3−− (1 + cos )33 ( − + 1) sin 1 2 2 sin 1 3 sin 3 1 2−−2,22 +2 (1 + cos )(1 + cos )(1 + cos )2(1.34)231 ( − 1) 3 2 2 2 1 ( − 1) 3 2 1 2( − 1) 2 3 3+−−2 (1 + cos )22 (1 + cos )2(1 + cos )21 ( − 1) ((3 + 2) cos + 3 + 2) 3 4 ( − 1) 2 3 2 3−++8 (1 + cos )3(1 + cos )23 ( − 1) 2 3 2 3 1 ( − 1) sin ( + 2) 2 3 3 13 2 2 2++++2 (1 + cos )222 (1 + cos )2 (1 + cos )3 sin 2 2 3 3 3 ( − 1) 2 2 3 21 2 2 1 2++++2 (1 + cos )24 (1 + cos )2(1 + cos )3(︀ (︀)︀ 2 2 2 3 22+5−9+6−6cos +8 (1 + cos )4)︀+ 6 ( − 1) (3 − + 1) cos + 4 2 2 + 9 2 − 15 + 6 +(︀)︀53 2 31 sin 3 2 + 2 + − 1 2 3 3+++4 (1 + cos )2 4 (1 + cos )31 (( + 1) (cos + 2) − cos + 1) 2 4 ( − 1) sin 1 3 2 1+++4 (1 + cos )3(1 + cos )3(︁)︁222 21 ( − 1) ( + 3) (cos ) + 3 cos − 1 3−+2 (1 + cos )4 sin 1 1 2 2( − 1) sin 1 2 2 3++3−(1 + cos )3 (1 + cos )3(︁)︁222 21 (7 − 3 + 3) (cos ) + (6 − 3 + 3) cos − 1 2−−2 (1 + cos )4 cos 1 4.−(1 + cos )34 = −(1.35)24Глава 2Исследование устойчивости резонансныхвращений с учетом плоских возмущенийВ данной главе решается задача об устойчивости по Ляпунову резонанс­ного вращения спутника, при котором он совершает один оборот в абсолютномпространстве за два оборота центра масс по орбите.

Исследование проводитсядля неисследованных ранее значений эксцентриситета. Основные результатыданной главы были опубликованы автором в [64].2.1. Гамильтониан задачиПусть выполнено соотношение (1.9). Будем рассматривать задачу об устой­чивости резонансного вращения спутника в ограниченной постановке, учитываятолько плоские возмущения, сохраняющие направление оси связанной си­стемы координат по нормали к плоскости орбиты центра масс. Таким образом,далее рассматривается задача об устойчивости решения (1.16) каноническойсистемы (1.14).Выполним следующую каноническую замену переменных с валентностью−1 по формулам = * +,1 + cos = * + (1 + cos ) + sin .(2.1)В новых переменных задача об устойчивости рассматриваемого резонанс­ного вращения свелась к задаче об устойчивости тривиального положения рав­новесия = = 0 гамильтоновой системы=,=−.(2.2)25Необходимое для дальнейшего анализа разложение функции Гамильтона вряд Тейлора в окрестности = = 0 имеет следующий вид cos 2 sin cos 1 234 −2 −+23 22(1 + cos )3 (1 + cos )3 (1 + cos )(︀ 7 )︀2 sin 2 cos 56+−+ .15 (1 + cos )445 (1 + cos )5=(2.3)Разложение (2.3), полученное с учетом соотношения (1.9), содержит толькоодин параметр – эксцентриситет орбиты .2.2.

Исследование устойчивости в линейном приближенииИсследование устойчивости резонансного вращения начнем с анализа ли­нейного приближения. С этой целью рассмотрим линеаризованную в окрестно­сти = = 0 каноническую систему= , cos =.(1 + cos )(2.4)Выводы об устойчивости линейной системы (2.4) получаются на основаниианализа корней ее характеристического уравнения2 − 2 + 1 = 0 ,(2.5)где = [11 (2) + 22 (2)]/2. Функции 11 (), 22 () являются элементами мат­рицы фундаментальных решений X() системы (2.4), удовлетворяющей началь­ным условиям X(0) = E2 , где E2 – единичная матрица второго порядка.Если коэффициент || > 1, то характеристическое уравнение (2.5) имееткорень с модулем большим единицы, а соответствующий ему характеристиче­ский показатель – положительную вещественную часть.

В этом случае на осно­вании теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [23] име­ет место неустойчивость не только рассматриваемой линейной, но и исходной26AeРис. 1. Зависимость коэффициентаот эксцентриситета на интервале [0; 0.99]нелинейной системы уравнений возмущенного движения (1.14), что означаетнеустойчивость по Ляпунову рассматриваемого резонансного движения.Если же || < 1, то все корни характеристического уравнения (2.5) имеютмодули равные единице, а соответствующие им характеристические показателиявляются чисто мнимыми.

В этом случае линейная система с гамильтонианом(2.4) устойчива [23]. Последнее, однако, еще не означает, что по отношению кплоским возмущениям резонансное вращение устойчиво по Ляпунову. Для по­лучения строгих выводов об устойчивости необходимо проведение нелинейногоанализа с учетом членов третьей, четвертой, а иногда и более высокой степенив разложении гамильтониана (2.3).При || = 1 характеристическое уравнение имеет кратный корень, равный+1 или −1, а линейная система может быть как устойчива, так и неустойчива.В этом случае для строгого решения задачи об устойчивости также необходимнелинейный анализ.В общем случае, для нахождения значения коэффициента необходимо27AeРис. 2.