Диссертация (Стержневые и полупространственные модели деформирования слоистых закрученных изделий в поле стационарных и нестационарных нагрузок), страница 8

Анизотропные материалы,имеющие такую симметрию механических свойств, называются ортотропными.Уравнения обобщенного закона Гука, отнесенные к осям 1,2,3, принимают вид(1.2.1).Число независимых упругих постоянных равно девяти. Уравнения (1.2.1) показывают, что в ортотропных телах нормальные напряжения не вызовут сдвигов,а касательные напряжения - относительных удлинений. В КМ это условие будетсоблюдено, если линия действия нагрузки совпадет с направлением армирования,Уравнения (1.2.1) приобретают большую наглядность, если вместо коэффициентов податливости ввести "технические постоянные".Соотношения (1.2.1) должны быть использованы при исследовании КМ наоснове тканей и лент. Если армирующим элементом в слое являются волокна,жгуты или ленты, уток которых по сравнению с основой заметно разрежен (например, углелента марки "Кулон"), то ось z совпадает с осью симметрии и плоскость x0y является плоскостью изотропии.

В этом случае в соотношениях (1.2.1)следует положить [16], [22]iiiiiiE1i  E2i ,  13  23  3i ,  12  1i , G23 G13 G i , G12E1i2( 1  1i ),(1.2.3)и использовать зависимости (1.2.2). Из (1.2.2), (1.2.3) следует, что для трансверсально-изотропного тела число независимых постоянных равно пяти. Типичнымитрансверсально-изотропными телами являются, например, углеродные и органические волокна [24]. Упругие характеристики некоторых типов волокон приведены в таблице 1.2.1.39Таблица 1.2.1.

Упругие характеристики волоконВид волокнаУглеродные "Торнел" 40Углеродные--------- - - - - - СтеклянныеБорныеE17.716.120.670380-400E3G13ГПа28223022870380-40028204728.4160G126.628.416013310.0070.0210.230.20.250.30.30.230.2У изотропного материала независимыми являются только две упругие постоянные E и G. Типичными изотропными материалами являются, например, различные виды полимерных связующих, применяемых для изготовления композиционных материалов. Упругие характеристики некоторых видов полимерных связующих приведены в таблице 1.2.2.Таблица 1.2.2. Упругие характеристики полимерных связующихВид связующегоE, ГПаG, ГПаПолиэфирное2.1-4.61-1.90.35-0.42Эпоксидное2.8-4.20.8-1.50.35-0.4Фенолформальдегидное2.8-4.61-1.40.351.3. Расчетные формулы для определения упругих свойств из КМПри расчете предполагается, что однонаправленный слой представляет собойквазиоднородную анизотропную среду, упругие свойства которой определяютсяупругими свойствами составляющих, а также структурой с учетом ориентацииволокон.

Поведение однонаправленного слоя полагается линейно-упругим, асвязь между напряжением и деформациями описывается обобщенным закономГука. В случае совпадения линии действия силы с направлением армирования однонаправленный слой является трансвврсалъно-изотропным. Обобщенный законГука для него выражается формулами (1.2.2), (1.2.3).Как видно из этих зависимостей свойства однонаправленного слоя определяются пятью независимыми величинами. Это модули упругости вдоль волокон Е3 ипоперек E1, модуль сдвига в плоскости, параллельной волокнам G13, коэффициент40Пуассона при растяжении вдоль оси 3 - ν31 и коэффициент Пуассона - ν12, или модуль сдвига - G12 в плоскости изотропии.

Эти пять упругих постоянных и подлежат определению на основании процентного содержания компонентов системы иих упругих характеристик.Проблеме определения упругих постоянных посвящены работы БолотинаВ.В. [5], [6], Рабиновича А.Л. и Верховского И.А. [25], Аболиньша Д.С. [26],Скудры Л.М. и Булавс Ф.Я. [24], Ванина Г.A [2l], Бидермана В.Л. и других. Средизарубежных авторов следует отметить работы Шеффера [27], Иквелла [28], Бира[29], Хашина и Розена [30], Уитни и Райли [31]. В работах Шеффера и Иквеллаиспользуются теории сопротивления материалов. В работах Рабиновича А.Л.

иВерховского И.А., а также Болотина В.В. и Бидермана В.Л. строится простейшеерешение плоской задали теории упругости с пренебрежением локальных эффектов. Напряжения и деформация считаются осредненными по элементарному объему, содержащих волокна и матрицу. Часть исследователей, Хашин и Розен, Цайи др., использовали в своих работах вариационный метод, основанный на теоремео минимуме потенциальной энергии. Уитни и Райли использовали классическуютеорию упругости, решая плоскую осесимметричную задачу при помощи функций Эри.Следует отметить, что механические свойства КМ, особенно в поперечномнаправлении отличаются чувствительностью к большому числу факторов, неподдающихся в настоящее время достаточно полному контролю.

Это, прежде всего,искривление и случайное размещение волокон, наличие пористости и расслоения,качество адгезии волокна к матрице, также анизотропия некоторых видов волокон. Кроме вышеперечисленных факторов свойства материала зависят от массытехнологических параметров. Вследствие этого построение строгих математических решений при определении НДС в арматуре и матрице часто бывает затруднительно и всегда оправдано. В настоящее время, по-видимому, целесообразноиспользовать наиболее простые идеализированные модели КМ, позволяющие обнаружить качественные особенности поведения материала и определить свойствакомпозиции в определенных областях конструкции.

При необходимости уточне-41ния свойств в местах разрыва волокон, около края или с учетом неупругихсвойств матрицы, могут быть рассмотрены особые модели, учитывающие те илииные дефекты в микроструктуре.Следует отметить, что анизотропия свойств волокон исследована в настоящеевремя недостаточно. Определение модуля упругости угольного волокна в поперечном направлении трудоемко, а результаты не достаточно достоверны. Определив свойства однонаправленного слоя КМ в осях упругой симметрии, по известным формулам преобразования упругих констант при переходе к другим координатам, мы можем найти упругие свойства слоя армированного материала, лежащего под любым углом к оси лопатки [16].Механические и физические свойства деталей изготовленных из КМ, могутизменяться в достаточно широких пределах.

При этом целенаправленное регулирование свойств конкретного материала может быть осуществлено путем выборасхемы укладки отдельного слоя, т.е. изменением углов между главными направлениями упругой симметрии материала и осями, в которых исследуется напряженно-деформированное состояние тела.Для слоистой конструкции управление свойствами слоя осуществляется поворотом слоя относительно прямой перпендикулярной к волокнам, т.е. относительно оси x (рис.1.3.1). При этом направляющие косинусы, определяющие взаимное расположение главных направлений упругой симметрии (осей x , y , z ) ииспользуемой в расчетах системы координат (осей x, y, z ), приведены в таблице1.3.1.Рисунок 1.3.1 - Угол между осью нагружения и осью симметрии волокон42Таблица 1.3.1 Направляющие косинусыxyzхyzn=n1=cosψn2=0l1=0l2=1m=m1=-sinψm=0m=n3=-sinψl3=0n=m3=cosψВ системе координат x, y, z  соотношения (1.2.1), устанавливающие связьмежду напряжениями и деформациями, усложняются и для материала i-го слоя ипринимают вид [16], [22]:ii   i x x    a11i a12i a13i 0 a15i 0   x x   11 i  i y y    a21i i a22i a23i 0 a25i 0   y y   22 i i a32i a33i 0 a35i 0   zi z    i z z    a31  T i   33  . i ii  i  0 a46   y z   y z    0 0 0 a440  i  i i a52i a53i 0 a55i 0   xi z    x z    a51 15 0   i     0 0 0 ai 0 ai  i  xy  6466   x y  (1.3.1)Упругие константы, входящие в соотношение (1.3.1), выражается через уголармирования  i и девять упругих констант ортотропного тела формулами [16],[22]ia11ia13i a22ia55ia25m4(E1ii  13E3i1iG13(1E3ii2 13E3i1E1i1n4E2E1i1i1   13i , a33iiG13 (i  [a35 4(E3iii12 23E1i(n4)n m 22i2 13iG131iG131E2ii)nm, a44iE2E1i2ia12,2)n m ,i2 13E3i1iG13 (ia232E1im4E1iim 2 12 ()n m 2in 2 12E1iim 2 23E2i),in 2 23E2i),,i )n 2 m 2 , a66n2iG12m2iG23,(1.3.2)m2n211i  ( i  i )nm, i  i , a46G12 G23G12 G23i2 13m2 n 21ii i  0.5( i  i )( n 2  m 2 )] nm, n  cos , m  sin .iE1 E3G13E343ia15i2 13n2 m21 [ i  i  0.5( i  i )( n 2  m 2 )] nm,E1 E3G13E3i  a16i  a26i  a24i  a34i  a36i  a45i  a56i  0 .a14(1.3.3)При решении конкретных задач иногда физические соотношения (1.3.1) для iго слоя необходимо представить в равносильной ему форме - разрешенной относительно компонент тензора напряжении [16]:  xi x    ci ci ci 0 ci 0   xi x  i  1115  11 12 13i   i   i i iii  y y    c12 c22 c23 0 c25 0  y y   22   i     ci ci ci 0 ci 0   i   izz35i   33  z z    13 23 33T .  iy z    0 0 0 c44i 0 c46i   iy z  0 i i c25i c35i 0 c55i 0   xi z    xi z    c15 13  i  0   x y    0 0 0 c46i 0 c66i   xi y  (1.3.4)Здесь параметры упругости ckji обозначены значками штрих с целью показать, что они выписаны для произвольного угла армирования  i i-го слоя.

Значения параметров упругости ckji (k=1,...,6) могут быть определены следующими зависимостями через параметры податливостиc'kji  ( 1 ) j  k kj /  , ( j ,k  1,2,3 ),c'kji  akji / * ,( j ,k  4,6 ),(1.3.5)i , c55i  ( 1  aki5c'ki5 ) / a55i .c'ki5  aki5c'kji / a55Здесь по одинаковым индексам подразумевается суммирование.

Тензор температурных напряжений  ijk связан с тензором тепловых расширений  ijk i-гослоя формуламиi   i 11c11 i   i  22   c12  i  c i 33   13ic12ic22ic23i i  11c13 i i   22c23,i i   33c33iiiii   22i   33i .13 11c15c25c35Определители ,  * имеют вид:(1.3.6)44iii 11 12 13i a46ia66iii   12  22  23 , *  i.iaaiii4644 13 23 33i  aki5 aji5 / a55i ( k , j  1,2 ,3 ); kj - миноры опреВ определителе    kji  akjiделителя  по элементам  kj. Параметры упругости сkji (k=1,...,6) из (1.3.5) дляортотропного материала в развернутом виде представляются соотношениями [16]iiii 4ii  c33i  c22c11m4  2( c13 2c55)m 2 n 2  c11n , c22,i 4iiiiii  c33i  c66c33n  2( c13 2c55)m 2 n 2  c11m4 , c44m 2  c44n2 ,iiiiiiii  ( c33i  ( c66c13 c11 2c13 4c55)n2 m2  c13, c46 c44)mn,ii 2i 2ii  c23i  c23c12m2  c12n , c23n  c12m2 ,iiiii  ( c12i  c66c25 c23)nm, c66n 2  c44m2 ,(1.3.7)i 2iiii  [ c11c15n  c33m 2  ( c13 2c55)( n 2  m 2 )] nm ,iiiii  [ c11c35m 2  c33n 2  ( c13 2c55)( n 2  m 2 )] nm ,iiiiii  ( c33c55 c11 2c13 4c55)m 2 n 2  c55, n  cos i , m  sin i .Параметры упругости сkji ортотропного материала i-го слоя определяютсячерез технические постоянные формулами [16], [43]ii ic11 H * ( E3i  32 23 E1i ),ii ic33 H * E3i ( 1  12 21 ),ii ic22 H * E2i ( 1  13 31 ),iii ic23 H * E3i ( 23  21 13 ),ii iiiii ic13 H * E3i ( 12 23  13), c12 H * ( E2i 12 32 13 E3i ),(1.3.8)iiiiiic44 G23, c55 G13, c66 G12,i ii ii ii i i 1H  ( 1   12 21   13 31   23 32  2 12 23 31 ) .В частности, для трансверсально-изотропного материала справедливы соотношенияE1i  E2i  Eti , E3i  E i ,iiiii 23  13  i  c13/(c11 c12),iiiiiic44 c55 G i , E i  c33 2c13/(c11 c12),iiiiic66 G12 Eti /[2(1   12)]  0.5(c11 c12).(1.3.9)45В таблице 1.3.1 представлены значения упругих постоянных для некоторыхвидов современных стеклопластиков: стеклопластик на основе стеклоткани маркиАССТТ(б)-C2-0 и полиэфирной смолы марок ПН-3 и НПС-609-21М, стеклопластики на эпоксидном связующем СВАМ при соотношении волокон 1:1, 5:1, 10:1,15:1 и стеклотестолит горячего прессования типа СТЭР-С-30 [32].Таблица 1.3.1 Упругие характеристики стеклопластиков.МатериалыСвойстваE1 , ГПаE2 , ГПаE3 , , ГПаG12 , ГПаG13 , ГПаG23 , ГПа 13 23 12АСТТ(b) АСТТ(b)-С2-0 и СВАМ-C2 -0 и НПС-609-21М 1:1ПН-3СВАМ1:5СВАМ1:10СВАМ СТЭР1:15С-3013.1122618.81816264.34.58.489.811.212.417.9192630.5394635.62.42.333.53.24.36.82.834.54.95.35.68.22.42.333.13.93.36.80.150.150.130.180.220.270.130.080.070.0720.070.070.070.070.310.30.310.30.310.30.33Основная задача заключается в определении независимых констант ортотропного материала (число их 9) или трансверсально-изотропного материала(число их 5).