Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 8

Авто­ром данной диссертационной работы был разработан аналогичный алгоритм,позволяющий строить симплектическое отображение и проводить его нормали­зацию в случае резонанса основного типа, его изложению посвящен параграф4.2 .Методы и алгоритмы, описанные в данной главе, применяются затем вглаве 5 для решения задачи об устойчивости резонансных вращений симмет­ричного спутника.584.1. Метод исследования устойчивости при отсутствии всистеме резонансов первого и второго порядковРассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы, движениекоторой описывается неавтономной канонической системой дифференциальныхуравнений=,=−,( = 1, 2) .(4.1)Предполагается, что функция Гамильтона 2 -периодически зависит от времени, а ее разложение в ряд в окрестности начала координат 1 = 2 = 1 = 2 = 0,которое является положением равновесия, имеет вид = 2 + 3 + 4 + .

. . ,(4.2)Рассмотрим линейную систему, гамильтонианом 2 которой является квадра­тичная часть разложения (4.2). Ее характеристическое уравнение имеет вид(3.1). Будем считать, что коэффициенты этого уравнения удовлетворяют нера­венствам (3.2), т.е.

оно имеет две пары комплексно-сопряженных корней, моду­ли которых равны единице, а рассматриваемая линейная система устойчива.Для строгого решения задачи об устойчивости положения равновесия1 = 2 = 1 = 2 = 0 исходной нелинейной системы необходимо построитьнормальную форму функции Гамильтона (4.2) до членов не ниже четвертойстепени включительно.Воспользуемся идеей работы [36] и выполним сначала линейную канониче­скую замену переменных, позволяющую упростить алгоритм нелинейной нор­мализации, предложенный А.П.Маркеевым в работе [29] и описанный ниже.С целью построения указанной линейной замены переменных рассмотримследующее симплектическое отображение, генерируемое линейной системой сгамильтонианом 259⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (0) ⃦⃦ (1) ⃦⃦ 1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (0) ⃦⃦ (1) ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦ ⃦ = X(2) ⃦ 2 ⃦ ,⃦ (0) ⃦⃦ (1) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (0) ⃦⃦ (1) ⃦⃦2 ⃦⃦2 ⃦(0)(4.3)(0)где через , ( = 1, 2) обозначены начальные значения переменных , ,(1)(1)а через , – их значения при = 2 ; X() матрицы фундаментальных ре­шений рассматриваемой линейной системы, удовлетворяющая начальным усло­виям X(0) = E4 , где E4 – единичная матрица четвертого порядка.Линейной унивалентной канонической заменой переменных⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦ ⃦ = N ⃦ 2⃦ ,⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦2 ⃦(4.4)симплектическое отображение (4.3) можно привести к следующей более простой(нормальной) формегде⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦⃦⃦ = G⃦ 2 ⃦ ,⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦ 1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦ 2 ⃦⃦ 2 ⃦⃦⃦⃦ cos 210sin 210⃦⃦⃦0cos 220sin 22G=⃦⃦⃦ − sin 210cos 210⃦⃦⃦0− sin 220cos 22(4.5)⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦,⃦⃦⃦⃦⃦ = ( = 1, 2)(4.6)Величины ± ( = 1, 2) являются характеристическими показателями линеа­ризованной системы с гамильтонианом (1.27).60Алгоритм построения матрицы линейной замены переменных (4.4) изло­жен в [29].

В работе [4] были получены формулы, позволяющие в общем случаеявно вычислять элементы данной матрицы. Здесь, однако, мы их не приводим,т.к. в исследуемой ниже задаче об устойчивости резонансных вращений симмет­ричного спутника линеаризованная система разделяется на две независимыеподсистемы. Поэтому линейную нормализацию можно выполнить отдельно покаждой паре канонических переменных, а сама матрица имеет достаточнопростую структуру.

В параграфе 2.3 приведены явные формулы для вычисле­ния ее элементов в указанном случае.Теперь перейдем к нелинейной нормализации гамильтониана. Как уже бы­ло сказано ранее, она может быть выполнена при помощи методики, описанной[29], которая основана на построении симплектического отображения, генери­руемого фазовым потоком соответствующей канонической системы. Здесь мыкоротко остановимся на его основных моментах и выпишем формулы, необхо­димые для дальнейшего исследования.Сначала, с помощью линейной канонической замены (4.4) перейдем к пе­ременным , (i=1,2).

Новый гамильтониан будет иметь вид: * = 2* + 3* + 4* + . . . ,(4.7)где(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)* = (11 1 + 12 1 , 11 2 + 12 2 , 21 1 + 22 1 , 21 2 + 22 2 , ). (4.8)Теперь построим симплектическое отображение, генерируемое канониче­ской системой с гамильтонианом (4.7).61⃦⃦⃦(0) − 3⃦ 1(0)⃦⃦⃦1⃦⃦ (1) ⃦⃦⃦1 ⃦3⃦ (0)⃦⃦⃦ 2 −⃦ (1) ⃦(0)⃦⃦2 ⃦2⃦ = G⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦3⃦ (0)⃦ 1 ⃦⃦1 +⃦⃦(0)⃦⃦ (1) ⃦1⃦⃦ 2 ⃦⃦⃦ (0) + 3⃦ 2(0)⃦2∑︁+2 3(0) 2 3(0)(0)3(0)(0)2 2 33=1∑︁−(0)(0)(0)(0)=1 1 ∑︁ 2 33(0)(0)(0)=1 2 −4−1 =1∑︁+3⃦⃦+ 4 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦+ 4 ⃦⃦⃦,⃦⃦+ 4 ⃦⃦⃦⃦+ 4 ⃦⃦⃦(0)14−++(0)24(0)14(0)2(4.9)Формы ( = 3, 4) имеют вид(0)(0)(0)(0) (1 , 2 , 1 , 2 ) =(0) 1∑︁1 2 1 2 1(0) 22(0) 11(0) 22( = 3, 4)1 +2 +1 +2 =(4.10)где 1 2 1 2 = 1 2 1 2 (2). Функции 1 2 1 2 () удовлетворяют следующим урав­нениям1 2 1 2= 1 2 1 2 (1 + 2 + 1 + 2 = 3, 4)с начальными условиями 1 2 1 2 (0) = 0 .(4.11)Величины 1 2 1 2 в правых частях уравнений (4.11) являются коэффици­ентами форм (1 , 2 , 1 , 2 , ) =∑︁1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( = 3, 4)(4.12)1 +2 +1 +2 =Явные выражения для коэффициентов 1 2 1 2 форм ( = 3, 4) получа­ются из следующих соотношений3 = −Γ3 ,2∑︁Γ3 Φ34 = −Γ4 −,=1(4.13)где Φ3 (1 , 2 , 1 , 2 , ) – форма третьей степени с коэффициентами 1 2 1 2 (),то естьΦ3 (1 , 2 , 1 , 2 , ) =∑︁1 +2 +1 +2 =31 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 .(4.14)62Формы Γ (1 , 2 , 1 , 2 , ) получены подстановкой⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦ = Y() ⃦ 2 ⃦ .⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦ 2 ⃦(4.15)в формы * (1 , 2 , 1 , 2 ) ( = 3, 4).

Элементы матрицы () удовлетворяютследующим дифференциальным уравнениям:()2=,+2,()+2,=− 2 ,()2 = 2* (1 , 2 , 3 , 4 , ) ,( = 1, 2;(4.16) = 1, 2, 3, 4)с начальным условием (0) = 4 , где 4 – единичная матрица четвертогопорядка.Таким образом, интегрируя систему из 71 уравнения (55 уравнений (4.11)для 1 2 1 2 и 16 уравнений(4.16) для ) на интервале [0, 2], мы получим ко­эффициенты форм 3 и 4 . В общем случае, интегрирование может быть про­ведено только численно.Отметим, что в (4.9) матрица G имеет вид (4.6). Таким образом, в пере­менных , , мы получили симплектическое отображение с уже нормализо­ванными линейными членами.

Нелинейная нормализация может быть прове­дена при помощи канонического, близкого к тождественному преобразования , → , = +, = +( = 1, 2)(4.17)где функция является полиномом переменных , ( = 1, 2), а ее коэффи­циенты выбираются таким образом, чтобы симплектическое отображение (4.9)в новых переменных , имело наиболее простую форму. Метод нелинейной63нормализации отображения (4.9) подробно описан в [29]. Там же были полу­чены явные выражения для коэффициентов нормализованного отображениячерез коэффициенты 1 2 1 2 . Зная нормализованное отображение, можно по­строить соответствующую ему гамильтонову систему (см., например, [26]) и,таким образом, получить нормальную форму исходного гамильтониана задачи.При нелинейном анализе устойчивости приходится отдельно рассматри­вать нерезонансный и резонансные случаи.

Обычно, бывает достаточно принятьво внимание лишь резонансы до четвертого порядка включительно. В даннойработе мы исследуем устойчивость в нерезонансном случае и случаях резонан­сов третьего и четвертого порядков.Перейдем к полярным координатам , ( = 1, 2) =√︀2 sin , =√︀2 cos и выпишем вид нормальной формы гамильтониана для всех выше упомянутыхслучаев [26].1. Если отсутствуют резонансы до четвертого порядка включительно, т.е.1 1 + 2 2 ̸= , ( ∈ Z) для 0 < |1 | + |2 | ≤ 4, то нормализованныйгамильтониан имеет следующий вид: = 1 1 + 2 2 +20 12+ 11 1 2 +02 22(︁5/2+ (1 + 2 ))︁.(4.18)2.

При резонансе третьего порядка, т.е. при 1 1 + 2 2 = ( ∈ Z) и |1 | +|2 | = 3, нормальная форма записывается так√(︁)︁2 1 /2 2 /22 = 1 1 + 2 2 + 2 (1 2 sin + 1 2 cos ) + (1 + 2 ) .4 1(4.19)3. При резонансе четвертого порядка, т.е. при 1 1 + 2 2 = ( ∈ Z) и64|1 | + |2 | = 4, имеем /2 /2 = 1 1 + 2 2 + 20 12 + 11 1 2 + 02 22 + 1 1 2 2 (1 2 sin +)︁(︁5/2+1 2 cos ) + (1 + 2 ),(4.20)где = 1 (1) + 2 2 − .В[29]былиполученыявныевыражениядлякоэффициентов20 , 11 , 02 , 1 2 , 1 2 через коэффициенты 1 2 1 2 . В общем случае этивыражения довольно громоздки, однако для рассматриваемой ниже задачи обустойчивости резонансных вращений симметричного спутника они упрощают­ся, благодаря особой структуре гамильтониана (4.2).

Действительно, можнозаметить, что гамильтониан (4.2) не содержит членов нечетных степенейотносительно переменных 2 , 2 . Более того, он имеет ту же самую структурув переменных 2 , 2 . Поэтому значительная часть коэффициентов 1 2 1 2 вправой части симпплектического отображения (4.9) обращаются в ноль. Вчастности,0003 = 0021 = 0102 = 0120 = 0201 = 0300 = 1011 = 1110 = 2001 = 2100 = 00013 = 0031 = 0112 = 0130 = 0211 = 0310 = 1003 = 1021 = 01102 = 1120 = 1201 = 1300 = 2011 = 2110 = 3001 = 3100 = 0 .(4.21)В приложении приведены формулы для коэффициентов 20 , 11 , 02 , 1 2 ,1 2 , полученные с учетом (4.21).654.2.

Метод исследования устойчивости в случае резонансаосновного типа4.2.1. Нормализация линейной частиРассмотрим теперь ситуацию, которая возникает на границе области устой­чивости в линейном приближении.Пусть выполняется соотношение 2 = 2 1 − 2, тогда характеристическоеуравнение линейной системы с гамильтонианом 2 представляется в виде(︀)︀( − 1)2 2 − 2 + 1 = 0,(4.22)где = 41 2 − 12 ; здесь как и раньше через 1 и 2 обозначены соответственнослед и сумма главных миноров второго порядка матрицы монодромии.Будем считать, что || < 1, тогда, помимо кратного корня равного 1, урав­нение (4.22) имеет пару комплексно сопряженных корней с модулями равнымиединице, т.е.

в системе имеет место резонанс первого порядка. Будем такжепредполагать, что элементарные делители матрицы монодромии непросты. Вэтом случае линейная система неустойчива, а вопрос об устойчивости исход­ной нелинейной системы решается членами выше второй степени в разложениифункции Гамильтона (4.2). Если же выполняется соотношение 2 = −2 1 − 2,то характеристическое уравнение линейной системы примет вид(︀)︀( + 1)2 2 + 2 + 1 = 0,(4.23)Здесь также положим || < 1 и будем считать, что элементарные делителиматрицы монодромии непросты. В этом случае уравнение (4.23) имеет кратныйкорень равный −1 и пару комплексно сопряженных корней с модулями равнымиединице, т.е.