Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 9

PDF-файл Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 9 Физико-математические науки (23260): Диссертация - Аспирантура и докторантураДиссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите) - PDF, страница 9 (23260) - СтудИзба2019-03-12СтудИзба

Описание файла

Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите". PDF-файл из архива "Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 9 страницы из PDF

в системе имеет место резонанс второго порядка, для решениявопроса об устойчивости исходной нелинейной системы необходим нелинейныйанализ.66Данные резонансные случаи относят к резонансу основного типа [21].Пусть имеет место резонанс первого порядка. Рассмотрим симплектиче­ское отображение (4.3), генерируемое фазовым потоком линейной системы 2 .Покажем, как в этом случае можно построить линейную каноническую заменупеременных (4.4), приводящую отображение (4.3) к наиболее простому виду.Матрицу N этой линейной замены будем искать в виде N = A C.Матрица A определяет промежуточное линейное преобразование канони­ческих переменных , → , ⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦ ⃦ = A ⃦ 2⃦ ,⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦2 ⃦⃦2 ⃦(4.24)приводящее отображение (4.3) к виду⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦ = F⃦ 2 ⃦ ,⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦2 ⃦⃦2 ⃦где⃦⃦⃦⃦⃦⃦F=⃦⃦⃦⃦⃦⃦1 0 10 00 0 10 0 0⃦⃦0⃦⃦⃦0⃦⃦.⃦0⃦⃦⃦¯ ⃦(4.25)(4.26)Здесь и ¯ – корни уравнения (4.22), при этом = 2 = sin 2 + cos 2 ,а величина находится из соотношения cos 2 = .Отображение (4.25) имеет комплексную форму.

Замена переменных67 , → , ⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦ = C ⃦ 2⃦ ,⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦2 ⃦где⃦⃦⃦⃦⃦⃦C=⃦⃦⃦⃦⃦⃦101012 20001012 20(4.27)⃦⃦0 ⃦⃦ ⃦−2 ⃦⃦⃦0 ⃦⃦ ⃦⃦2(4.28)позволяет получить нормализованное отображение в следующей вещественнойформегде⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦⃦⃦ = G⃦ 2 ⃦ ,⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦ 1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦ 2 ⃦⃦ 2 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦G=⃦⃦⃦⃦⃦⃦1000⃦⃦⃦010⃦⃦cos 2 0 sin 2 ⃦⃦,⃦⃦010⃦⃦− sin 2 0 cos 2 ⃦(4.29) = 2 (4.30)Величины 1 ± 1 и 2 ± 1 определяются в процессе линейной нормализации изусловия симплектичности матрицы N.Из курса линейной алгебры известно, что матрицу A линейной замены(4.24) можно построить в виде(︁(0)(1))︁A = e , e, e , ē ,где e(0) и e(1) – собственный и присоединенный векторы, отвечающие корню = 1 уравнения (4.22), а e и ē комплексно сопряженные собственные век­68торы, отвечающие корням и ¯ соответственно.

Эти векторы определяютсянеоднозначно. Покажем как их нужно выбрать, чтобы удовлетворить условиюсимплектичности матрицы N, то есть условию(4.31)N I N = I.С этой целью положимe(0) = 1 u,e(1) = 1 v,e = 2 (r + s),ē = 2 (r − s)(4.32)Величины 1 и 2 – неопределенные пока действительные числа (1 ̸= 0, 2 ̸= 0).Учитывая введенные обозначения и перемножая матрицы A и C имеемследующее выражение для матрицы N(4.33)N = (1 1 u, 2 2 r, 1 v, 2 s)Вычислим теперь матрицу⎛⎞1 1 2 u Is1 2 1 2 u Ir⎟⎜⎟⎜222⎜⎟rIsrIurIrrIv121221222 22⎟N IN = ⎜⎜⎟22⎜ 1 1 v Iu2 1 2 v Ir1 v Iv1 2 v Is ⎟⎝⎠2 2 1 1 2 s Iu2 2 s Ir1 2 s Iv2 s Is12 21 u Iu1 21 u Iv(4.34)Заметим, что для любых векторов a и b выполняется равенство a Ib =−b Ia.

В силу этого равенства матрица (4.34) является кососимметрической иможет быть записана в виде⎛⎞1 1 2 u Is01 2 1 2 u Ir⎜⎟⎜⎟2⎜⎟−uIr0rIvrIs121221222⎟.N IN = ⎜⎜⎟2⎜ −1 1 u Iv −2 1 2 r Iv01 2 v Is ⎟⎝⎠2 −1 1 2 u Is−2 2 r Is −1 2 v Is01 21 u Iv(4.35)Вид матрицы (4.35) можно уточнить. Действительно, учитывая тождества(X(2)) IX(2) = I и I = −I нетрудно показать, что имеет место равенство1e(0) Ie = e(0) Ie69которое можно переписать в виде(︂)︂11−e(0) Ie = 0.Поскольку мы предполагаем, что ̸= 1, то последнее равенство возможно лишьпри условии e(0) Ie = 0. Аналогично, можно показать, что e(0) Iē = 0.Кроме того, учитывая тождества e(0) = X(2)e(1) − E4 e(1) и I = −I , атакже, принимая во внимание только что доказанное равенство e(0) Ie = 0,можно показать, что выполняется соотношение1e Ie(1) = e I(1)илиe Ie(1)(︂1−1)︂= 0.Поскольку, по предположению ̸= 1, то последнее равенство возможно лишьпри условии e Ie(1) = 0.

Аналогично, можно показать, что e(1) Iē = 0.Подставляя выражения (4.32) в тождество e(0) Ie = 0 имеем[︀]︀1 2 u Ir + u Is = 0,откуда получим u Ir = 0 и u Is = 0.Аналогично, подставляя выражения (4.32) в тождество e Ie(1) = 0 имеем[︀]︀1 2 r Iv + s Iv = 0,откуда приходим к равенствам r Iv = 0 и s Iv = 0. Последнее равенствоэквивалентно v Is = 0. В итоге, матрицу (4.35) можно переписать в виде⎛00⎜⎜⎜00N IN = ⎜⎜⎜−1 21 u Iv0⎝0−2 22 r Is1 21 u Iv0000⎞⎟⎟2 22 r Is⎟⎟00⎟⎟⎠(4.36)70Условию симплектичности матрицы можно удовлетворить выбрав вели­чины 1 , 2 , 1 , 2 так, чтобы выполнялись равенства1 21 u Iv = 1,2 22 r Is = 1,то есть следует положить(︀)︀(︀)︀1 = sign u Iv , 2 = sign r Is ,11,2 = √︀.1 = √︀|u Iv||r Is|(4.37)(4.38)Итак, матрица N однозначно определяется по формулам (4.33) и (4.37).Линейная замена переменных (4.4) с построенной таким образом матрицейN приводит линейное отображение (4.3) к нормальной форме (4.29) с матрицейG вида (4.30).

По нормальной форме линейного отображения можно построитьнормализованную квадратичную часть функции Гамильтона (4.2), которая врассматриваемом случае резонанса первого порядка будет иметь видΓ2 =1 2 21 + (1 + 12 )42(4.39)Покажем теперь как в случае резонанса первого порядка, используя нели­нейное симплектическое отображение, генерируемое фазовым потоком исход­ной канонической системы, получить нормальную форму гамильтониана (4.2)до членов четвертой степени включительно.Сначала в системе с исходным гамильтонианом (4.2) выполним линейнуюканоническую замену переменных с построенной выше матрицей N. Новый га­мильтониан * получается путем подстановки формул линейной замены пере­менных в старую функцию Гамильтона (4.2).

* = (11 1 + 12 2 + 13 1 + 14 2 , 21 1 + 22 2 + 23 1 + 24 2 ,31 1 + 32 2 + 33 1 + 34 2 , 41 1 + 42 2 + 43 1 + 44 2 , ),(4.40)71Здесь – элементы матрицы (4.33). Cимплектическое отображение, генериру­емое канонической системой с гамильтонианом (4.40), будет иметь вид (4.9), вкотором матрица G определяется выражением (4.30).Выполним теперь линейную унивалентную замену переменных по форму­лам1 = 1 , 2 =+1−1(2 + 2 ) , 1 = 1 , 2 =(2 − 2 )22(4.41)В новых переменных , ,( = 1, 2) отображение принимает вид:(1)1=(0)1−3(0)1(︃+ 1(1)2 =(1)1 =(0)2 =(0)1 ++2∑︁ 2 3(0)=133(0)(0)−1 3 3(0)+12−42 3+3+4)︃(0)(0)(0)(0)(0)(0) 22 1 211 1)︃(︃22∑︁3334(0) 2 − (0) +− (0) + 4(0)(0)(0)22=1 2 3 2 3 3 2 3 34(0)1 + (0) −+++ 4(0)(0)(0)(0)(0) 2 (0)1112121(︃1 2 3 3 2 3 343(0)+++2 + (0) −(0)(0)(0)(0) 2 (0)2x0 2 1 1222(0)1+ 4(4.42))︃4где3 = 3* ,4 = 4* +14(︃3*(0)2)︃2−14(︃3*(0)2)︃2+1 3* 3*.2 (0) (0)22(4.43)Здесь * – это формы , в которых , выражены через , по формулам(4.41).Будем искать близкую к тождественной нелинейную каноническую заменупеременных , → , , приводящую симплектическое отображение (4.42) кнаиболее простому виду.

Эту замену переменных зададим при помощи произ­водящей функции (1 , 2 , 1 , 2 ) по формулам =, =(4.44)72где(4.45)(1 , 2 , 1 , 2 ) = 1 1 + 2 2 + 3 + 4 + . . . ,∑︁ =1 2 1 2 11 22 11 22 .(4.46)1 +2 +1 +2 =Из (4.44) можно получить явные формулы преобразования23 ∑︁ 2 3 3 4+−+ 4 , = −=1(4.47)23 ∑︁ 2 3 3 4 = +−++ 4 .=1Подставляя (4.47) в отображение (4.42), получим⎧33(1)(0)(0)⎪⎪1 = 1 + 1 1 − (0) + 1 (0) + 3 ,⎪⎪⎪1 )︃ 1⎪(︃⎪⎪⎪3⎪(1)(0)⎪+ 3 ,=−⎪2⎨ 2(0)23(1)(0)⎪⎪=++ 3 ,⎪11(0)⎪⎪⎪1)︃(︃⎪⎪⎪⎪31(1)(0)⎪⎪⎩ 2 = 2 + (0) + 3 ,(4.48)2где3 = 3(︁(0) (0) (0) (0)1 , 2 , 1 , 2(︃− 3)︁+ 3(︁(0) (0) (0) (0)1 , 2 , 1 , 2(0)(0)(0)(0) (0) 1 1 + 1 , 2 , 1 , 2)︃)︁−(4.49)Неопределенные пока еще коэффициенты 1 2 1 2 формы 3 будем подби­рать таким образом, чтобы максимальное число коэффициентов формы 3 ,определяемой равенством (4.49), обращались в ноль. Вычисления показывают,73что если положить00030021010202011002102011102010(︀(︀)︀)︀2 0012 2 − 1 1 − 10020003 3=− 3, 0012 = −, −1(2 − 1)2(︁)︁2 ( + 1) 2001 + 1 ( − 1) 1011 + ( − 1) 0021=−,( − 1)30102 ( + 1) 2100 − 1 ( − 1) 1110 + ( − 1)2 0120=−, 0120 =,−1( − 1)3(︀)︀1 2 1200 − 2 − 1 021003000201, 0210 = −, 0300 = 3,=2−1 −1(2 − 1)1002 2 (2 1 2001 + 1011 ( − 1))=− 2, 1011 = −, −1( − 1)21 3 1 1020 − 6 0030 − 20100111=−, 1101 =,61112002001 2 1 2100 − 1110 ( − 1), 1200 = 2, 2001 = −,=−2 −1−1( − 1)1 1 2,0,1,0 − 102021001 2010=−, 2100 =, 3000 =21−13 1(4.50)то форма 3 будет иметь следующий наиболее простой вид.3 =(0) (0) (0)1101 2 1 2)︁3(4.51)3000 = 3000 .(4.52)+ 3000(︁(0)1где1101 = 1002 + 1200 ,Таким образом, мы получили отображение, нормализованное до членоввторого порядка включительно.Теперь по полученному нормализованному отображнию для решения во­проса об устойчивости необходимо восстановить нормальную форму гамильто­ниана.Пусть (, , ) – искомый гамильтониан, а = (︁(0) (0) , , )︁, = (︁(0) (0) , , )︁(4.53)74решение системы с гамильтонианом (, , ), отвечающее начальным услови­(0)(0)ям (0) = , (0) = .

Решение (4.53) задает каноническое преобразование,которое можно представить через его производящую функцию Φ(0)Φ=,(0) =(︁(0) , , Φ,)︁(4.54)Функция Φ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби(︂)︂Φ ΦΦ+ 1 , 2 ,+, = 0.1 2(4.55)Если в формулах (4.53) положить = 2 , то они будут задавать отображение(4.48).

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее