Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 9

в системе имеет место резонанс второго порядка, для решениявопроса об устойчивости исходной нелинейной системы необходим нелинейныйанализ.66Данные резонансные случаи относят к резонансу основного типа [21].Пусть имеет место резонанс первого порядка. Рассмотрим симплектиче­ское отображение (4.3), генерируемое фазовым потоком линейной системы 2 .Покажем, как в этом случае можно построить линейную каноническую заменупеременных (4.4), приводящую отображение (4.3) к наиболее простому виду.Матрицу N этой линейной замены будем искать в виде N = A C.Матрица A определяет промежуточное линейное преобразование канони­ческих переменных , → , ⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦ ⃦ = A ⃦ 2⃦ ,⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦2 ⃦⃦2 ⃦(4.24)приводящее отображение (4.3) к виду⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦ = F⃦ 2 ⃦ ,⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦2 ⃦⃦2 ⃦где⃦⃦⃦⃦⃦⃦F=⃦⃦⃦⃦⃦⃦1 0 10 00 0 10 0 0⃦⃦0⃦⃦⃦0⃦⃦.⃦0⃦⃦⃦¯ ⃦(4.25)(4.26)Здесь и ¯ – корни уравнения (4.22), при этом = 2 = sin 2 + cos 2 ,а величина находится из соотношения cos 2 = .Отображение (4.25) имеет комплексную форму.

Замена переменных67 , → , ⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦ = C ⃦ 2⃦ ,⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦2 ⃦где⃦⃦⃦⃦⃦⃦C=⃦⃦⃦⃦⃦⃦101012 20001012 20(4.27)⃦⃦0 ⃦⃦ ⃦−2 ⃦⃦⃦0 ⃦⃦ ⃦⃦2(4.28)позволяет получить нормализованное отображение в следующей вещественнойформегде⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦⃦⃦ = G⃦ 2 ⃦ ,⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦ 1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦ 2 ⃦⃦ 2 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦G=⃦⃦⃦⃦⃦⃦1000⃦⃦⃦010⃦⃦cos 2 0 sin 2 ⃦⃦,⃦⃦010⃦⃦− sin 2 0 cos 2 ⃦(4.29) = 2 (4.30)Величины 1 ± 1 и 2 ± 1 определяются в процессе линейной нормализации изусловия симплектичности матрицы N.Из курса линейной алгебры известно, что матрицу A линейной замены(4.24) можно построить в виде(︁(0)(1))︁A = e , e, e , ē ,где e(0) и e(1) – собственный и присоединенный векторы, отвечающие корню = 1 уравнения (4.22), а e и ē комплексно сопряженные собственные век­68торы, отвечающие корням и ¯ соответственно.

Эти векторы определяютсянеоднозначно. Покажем как их нужно выбрать, чтобы удовлетворить условиюсимплектичности матрицы N, то есть условию(4.31)N I N = I.С этой целью положимe(0) = 1 u,e(1) = 1 v,e = 2 (r + s),ē = 2 (r − s)(4.32)Величины 1 и 2 – неопределенные пока действительные числа (1 ̸= 0, 2 ̸= 0).Учитывая введенные обозначения и перемножая матрицы A и C имеемследующее выражение для матрицы N(4.33)N = (1 1 u, 2 2 r, 1 v, 2 s)Вычислим теперь матрицу⎛⎞1 1 2 u Is1 2 1 2 u Ir⎟⎜⎟⎜222⎜⎟rIsrIurIrrIv121221222 22⎟N IN = ⎜⎜⎟22⎜ 1 1 v Iu2 1 2 v Ir1 v Iv1 2 v Is ⎟⎝⎠2 2 1 1 2 s Iu2 2 s Ir1 2 s Iv2 s Is12 21 u Iu1 21 u Iv(4.34)Заметим, что для любых векторов a и b выполняется равенство a Ib =−b Ia.

В силу этого равенства матрица (4.34) является кососимметрической иможет быть записана в виде⎛⎞1 1 2 u Is01 2 1 2 u Ir⎜⎟⎜⎟2⎜⎟−uIr0rIvrIs121221222⎟.N IN = ⎜⎜⎟2⎜ −1 1 u Iv −2 1 2 r Iv01 2 v Is ⎟⎝⎠2 −1 1 2 u Is−2 2 r Is −1 2 v Is01 21 u Iv(4.35)Вид матрицы (4.35) можно уточнить. Действительно, учитывая тождества(X(2)) IX(2) = I и I = −I нетрудно показать, что имеет место равенство1e(0) Ie = e(0) Ie69которое можно переписать в виде(︂)︂11−e(0) Ie = 0.Поскольку мы предполагаем, что ̸= 1, то последнее равенство возможно лишьпри условии e(0) Ie = 0. Аналогично, можно показать, что e(0) Iē = 0.Кроме того, учитывая тождества e(0) = X(2)e(1) − E4 e(1) и I = −I , атакже, принимая во внимание только что доказанное равенство e(0) Ie = 0,можно показать, что выполняется соотношение1e Ie(1) = e I(1)илиe Ie(1)(︂1−1)︂= 0.Поскольку, по предположению ̸= 1, то последнее равенство возможно лишьпри условии e Ie(1) = 0.

Аналогично, можно показать, что e(1) Iē = 0.Подставляя выражения (4.32) в тождество e(0) Ie = 0 имеем[︀]︀1 2 u Ir + u Is = 0,откуда получим u Ir = 0 и u Is = 0.Аналогично, подставляя выражения (4.32) в тождество e Ie(1) = 0 имеем[︀]︀1 2 r Iv + s Iv = 0,откуда приходим к равенствам r Iv = 0 и s Iv = 0. Последнее равенствоэквивалентно v Is = 0. В итоге, матрицу (4.35) можно переписать в виде⎛00⎜⎜⎜00N IN = ⎜⎜⎜−1 21 u Iv0⎝0−2 22 r Is1 21 u Iv0000⎞⎟⎟2 22 r Is⎟⎟00⎟⎟⎠(4.36)70Условию симплектичности матрицы можно удовлетворить выбрав вели­чины 1 , 2 , 1 , 2 так, чтобы выполнялись равенства1 21 u Iv = 1,2 22 r Is = 1,то есть следует положить(︀)︀(︀)︀1 = sign u Iv , 2 = sign r Is ,11,2 = √︀.1 = √︀|u Iv||r Is|(4.37)(4.38)Итак, матрица N однозначно определяется по формулам (4.33) и (4.37).Линейная замена переменных (4.4) с построенной таким образом матрицейN приводит линейное отображение (4.3) к нормальной форме (4.29) с матрицейG вида (4.30).

По нормальной форме линейного отображения можно построитьнормализованную квадратичную часть функции Гамильтона (4.2), которая врассматриваемом случае резонанса первого порядка будет иметь видΓ2 =1 2 21 + (1 + 12 )42(4.39)Покажем теперь как в случае резонанса первого порядка, используя нели­нейное симплектическое отображение, генерируемое фазовым потоком исход­ной канонической системы, получить нормальную форму гамильтониана (4.2)до членов четвертой степени включительно.Сначала в системе с исходным гамильтонианом (4.2) выполним линейнуюканоническую замену переменных с построенной выше матрицей N. Новый га­мильтониан * получается путем подстановки формул линейной замены пере­менных в старую функцию Гамильтона (4.2).

* = (11 1 + 12 2 + 13 1 + 14 2 , 21 1 + 22 2 + 23 1 + 24 2 ,31 1 + 32 2 + 33 1 + 34 2 , 41 1 + 42 2 + 43 1 + 44 2 , ),(4.40)71Здесь – элементы матрицы (4.33). Cимплектическое отображение, генериру­емое канонической системой с гамильтонианом (4.40), будет иметь вид (4.9), вкотором матрица G определяется выражением (4.30).Выполним теперь линейную унивалентную замену переменных по форму­лам1 = 1 , 2 =+1−1(2 + 2 ) , 1 = 1 , 2 =(2 − 2 )22(4.41)В новых переменных , ,( = 1, 2) отображение принимает вид:(1)1=(0)1−3(0)1(︃+ 1(1)2 =(1)1 =(0)2 =(0)1 ++2∑︁ 2 3(0)=133(0)(0)−1 3 3(0)+12−42 3+3+4)︃(0)(0)(0)(0)(0)(0) 22 1 211 1)︃(︃22∑︁3334(0) 2 − (0) +− (0) + 4(0)(0)(0)22=1 2 3 2 3 3 2 3 34(0)1 + (0) −+++ 4(0)(0)(0)(0)(0) 2 (0)1112121(︃1 2 3 3 2 3 343(0)+++2 + (0) −(0)(0)(0)(0) 2 (0)2x0 2 1 1222(0)1+ 4(4.42))︃4где3 = 3* ,4 = 4* +14(︃3*(0)2)︃2−14(︃3*(0)2)︃2+1 3* 3*.2 (0) (0)22(4.43)Здесь * – это формы , в которых , выражены через , по формулам(4.41).Будем искать близкую к тождественной нелинейную каноническую заменупеременных , → , , приводящую симплектическое отображение (4.42) кнаиболее простому виду.

Эту замену переменных зададим при помощи произ­водящей функции (1 , 2 , 1 , 2 ) по формулам =, =(4.44)72где(4.45)(1 , 2 , 1 , 2 ) = 1 1 + 2 2 + 3 + 4 + . . . ,∑︁ =1 2 1 2 11 22 11 22 .(4.46)1 +2 +1 +2 =Из (4.44) можно получить явные формулы преобразования23 ∑︁ 2 3 3 4+−+ 4 , = −=1(4.47)23 ∑︁ 2 3 3 4 = +−++ 4 .=1Подставляя (4.47) в отображение (4.42), получим⎧33(1)(0)(0)⎪⎪1 = 1 + 1 1 − (0) + 1 (0) + 3 ,⎪⎪⎪1 )︃ 1⎪(︃⎪⎪⎪3⎪(1)(0)⎪+ 3 ,=−⎪2⎨ 2(0)23(1)(0)⎪⎪=++ 3 ,⎪11(0)⎪⎪⎪1)︃(︃⎪⎪⎪⎪31(1)(0)⎪⎪⎩ 2 = 2 + (0) + 3 ,(4.48)2где3 = 3(︁(0) (0) (0) (0)1 , 2 , 1 , 2(︃− 3)︁+ 3(︁(0) (0) (0) (0)1 , 2 , 1 , 2(0)(0)(0)(0) (0) 1 1 + 1 , 2 , 1 , 2)︃)︁−(4.49)Неопределенные пока еще коэффициенты 1 2 1 2 формы 3 будем подби­рать таким образом, чтобы максимальное число коэффициентов формы 3 ,определяемой равенством (4.49), обращались в ноль. Вычисления показывают,73что если положить00030021010202011002102011102010(︀(︀)︀)︀2 0012 2 − 1 1 − 10020003 3=− 3, 0012 = −, −1(2 − 1)2(︁)︁2 ( + 1) 2001 + 1 ( − 1) 1011 + ( − 1) 0021=−,( − 1)30102 ( + 1) 2100 − 1 ( − 1) 1110 + ( − 1)2 0120=−, 0120 =,−1( − 1)3(︀)︀1 2 1200 − 2 − 1 021003000201, 0210 = −, 0300 = 3,=2−1 −1(2 − 1)1002 2 (2 1 2001 + 1011 ( − 1))=− 2, 1011 = −, −1( − 1)21 3 1 1020 − 6 0030 − 20100111=−, 1101 =,61112002001 2 1 2100 − 1110 ( − 1), 1200 = 2, 2001 = −,=−2 −1−1( − 1)1 1 2,0,1,0 − 102021001 2010=−, 2100 =, 3000 =21−13 1(4.50)то форма 3 будет иметь следующий наиболее простой вид.3 =(0) (0) (0)1101 2 1 2)︁3(4.51)3000 = 3000 .(4.52)+ 3000(︁(0)1где1101 = 1002 + 1200 ,Таким образом, мы получили отображение, нормализованное до членоввторого порядка включительно.Теперь по полученному нормализованному отображнию для решения во­проса об устойчивости необходимо восстановить нормальную форму гамильто­ниана.Пусть (, , ) – искомый гамильтониан, а = (︁(0) (0) , , )︁, = (︁(0) (0) , , )︁(4.53)74решение системы с гамильтонианом (, , ), отвечающее начальным услови­(0)(0)ям (0) = , (0) = .

Решение (4.53) задает каноническое преобразование,которое можно представить через его производящую функцию Φ(0)Φ=,(0) =(︁(0) , , Φ,)︁(4.54)Функция Φ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби(︂)︂Φ ΦΦ+ 1 , 2 ,+, = 0.1 2(4.55)Если в формулах (4.53) положить = 2 , то они будут задавать отображение(4.48).