Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 8

PDF-файл Диссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите), страница 8 Физико-математические науки (23260): Диссертация - Аспирантура и докторантураДиссертация (Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите) - PDF, страница 8 (23260) - СтудИзба2019-03-12СтудИзба

Описание файла

Файл "Диссертация" внутри архива находится в папке "Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите". PDF-файл из архива "Исследование устойчивости резонансных вращений спутника на эллиптической орбите", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "физико-математические науки" из Аспирантура и докторантура, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. , а ещё этот архив представляет собой кандидатскую диссертацию, поэтому ещё представлен в разделе всех диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук.

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 8 страницы из PDF

Авто­ром данной диссертационной работы был разработан аналогичный алгоритм,позволяющий строить симплектическое отображение и проводить его нормали­зацию в случае резонанса основного типа, его изложению посвящен параграф4.2 .Методы и алгоритмы, описанные в данной главе, применяются затем вглаве 5 для решения задачи об устойчивости резонансных вращений симмет­ричного спутника.584.1. Метод исследования устойчивости при отсутствии всистеме резонансов первого и второго порядковРассмотрим механическую систему с двумя степенями свободы, движениекоторой описывается неавтономной канонической системой дифференциальныхуравнений=,=−,( = 1, 2) .(4.1)Предполагается, что функция Гамильтона 2 -периодически зависит от времени, а ее разложение в ряд в окрестности начала координат 1 = 2 = 1 = 2 = 0,которое является положением равновесия, имеет вид = 2 + 3 + 4 + .

. . ,(4.2)Рассмотрим линейную систему, гамильтонианом 2 которой является квадра­тичная часть разложения (4.2). Ее характеристическое уравнение имеет вид(3.1). Будем считать, что коэффициенты этого уравнения удовлетворяют нера­венствам (3.2), т.е.

оно имеет две пары комплексно-сопряженных корней, моду­ли которых равны единице, а рассматриваемая линейная система устойчива.Для строгого решения задачи об устойчивости положения равновесия1 = 2 = 1 = 2 = 0 исходной нелинейной системы необходимо построитьнормальную форму функции Гамильтона (4.2) до членов не ниже четвертойстепени включительно.Воспользуемся идеей работы [36] и выполним сначала линейную канониче­скую замену переменных, позволяющую упростить алгоритм нелинейной нор­мализации, предложенный А.П.Маркеевым в работе [29] и описанный ниже.С целью построения указанной линейной замены переменных рассмотримследующее симплектическое отображение, генерируемое линейной системой сгамильтонианом 259⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (0) ⃦⃦ (1) ⃦⃦ 1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (0) ⃦⃦ (1) ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦ ⃦ = X(2) ⃦ 2 ⃦ ,⃦ (0) ⃦⃦ (1) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ (0) ⃦⃦ (1) ⃦⃦2 ⃦⃦2 ⃦(0)(4.3)(0)где через , ( = 1, 2) обозначены начальные значения переменных , ,(1)(1)а через , – их значения при = 2 ; X() матрицы фундаментальных ре­шений рассматриваемой линейной системы, удовлетворяющая начальным усло­виям X(0) = E4 , где E4 – единичная матрица четвертого порядка.Линейной унивалентной канонической заменой переменных⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦ ⃦ = N ⃦ 2⃦ ,⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦2 ⃦(4.4)симплектическое отображение (4.3) можно привести к следующей более простой(нормальной) формегде⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦⃦⃦ = G⃦ 2 ⃦ ,⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦ 1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦⃦ (0) ⃦⃦ 2 ⃦⃦ 2 ⃦⃦⃦⃦ cos 210sin 210⃦⃦⃦0cos 220sin 22G=⃦⃦⃦ − sin 210cos 210⃦⃦⃦0− sin 220cos 22(4.5)⃦⃦⃦⃦⃦⃦⃦,⃦⃦⃦⃦⃦ = ( = 1, 2)(4.6)Величины ± ( = 1, 2) являются характеристическими показателями линеа­ризованной системы с гамильтонианом (1.27).60Алгоритм построения матрицы линейной замены переменных (4.4) изло­жен в [29].

В работе [4] были получены формулы, позволяющие в общем случаеявно вычислять элементы данной матрицы. Здесь, однако, мы их не приводим,т.к. в исследуемой ниже задаче об устойчивости резонансных вращений симмет­ричного спутника линеаризованная система разделяется на две независимыеподсистемы. Поэтому линейную нормализацию можно выполнить отдельно покаждой паре канонических переменных, а сама матрица имеет достаточнопростую структуру.

В параграфе 2.3 приведены явные формулы для вычисле­ния ее элементов в указанном случае.Теперь перейдем к нелинейной нормализации гамильтониана. Как уже бы­ло сказано ранее, она может быть выполнена при помощи методики, описанной[29], которая основана на построении симплектического отображения, генери­руемого фазовым потоком соответствующей канонической системы. Здесь мыкоротко остановимся на его основных моментах и выпишем формулы, необхо­димые для дальнейшего исследования.Сначала, с помощью линейной канонической замены (4.4) перейдем к пе­ременным , (i=1,2).

Новый гамильтониан будет иметь вид: * = 2* + 3* + 4* + . . . ,(4.7)где(1)(1)(2)(2)(1)(1)(2)(2)* = (11 1 + 12 1 , 11 2 + 12 2 , 21 1 + 22 1 , 21 2 + 22 2 , ). (4.8)Теперь построим симплектическое отображение, генерируемое канониче­ской системой с гамильтонианом (4.7).61⃦⃦⃦(0) − 3⃦ 1(0)⃦⃦⃦1⃦⃦ (1) ⃦⃦⃦1 ⃦3⃦ (0)⃦⃦⃦ 2 −⃦ (1) ⃦(0)⃦⃦2 ⃦2⃦ = G⃦⃦⃦⃦ (1) ⃦3⃦ (0)⃦ 1 ⃦⃦1 +⃦⃦(0)⃦⃦ (1) ⃦1⃦⃦ 2 ⃦⃦⃦ (0) + 3⃦ 2(0)⃦2∑︁+2 3(0) 2 3(0)(0)3(0)(0)2 2 33=1∑︁−(0)(0)(0)(0)=1 1 ∑︁ 2 33(0)(0)(0)=1 2 −4−1 =1∑︁+3⃦⃦+ 4 ⃦⃦⃦⃦⃦⃦+ 4 ⃦⃦⃦,⃦⃦+ 4 ⃦⃦⃦⃦+ 4 ⃦⃦⃦(0)14−++(0)24(0)14(0)2(4.9)Формы ( = 3, 4) имеют вид(0)(0)(0)(0) (1 , 2 , 1 , 2 ) =(0) 1∑︁1 2 1 2 1(0) 22(0) 11(0) 22( = 3, 4)1 +2 +1 +2 =(4.10)где 1 2 1 2 = 1 2 1 2 (2). Функции 1 2 1 2 () удовлетворяют следующим урав­нениям1 2 1 2= 1 2 1 2 (1 + 2 + 1 + 2 = 3, 4)с начальными условиями 1 2 1 2 (0) = 0 .(4.11)Величины 1 2 1 2 в правых частях уравнений (4.11) являются коэффици­ентами форм (1 , 2 , 1 , 2 , ) =∑︁1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2( = 3, 4)(4.12)1 +2 +1 +2 =Явные выражения для коэффициентов 1 2 1 2 форм ( = 3, 4) получа­ются из следующих соотношений3 = −Γ3 ,2∑︁Γ3 Φ34 = −Γ4 −,=1(4.13)где Φ3 (1 , 2 , 1 , 2 , ) – форма третьей степени с коэффициентами 1 2 1 2 (),то естьΦ3 (1 , 2 , 1 , 2 , ) =∑︁1 +2 +1 +2 =31 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 .(4.14)62Формы Γ (1 , 2 , 1 , 2 , ) получены подстановкой⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦1 ⃦⃦1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦2 ⃦⃦ ⃦ = Y() ⃦ 2 ⃦ .⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 1 ⃦⃦ 1 ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ ⃦⃦ 2 ⃦⃦ 2 ⃦(4.15)в формы * (1 , 2 , 1 , 2 ) ( = 3, 4).

Элементы матрицы () удовлетворяютследующим дифференциальным уравнениям:()2=,+2,()+2,=− 2 ,()2 = 2* (1 , 2 , 3 , 4 , ) ,( = 1, 2;(4.16) = 1, 2, 3, 4)с начальным условием (0) = 4 , где 4 – единичная матрица четвертогопорядка.Таким образом, интегрируя систему из 71 уравнения (55 уравнений (4.11)для 1 2 1 2 и 16 уравнений(4.16) для ) на интервале [0, 2], мы получим ко­эффициенты форм 3 и 4 . В общем случае, интегрирование может быть про­ведено только численно.Отметим, что в (4.9) матрица G имеет вид (4.6). Таким образом, в пере­менных , , мы получили симплектическое отображение с уже нормализо­ванными линейными членами.

Нелинейная нормализация может быть прове­дена при помощи канонического, близкого к тождественному преобразования , → , = +, = +( = 1, 2)(4.17)где функция является полиномом переменных , ( = 1, 2), а ее коэффи­циенты выбираются таким образом, чтобы симплектическое отображение (4.9)в новых переменных , имело наиболее простую форму. Метод нелинейной63нормализации отображения (4.9) подробно описан в [29]. Там же были полу­чены явные выражения для коэффициентов нормализованного отображениячерез коэффициенты 1 2 1 2 . Зная нормализованное отображение, можно по­строить соответствующую ему гамильтонову систему (см., например, [26]) и,таким образом, получить нормальную форму исходного гамильтониана задачи.При нелинейном анализе устойчивости приходится отдельно рассматри­вать нерезонансный и резонансные случаи.

Обычно, бывает достаточно принятьво внимание лишь резонансы до четвертого порядка включительно. В даннойработе мы исследуем устойчивость в нерезонансном случае и случаях резонан­сов третьего и четвертого порядков.Перейдем к полярным координатам , ( = 1, 2) =√︀2 sin , =√︀2 cos и выпишем вид нормальной формы гамильтониана для всех выше упомянутыхслучаев [26].1. Если отсутствуют резонансы до четвертого порядка включительно, т.е.1 1 + 2 2 ̸= , ( ∈ Z) для 0 < |1 | + |2 | ≤ 4, то нормализованныйгамильтониан имеет следующий вид: = 1 1 + 2 2 +20 12+ 11 1 2 +02 22(︁5/2+ (1 + 2 ))︁.(4.18)2.

При резонансе третьего порядка, т.е. при 1 1 + 2 2 = ( ∈ Z) и |1 | +|2 | = 3, нормальная форма записывается так√(︁)︁2 1 /2 2 /22 = 1 1 + 2 2 + 2 (1 2 sin + 1 2 cos ) + (1 + 2 ) .4 1(4.19)3. При резонансе четвертого порядка, т.е. при 1 1 + 2 2 = ( ∈ Z) и64|1 | + |2 | = 4, имеем /2 /2 = 1 1 + 2 2 + 20 12 + 11 1 2 + 02 22 + 1 1 2 2 (1 2 sin +)︁(︁5/2+1 2 cos ) + (1 + 2 ),(4.20)где = 1 (1) + 2 2 − .В[29]былиполученыявныевыражениядлякоэффициентов20 , 11 , 02 , 1 2 , 1 2 через коэффициенты 1 2 1 2 . В общем случае этивыражения довольно громоздки, однако для рассматриваемой ниже задачи обустойчивости резонансных вращений симметричного спутника они упрощают­ся, благодаря особой структуре гамильтониана (4.2).

Действительно, можнозаметить, что гамильтониан (4.2) не содержит членов нечетных степенейотносительно переменных 2 , 2 . Более того, он имеет ту же самую структурув переменных 2 , 2 . Поэтому значительная часть коэффициентов 1 2 1 2 вправой части симпплектического отображения (4.9) обращаются в ноль. Вчастности,0003 = 0021 = 0102 = 0120 = 0201 = 0300 = 1011 = 1110 = 2001 = 2100 = 00013 = 0031 = 0112 = 0130 = 0211 = 0310 = 1003 = 1021 = 01102 = 1120 = 1201 = 1300 = 2011 = 2110 = 3001 = 3100 = 0 .(4.21)В приложении приведены формулы для коэффициентов 20 , 11 , 02 , 1 2 ,1 2 , полученные с учетом (4.21).654.2.

Метод исследования устойчивости в случае резонансаосновного типа4.2.1. Нормализация линейной частиРассмотрим теперь ситуацию, которая возникает на границе области устой­чивости в линейном приближении.Пусть выполняется соотношение 2 = 2 1 − 2, тогда характеристическоеуравнение линейной системы с гамильтонианом 2 представляется в виде(︀)︀( − 1)2 2 − 2 + 1 = 0,(4.22)где = 41 2 − 12 ; здесь как и раньше через 1 и 2 обозначены соответственнослед и сумма главных миноров второго порядка матрицы монодромии.Будем считать, что || < 1, тогда, помимо кратного корня равного 1, урав­нение (4.22) имеет пару комплексно сопряженных корней с модулями равнымиединице, т.е.

в системе имеет место резонанс первого порядка. Будем такжепредполагать, что элементарные делители матрицы монодромии непросты. Вэтом случае линейная система неустойчива, а вопрос об устойчивости исход­ной нелинейной системы решается членами выше второй степени в разложениифункции Гамильтона (4.2). Если же выполняется соотношение 2 = −2 1 − 2,то характеристическое уравнение линейной системы примет вид(︀)︀( + 1)2 2 + 2 + 1 = 0,(4.23)Здесь также положим || < 1 и будем считать, что элементарные делителиматрицы монодромии непросты. В этом случае уравнение (4.23) имеет кратныйкорень равный −1 и пару комплексно сопряженных корней с модулями равнымиединице, т.е.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее