Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 10

Тогда производящую функцию отображения (4.48) можно представитьв виде Ψ(︁(0) , )︁=Φ(︁(0) , , 2(0)Выражение(︁(0)Ψ , )︁для(︁Ψ)︁(0)= Ψ2 , (︁. А само отображение (4.48) будет иметь видΨ=,(0)(0) , + Ψ3)︁(︁ =)︁будем)︁(0) , + ...Ψ(4.56)искатьввидерядаИз (4.48) и (4.56) следует, чтоΨ2 Ψ33(0)++ . . . = 1 + (0) + 3111(4.57)Ψ2 Ψ31 (0) 1 3++ . . . = 2 ++ 3 .22 (0)2Приравнивая линейные члены, имеемиΨ22(0)Ψ21(0)(0)= 1 , откуда Ψ2 = 1 1 + . . .(0)= 1 2 , откуда Ψ2 = 1 2 2 + .

. .Тогда(0)Ψ2 = 1 1 +1(0)(0) 2(0) (0)(0) 22 2 + 20 1 + 11 1 2 + 02 2 .где 20 , 11 , 02 – пока неопределенные постоянные величины. Подставим Ψ2 впервое уравнение (4.56). Получим75(0)(0)(0)1 = 1 + 2 20 1 + 11 2 + 21(0)(0)(0)2 = 2 + 2 02 2 + 11 1 + 2 .Подставим полученные выражения в (4.48). Для 1 получим(0)(0)(0)1 = 1 + 2 20 1 + 11 2 + 1 1 + 2 ;(0)(0)(2 20 + 1 ) 1 + 11 2 = 0;120 = − ,211 = 0.Для 2 получим(︂)︂1(0)2 = 2 + 2 02 + 11 1+ 2 ;02 = 0,11 = 0.Итак,)︁(︁11 (0) 2(0)(0)(0)= 1 1 + 2 2 − 1 .Ψ2 , 2(4.58)Получим аналогичное выражение для Ψ3 .

Подставим (4.58) в (4.57), а так­же, учитывая явный вид 3 (4.51), получимΨ3(0) 2(0) (0)+ . . . = 33000 1 + 1101 2 2 + 31(4.59)Ψ3(0) (0)+ . . . = 1101 1 2 + 3 .2(0)Подставляя из (4.48) выражения для 1(0)и 2в (4.59), приравнивая квадра­тичные члены, получаем(︁)︁21Ψ3(0)(0)= 33000 1 − 1 1+ 1101 2 21(︁)︁1 Ψ3(0)(0)= 1101 1 − 1 1 2 .

276Окончательно имеемΨ3 = 3000(︁(0) 23 1 1−(0)3 1 1 1213+(︁)︁1(0) (0)(0)1101 2 1 2 1 − 1 2 2 +(0) 330 1(0) 2 (0)(0) 3+ 21 1 2 + 03 2)︁−(4.60)(0) (0) 2+ 12 1 2 .Подставим (4.60) в (4.56) и приравняем коэффициенты при одинаковых степе­(0)нях (0)и . Получим следующие соотношения:(0) (0)1 1 : 63000 − 63000 = 0(0) 21(0) 21: 30 = −3000 1:(0) (0)2 2 :− 3 1 3000 + 3 1 3000 = 0− 1 1101 + 1 1101 = 0(0) (0)1 2 : 21 = 0(0) 22: 12 = 0.(0)Теперь подставляя из (4.48) выражения для 1(0)коэффициенты при одинаковых степенях (0) (0)2 2 :(0) 21(0)и 2в (4.59) и приравнивая(0)и , получим− 1101 1 + 1101 1 = 0: 21 = 0(0) (0)1 2 : 1101 − 1101 = 0(0) (0)1 2 : 12 = 0(0) 22: 03 = 0.Таким образом(︁)︁(0) 22 (0)3Ψ3 = 3000 3 1 1 − 3 1 1 1 + 1 −(︁)︁1(0) (0)(0)(0) 31101 2 1 2 1 − 1 2 2 − 3000 1 1 .77Теперь из уравнения Гамильтона-Якоби (4.55) найдем производящую функциюΦ(︁(0) , , )︁и ( , , ).Φ ( , , ) =(︁(︁(0)1010 1 1+(0)0101 2 2(0) 3+(0) 20020 1(0))︁+(0)+ 2010 12 1 + 1101 1 2 2 +)︁(0) 2(0) (0)(0) 31020 1 1 + 0111 2 1 2 + 0030 1+ ...3000 1(4.61)Здесь 1010 (0) = 0101 (0) = 1, а для всех остальных 1 ,2 ,3 ,4 (0) = 0, включая0020 (0), а 1 ,2 ,3 ,4 (2) = Ψ1 ,2 ,3 ,4 .Подставляя (4.61) в (4.55) получим1010 (0) 0101 (0) 0020 (0) 21 1 +2 2 ++ ...

1ΦΦ, ) + 3 ( ,, ) = 0.+ 2 ( ,(4.62)ВычислимΦ(0)(0)(0)(0) 2= 1010 1 + 3 3000 12 + 2 2010 1 1 + 1101 2 2 + 1020 1 ,1Φ(0)(0)(0) (0)= 0101 2 + 1101 1 2 + 0111 1 2 .2Теперь приравняем коэффициенты в (4.62). Для 2 получим:⎧1010⎪⎪+ ℎ1010 1010 = 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨0101+ ℎ0101 0101 = 0⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ 0020 + ℎ0020 2 = 01010Решив данную систему с начальными условиями, представленными выше, по­78лучим:1 1,ℎ0101 () = ,ℎ1010 () = 0,410020 () = − , 0101 () = − , 1010 () = 1.4ℎ0020 () =Для 3 получим:300011010030102020100111+ ℎ3000 = 0+ 1101 + ℎ1101 − = 011020 + ℎ0030 = 021+ 2010 + ℎ1020 = 03 1+3000 + ℎ2010 = 021+ 1101 + 0111 + ℎ0111 = 02+Решив эту систему, найдем значения ℎ1 ,2 ,3 ,4 и 1 ,2 ,3 ,4 . Запишим выраже­ние для искомого гамильтониана:1 2111 + 2 2 + 1101 1 1 2 − 3000 1 12 −44413 11− 1101 1 2 2 +3000 12 1 − 3000 13 + 4 ,242=(4.63)где 4 - совокупность членов четвертого порядка и выше.

Получившийсягамильтониан можно упростить, если провести каноническую унивалентную,близкую к тождественной замену , → , , ( = 1, 2) с помощью произво­дящей функции = 1 1 + 1 2 −1111101 1 2 2 +3000 1 2 1 − 3000 1 3 .2412(4.64)После замены функция Гамильтона имеет следующий вид:=1111 1 2 + 2 2 −1101 1 2 2 −3000 1 3 + 4422(4.65)79Задача об устойчивости положения равновесия системы с гамильтонианом(4.65) была подробно исследована в работе [21], где было показано, что если3000 ̸= 0, то резонансное вращение неустойчиво. Если 3000 = 0, то вопрос обустойчивости решается рассмотрением членов более высокого порядка в разло­жении гамильтониана.Предположим, в рассматриваемой задаче 3000 = 0, тогда с целью полу­чения нормальной формы функции Гамильтона до членов четвертого порядкавключительно, проведем нормализацию отображения (4.42) в членах третьейстепени.

Подставляя (4.47) в (4.42) и учитывая, что коэффициенты 3 ужеопределены по формулам (4.50), имеем⎧(︁)︁ 44(1)(0)(0)(0) (0)⎪⎪1 = 1 + 1 1 + 1101 2 2 − (0) + 1 (0) + 4 ,⎪⎪⎪)︃11⎪(︃⎪⎪⎪4⎪(1)(0)(0) (0)⎪+ 4 ,=−−⎪11012212⎨(0)24(1)(0)(0) (0)⎪⎪=+++ 4 ,⎪11011122(0)⎪⎪⎪1)︃(︃⎪⎪⎪⎪14(1)(0)(0) (0)⎪⎪⎩ 2 = 2 + 1101 2 1 + (0) + 4 ,(4.66)2где4 = 4(︁(0) (0) (0) (0)1 , 2 , 1 , 2)︁+ 4(︃(︁(0) (0) (0) (0)1 , 2 , 1 , 2(0))︁−)︃2+− 4+(︁)︁(︁)︁(0) (0) (0) (0)(0) (0) (0) (0)3 1 , 2 , 1 , 2 3 1 , 2 , 1 , 2++(0)(0)11(︁)︁(︁)︁(0) (0) (0) (0)(0) (0) (0) (0)3 1 , 2 , 1 , 2 3 1 , 2 , 1 , 2+−(0)(0)22⎛(︁)︁ ⎞2(0)(0)(0) (0) 2(0)1 ⎜ 3 1 1 + 1 , 2 , 1 , ⎟− 1 ⎝⎠(0)2(0)1 1(0)(0) (0)1 , 2 , 1 ,1(4.67)80Как и ранее, коэффициенты функции 4 подбираются таким образом, чтобы4 имела самый простой вид, а именно:(0) 2 (0) 2 4 = 2 2(0) (0) 2 (0)2 21010202 + 2 1(0) 4+ 14000(4.68)Поскольку формулы для коэффициентов 0202 , 2101 и 4000 довольно громозд­ки, то они приводятся в приложении.По нормализованному до членов третьей степени отображению можно по­лучить нормальную форму гамильтониана до членов четвертой степени вклю­чительно.

Соответствующий отображению (4.66) гамильтониан имеет вид111 1 2 + 2 2 + 1101 1 1 2 −44111− 1101 1 2 2 +4000 1 4 −2100 2 1 2 2 −26012111−0202 2 2 2 2 +1 2100 1 2 1 2 −4000 1 2 1 2 −222111−2100 1 2 2 2 + 1 4000 1 3 1 −4000 1 4 .22=(4.69)При помощи канонической унивалентной, близкой к тождественной заме­ны переменных , → , , ( = 1, 2), которая задается производящей функ­цией 1114000 1 1 3 +2101 1 2 1 2 − 2101 1 2 2 2 +30161211+4000 1 3 1 − 4000 1 4312гамильтониан приводится к виду=−1111 1 2 + 2 2 −1101 1 2 2 −0202 2 2 2 2 −422112101 1 2 2 2 −4000 1 4−22=(4.70)(4.71)В работе [21] было показано, что если 1 4000 < 0 имеет место устойчивостьв третьем приближении, если 1 4000 > 0, то резонансное вращение неустойчи­во.

Если 4000 = 0, то вопрос об устойчивости решается рассмотрением членовболее высокого порядка в разложении гамильтониана.81Случай резонанса второго порядка можно не рассматривать отдельно, таккак если с самого начала считать функцию Гамильтона 4 -периодической, торезонансным точкам второго порядка будут соответствовать кратные мульти­пликаторы, равные единице [21], то есть в этом случае в 4 -периодической повремени системе реализуется резонанс первого порядка. Дальнейшее исследова­ние устойчивости полностью совпадает с предыдущим, что делает ненужнымдополнительное исследование.82Глава 5Анализ устойчивости резонансных вращений вслучае динамически симметричного спутникаВ данной главе проводится строгий нелинейный анализ устойчивости ре­зонансных вращений динамически симметричного спутника.

Основные резуль­таты данной главы были опубликованы в работах [63, 5].5.1. Гамильтониан возмущенного движенияРассмотрим динамически симметричный спутник, т.е. такой спутник, дваглавных центральных момента инерции которого равны между собой ( = ).В этом случае, как было отмечено в разделе 1.2 координата становится цик­лической, а соответствующий ей обобщенный индекс считаем равным нулю.Гамильтониан возмущенного движения в случае динамически симметрич­ного спутника для каждого из исследуемых резонансных вращений получает­ся из соответствующего гамильтониана для спутника с неравными моментамиинерции (1.26), если положить параметр равным единице, а переменные 3 и3 равными нулю. Таким образом, мы переходим к системе с двумя степенямисвободы.Уравнения возмущенного движения имеют каноническую форму=,=−,( = 1, 2) .(5.1)Для резонансного вращения (1.10) необходимые в дальнейшем члены разложе­ния функции Гамильтона в ряд в окрестности = = 0, ( = 1, 2) имеют83вид1 2 1 2 1 cos 1 21 ( cos + 4 + 1) 2 22 = 1 + 2 −+222 1 + cos 81 + cos 221 1 21 sin 1 22 sin 1 33 =−−2 1 + cos 2 (1 + cos )2 3 (1 + cos )21 (3 cos − 2 + 1) 2 4 sin 1 2 2 112 2 1 2+++4 =2 (1 + cos )2 12(1 + cos )3(1 + cos )3(︀)︀1 cos2 + 2 cos + 1 2 2 2 1 cos 1 4++.23 (1 + cos )3(1 + cos )4(5.2)Для резонансного вращения (1.12) данные члены разложения принимаютвид1 (25 cos − 12 + 9) 2 2 1 2 1 27 cos 1 2++ 1 + 22 =2 1 + cos 81 + cos 222233 sin 1 23 2 1 sin 1−+3 = −2(1 + cos )2 2 (1 + cos )2 2 1 + cos cos 1 412 2 1 21 ( cos + 2 + 3) 2 44 = −++−(1 + cos )3 2 (1 + cos )2 4(1 + cos )3(︁)︁22 2 sin () 2 2 1 11 7 (cos ) + 6 cos − 1 2+.−2(1 + cos )4(1 + cos )3(5.3)5.2.

Анализ устойчивости в линейном приближенииРассмотрим линеаризованную в окрестности положения равновесия = = 0 ( = 1, 2) систему с гамильтонианом 22=,2=−( = 1, 2)(5.4)Вопрос об устойчивости системы (5.4) решается на основе анализа корнейее характеристического уравнения. В случае резонансного вращения (1.10) ли­нейная система (5.4) распадается на две следующие независимые подсистемы⎧p1q1⎪⎪⎨=(1 + cos )2⎪⎪⎩ p1 = 2 q1 (1 + cos ) cos (5.5)84⎧q2p2⎪⎪⎨=(1 + cos )2(5.6)⎪1p2⎪⎩= q2 (1 + cos ) (3 cos − 4 − 1)4первая из которых описывает изменение переменных 1 , 1 , а вторая – перемен­ных 2 , 2 .Обозначим через X1 () и X2 () фундаментальные матрицы решений си­стем (5.8) и (5.9) соответственно, с начальными условиями X (0) = E2 ( = 1, 2),где E2 – единичная матрица второго порядка. Тогда характеристическое урав­нение системы (5.4) будет иметь вид:(2 − 21 + 1)(2 − 22 + 1) = 0,()()()( = 11 + 22 , = 1, 2)(5.7)()где 11 , 22 – диагональные элементы матриц X (2).Если |1 | > 1 или |2 | > 1, то у характеристического уравнения (5.7) естькорень, превышаюший по модулю единицу.