Диссертация (Стержневые и полупространственные модели деформирования слоистых закрученных изделий в поле стационарных и нестационарных нагрузок), страница 11

приложение 2)sQmn1 m  1 Cmk 1  3nk1nk1m1k(xx) , d  bnk1m  1 k 0  1(1.5.16)в котором Cmk 1 - число сочетаний из m+1 элементов по к;d   ( y  1  y ) /( x  1  x1 ),b  y  d  x ,(   1,2,3 ) .(1.5.17)Рисунок 1.5.5 - Сетка из 1260 узлов и 1100 адаптированных со слоистостью структуры сечения элементов в ромбовидном стержне.Если индекс у координаты превышает 3, то его следует заменить на 1.

В техслучаях, когда абсциссы x , x 1 двух точек мало отличаются друг от друга, хаsрактеристики Qmnвычисляются по формулам (см. приложение 2)sQmn(3)D(2)D  x y dxdy   x dx  y dy   x dx  y m dy .n ms(1)nAm(1)n(1.5.18)BЧисленная реализация описанного алгоритма осуществляется с помощьюспециально составленной программы на алгоритмическом языке Фортран. Сравkнение численных результатов геометрических характеристик I mnстержня с ром-бовидным (d1=120 мм, d2=20 мм) и прямоугольным (a=120мм, h=20 мм) сечением вычисленные по формулам (1.3.18), с точными вычислениями приведены натаблице 1.5.1.Численные результаты геометрических характеристик для приведенных сечений, вычисленные по формулам (1.3.13), отличаются от точных их значений неболее чем на 0,0001%.60kТаблица 1.5.1 Значения геометрических характеристик I mn сеченияИнтеграл dFF xdFF2 x dFF3 x dFF4 x dFF ydFF xydFF2 x ydFF3 x ydFF2 y dFF2 y xdFF2 2 y x dFF3 y dFF3 y xdFF4 y dFFkI mnПрофиль прямоугольникmn формула (1.3.15)000Профиль pомбТочноезначениеФормула (1.3.15)Точноезначение24002400120012001003,71 10-70022,88 1062,88 1067,2 1057,2 1050300-6,1 10-70046,2108 1096,2108 1091,0368 1091,0368 109102400024000120001200001100-1,18 10-7122,88 1072,88 1077,2 10-77,2 10-71300-2,23 10-70203,2 1053,2 1051,4 1051,4 1052100-1,32 10-70223,84 1083,84 1087,68 1067,68 106304,8 1064,8 1061,8 1061,8 1063100-1,39 10-70407,68 1077,68 1072,1493 1072,1493 107Система координатПосле вычисления на ЭВМ физико-геометрических характеристик сечениянаходят центр тяжести сечения по формуле00x  I 01I 00,00y   I 01I 00,(1.5.19)61а также направление главных осей.

Если  - угол между осью х и одной изглавных осей сечения, тоcos2=0.5(1-cos2), sin2 =0.5(1+cos2),определяется из равенства000cos 2 *  1 / 1  tg 2 2 * ; tg 2   2I 22/( I02 I 20).(1.5.20)В последующем анализе может использоваться новая, местная система координат х, у , связанная со старой следующей зависимостьюх=(х-х) cos +(у-у)sin,у=-(х-х)sin+(у-у) cos.(1.5.21)C изменением координатной системы (параллельный перенос в центр тяжести и поворот относительно осей х и у ) геометрические и физико-геометрическиехарактеристики стержня произвольного сечения меняют величину.

Физикогеометрические характеристики слоя в системе координат х, у, z (1.5.21) находятся по формуламnmiiI mn (cos  * )m n Qmn[   C nj C mj ( 1 ) j ( tg * ) j  s  (j 0 s 0 Qi  01 Qi 20ji Q10 Qi 02si  Q10  i  0  Q01 j sx  *у* ],x*у*)j (1.5.22)iгде Qmn- значения, вычисленные для слоя i по формуле (1.5.16) или (1.5.18).Формула (1.5.22) характеризует, что в новой, местной системе координат физико-геометрические характеристики сечения могутотличаться от значения(1.5.13).Метод расчета стержней произвольного сечения, в основе которых лежалаклассическая теория тонких изогнуто-закрученных стержней Кирхгофа-Клебша,разрабатывались и развивались многими авторами [45], [47-49], [54] и другими.Однако, в настоящее время не до конца разработаны методы расчета слоистыхстержней произвольного сечения.

Поэтому, рассматривается цилиндрическийстержень из слоистого материала с поперечным сечением произвольной формы,62находящийся под действием усилий, распределенных по концам стержня и приводящихся к скручивающему моменту M t , изгибающим моментам M 1 , M 2 и силеР.

Область сечения предполагается конечной и односвязной. Оси х, у совпадают сглавными осями инерции рассматриваемого текущего сечения и проходят черезцентр тяжести сечения. Текущая ось z нормальна к сечению (см. рис. 1.5.6)Рисунок 1.5.6 - Схема нагружения слоистого стержня.В случае продольно-поперечной укладки слоев  i =0 или  i =90, в этих слояхфизические соотношения (1.3.4) упрощаются из-за отсутствия связанности сдвиговых и продольно-поперечных деформации и напряжений. В этом случаеi  0 ( j  1,2,3) и кручение стержня является чистым [3], [4]. Если уголaji5  a46армирования  i в некотором слое i отличен от нуля, то исследуемая деформациястержня является «обобщенной» и кручение стержня, в частности, обуславливаетпоявление эффектов изгиба при кручении.1.5.4 Формулы обобщенного кручения композиционного стержня63При "обобщенном " кручении компоненты перемещения точек i-го слоя u, v,w отыскиваются в виде [3]u ivi i M 2a33(l  z ) 2  y (l  z )  U i ( x, y ),2 J 2ii M t0.5a35i M 1 a332 J 1i(l  z ) 2  x(l  z )  V i ( x, y ),(1.5.23) 0.5a35i M t  a33i M 1i M 2i a33a33w yxP  (l  z )  W i ( x, y ).iiFi J1J2iЗдесь U i ,V i ,W i  некоторые подлежащие определению функции координатсечения х, у;  - относительный угол закручивания на единицу длины стержня; -длина стержня; J ki   xk2 dFi (k=1,2) - главные моменты инерции поперечногоF0iсечения i-го слоя; I 00= Fi - площадь сечения i-го слоя; P , M 1 , M 2 , M t - силы и мо-менты, действующие в поперечном сечении стержня.

Как правило, последние( P, M1, M 2 , M t ) являются известными величинами, однако иногда встречаютсяслучаи, когда их следует определить в ходе решения задачи.Используя геометрические соотношения Коши из (1.5.23) легко получить выражения для компонент тензора деформации при "обобщенном кручении" дляслоя i в видеi 11U iV iU i V iii;  22 ; 2 12 ;xyyxi 33iii M 1  0.5a35i M ta33a33a33P  i M2x y,FiJ2J1ii2 23(1.5.24)W iW ii x ; 2 13  y .yxСледует заметить, что в (1.5.24) все компоненты тензора деформации не зависят от координат z .Если соотношения (1.3.4) подставить в уравнения равновесия kji , j  xki  0 ( k , j  1,2,3 ),(1.5.25)64где индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате, и при этом, учесть представления (1.5.24), то уравнения равновесиямогут быть приведены к виду [67,120, 244]i  2U i 2c12i  c66i  2V i 2U i c66 i Z 1i ( x , y ),22ixy yx2c112c11i  2V i 2c12i  c66i  2V i 2V i c66 i Z 2i ( x , y ).22ixy xy2c222c22(1.5.26)Здесь функция Z ij ( x , y ) (j=1,2) определяются следующими соотношениямиZ1i ( x,i a33ic132 i2 i1i  Wi  Wy )   i i M 2  i (c15 c 46), J2c11c11x 2y 2Z 2i ( x, y ) i M t0.5a35 i M 1C 23i a33 i J 1iс221 2W i25i  c46i )  (c25 i  c46i )[(c],xyic22i  2W i 2W i c44 i Z 3i ( x , y ) ,22 yxc55Z 3i ( x, y ) (1.5.27)i a33ii  2U i c46i  2U i c46i  2c32i  2V i2c352c15M2  i i.xyi J 2i x 2 y 2ic55c55c55c55(1.5.28)(1.5.29)Специальная форма уравнений равновесия (1.5.26), (1.5.28) относительносоставляющих U i , V i , W i перемещений u i , v i , wi ( i  1,2,...,N ) выбрана с цельюперенести вправо члены, обусловленные взаимодействием сдвиговых и продольi  0 ( j  1,2,3 ) , чтоно-поперечных деформаций.

Действительно, если cji5  c46реализуется при  i  00 или  i  900 , то  i  00 , Z 3i  0 , а Z 1i , Z 2i зависят толькоот изгибающих моментов М1, М2 обуславливая возможность по раздельного определения функции W i и функции U i , V i . Этот метод описан ниже (см. 1.7).Дифференциальные уравнения (1.5.26), (1.5.28) должны быть решены при заданных условиях на боковой поверхности стержня, а также на его торцах. В сечениях стержня должны выполняться условия непрерывности перемещений U i , V i ,Wi при переходе от слоя к слою.651.6.

Постановка граничных условий1.6.1. Условия на боковой поверхностиПусть на цилиндрической поверхности неоднородного анизотропного призматического стержня заданы усилия Х , Y , Z . Тогда в рассматриваемом сеченииz условия на контуре L слоистой области запишутся в виде [67,120] 11 1   12  2  X ,  12  1   22  2  Y ,  13 1   23 2  Z .(1.6.1)Здесь  - направление нормали к ограничивающему рассматриваемое сечениеконтуру L (рис.1.3.5).  1  cos(  , x )  y /  ,  2  cos(  , x )  x /  направляющие косинусы, которые написаны в предположении, что положительный обходобласти осуществляется так, что область при обходе всегда находится слева.Если в соотношения (1.6.1) подставить физические зависимости (1.5.4) и, приэтом, учесть выражения для компонент тензора деформации (1.5.24), то граничные условия на боковой поверхности запишутся в виде [67]i U ii V ii V iс66с66с12U i1 2 2  1  X* ,iiix y x y2с112с112с11i U ii V ii U iс66с66с12V i1 2   2  Y* ,i yi xi x 1y2с222с222с22сi W iW i 1  44i 2  Z* ,x y2с55в которых приняты обозначенияХ 1i M zi  1  0.5( с15i y 1  с46i x 2 ) x  с13i с11i i W iWii 0.5 с15 1  с46 2    11 1T i  ,xyY  1i M 2i  2  0.5( с25i Y 2  с46i X 1 ) Y с23i с11 i W iW i ii с25i 0.5 с25 2  с46 1    22 2T i ,xy(1.6.2)(1.6.3)66Z 1i M zi  1  0.5( с55i y 1  с44i x 2 ) Z с35iс55 i U ii U i   i V ii V i ссi4646  с151  2    с251  2    13 1T i  .x2 yy2 x Здесь, кроме того, обозначеноPi (М zi  а330iI 00M10iI 20xM20iI 02iy )  0.5a35Mt0iI 02y.(1.6.4)Специальная форма граничных условий (1.6.3), (1.6.2) относительно составляющих Ui, Vi, Wi (i=1,2,...,N), выбрана с целью перенести вправо члены, обусловленные взаимодействием сдвиговых и продольно-поперечных деформаций.

Действиi и c46i равны нулю (i=1,2,3), что реализуется прительно, если параметры c45 i  00 или  i  900 (i=1,2,...,N), то Х и Y зависят только от изгибающих моментов М1, М2 , и тем самым, обуславливают возможность раздельного представления граничных условии для функции Ui, Vi, Wi. Левые части условий (1.6.2),(1.6.3) характерны для задачи изгиба [16] и кручения анизотропных стержней [1],[3].1.6.2. Условия на поверхностях контакта анизотропных слоевмногослойного стержняИз условия совместности перемещения и равновесия бесконечно малого элемента, находящегося в окрестности линии раздела Lkj анизотропных слоев Rk иRj, следуют кинематические условия [67,120]U k U j ,V k V j ,W k Wи статические соотношения     j(1.6.5)i11i  11j  1   12  12j  2  0 ;i22j  22i13  13j2i12  12j1 0;1i23j  232 0.(1.6.6)67Здесь  1  cos(  kj , x ) = y / s,  2  cos(  , x )  x / s направляющие косинусы нормали  kj ;  kj - направление нормали к линии раздела слоев Rk, Rj; s – дугалинии Lkj (см.