Диссертация (Стержневые и полупространственные модели деформирования слоистых закрученных изделий в поле стационарных и нестационарных нагрузок), страница 12

рисунок 1.3.5). После подстановки в (1.6.6) физических зависимостей (1.3.4) с учетом выражения (1.5.24), граничные условия на поверхностях контакта слоев запишутся в видеk(с11jkjkU kV kj Uj Vk Vk U ( с11 с11 с11)  [с66)xxyy 1yxj( с66kjU j V jj Wk Wk M zk  с13 j M zj )] 2  [0.5(с15 с15)  с13yxxx11k T kk(с12k [0.5(с46jW kj Wk  с46 j ) x] 2 , с46)  0.5(с46yyjkjkU kV kj Uj Vk Vk U ( с12 с22 с22)  [с66)xxyy 2yxj( с66(1.6.7)U j V jW kW jkj k  с46 j ) x] 1 )] 1  0.5[с46 с46 (с46yxyyk [0.5(с25k( с3511j T j ] 1jW kj Wk k k M zk  с23 j M zj   22 с25)  с23T   22j T j ] 2 ,xxjkjW kj Wj Wk W с35) 1  0.5( с44 с44) 2 yyxxjkjkjU kj Uj Vj Uk Vk U с15 с25 с25)  0.5[ с46 с46xxyy 1yykjj Vk Vk  с44 j ) x ] 2  с46 с46 0.5(с44(1.6.8)xxk ( с15k kk M zk  с35 j M zj  (с55k  с55 j ) x  13 [с35T  13j T j ]1 ,U k U j , V k V j , W k W j ,(1.6.9)где M zk определяется из выражения (1.6.4).Если параметры cji5 и cji6 равны нулю (i=1,2,3), что реализуется при  i =0или  i  900 (i=1,2,...,N), то U k  U j , V k  V j , W k  W j ,68k(с11jkjkU kV kj Uj Vk Vk U ( с11 с12 с12)  0.5[с66)xxyy 1yxUj( с66V jk k j M z* j  с13k M z*k  11j T j  11)] 2  (с13T ) 1 ,yxk(с12jjkjkU kV kj Uj Vk Vk U ( с12 с22 с22)  0.5[с66)xxyy 2yxUj(_ с66V jk k j M z* j  с23k M z*k   22j T j   22)] 1  с23T ] 2 ,yxk(с55jW kW jW kW jjkj с55) 1  (с44 с44) ххуу 2k kk  с44 j ) x 2  [0.5(с55k  с55 j ) y  13j T j  13 0.5(с44T ] 1 ,где M *z k определяется из выраженияi (М z*k  a33P0kI 00M10kI 20xM20kI 02y) .(1.6.10)Выбранная форма граничных условий (1.6.7), (1.6.8) обуславливает возможность раздельного определения граничных условий для функций Wi и функций Ui,Vi.

Действительно, условия (1.6.7) зависят только от изгибающих моментов М1, М2характерные для задач изгиба [16], а условие (1.6.8) от значения , что характернодля задачи кручения анизотропных стержней [3].1.6.3. Условия на торцевых поверхностях контакта многослойного стержняНа торце z=const. граничные условия обычно для стержней выполняются интегрально [3], [58]. При этом  zz dF  P,  x 33 dF   M 1 ,  y 33dF  M 2 ,FFF  13 dF  0,   23 dF  0,  ( x 23  y 13 )dF  M t .FF(1.6.11)FПервые три условия и частично последнее учтены при выборе формы функций, характеризующих перемещение, заданное соотношением (1.5.23).69Для отдельного слоя интегральные зависимости (1.6.11) могут быть выписаны с учетом жесткости слоя [52] –i  zz dFiFiiy 33dFi0iI 100iI 000c33 I 00Fiixст0ii I 00c33,P , 0yст c33 I 00Fii0ii I 00yстc33iyстix 33dFii0ii I 00xстc330xст c33 I 00M1,iiM 2 ,  ( x 23 y 13)dFi FiCiMt ,C0iI 010iI 00где Сi – жесткость на кручение по Сен-Венану i–го слоя.При получении соотношений (1.6.2), (1.6.3) использован прием, рекомендованный в работах [2], [3], [54].

В этих работах используется выражение компоненттензора напряжения 33 , найденное из третьего уравнения системы (1.3.4). Соответствующему подинтегральному выражению из (1.6.11) добавляется левая частьуравнений равновесия предварительно умноженная на х, у или их степени и произведения. В результате можно заменить интеграл по поверхности интегралами отобъемных и поверхностных сил, распределенных по контуру сечения. Считаяобъемные и поверхностные силы равными нулю, можно установить справедливость первых пяти равенств (1.6.11).

Последнее условие (1.6.11) дает необходимоеконтурное выражение для функции перемещения Wi. Действительно, если в этиiiуравнения подставить выражения  13и  23из (1.3.4), в которых использованызависимости Коши (1.5.24), то оно записывается в виде [F1 i W i )]dF  M ,( yW i ) ( xc44xc55 y(1.6.12)где приведенный крутящий момент М  M Mtс550i 0.5((I 02iс44с550iI 20)iс35с55iM zzi13с550i iI 01T i i i V i с46i V iс15с46с25ii  [2( yU ) ( xU )]dFi   (2x)dFi .с55 xс55 yс55 y с55 xFiFiВ (1.6.13) приняты обозначения(1.6.13)70iМ zz0ii I 01 ( 0i a33I 00P0iI110iI 20i M t ,M 1 )  0.5a33(1.6.14)0i 0i0iгде I01– центро, I 10 - статические моменты инерции относительно оси у и х; I11бежный момент слоя i.Для решения задачи о кручении слоистого стержня, необходимо найти функции Ui, Vi, Wi, удовлетворяющие одновременно как дифференциальным уравнениям равновесия (1.5.26), (1.5.28), так и граничным условиям (1.6.2)-(1.6.6) и(1.6.12).

Особенностью этих уравнений является то, что из-за связанности кручеi (i=1, 2,3) отличны от нуля) приходится одния и изгиба (коэффициенты сji5 и с46новременно решать систему трех дифференциальных уравнений (1.5.26), (1.5.28).i  0 , система уравнений (1.5.26), (1.5.28)Только тогда, когда параметры сji5  с46расщепляется на задачи чистого кручения и чистого изгиба.

В дальнейших исследованиях рассматривается задача о кручении анизотропного слоистого стержняпри выполнении условий на боковой поверхностиХ  У  Z  0(1.6.15)Р  М1  М 2  0(1.6.16)и на торцахстержня. В результате решения поставленной задачи определяются функции Ui,Vi, Wi и по формулам (1.5.24) деформации в слое i, что позволяет в соответствии ссоотношениями (1.3.4) оценить НДС слоя. Однако решения поставленной задачив полном объеме представляет определенные трудности. В связи с этим, нижепредложен метод получения приближенного решения с помощью представлениярешения в виде ряда по степеням малого параметра.1.7.

Разработка метода решения полученных уравненийi c55 , cji5 c55 (i=1,2,..., N) оказываетсяВ тех случаях, когда отношение c46меньшим 1, то, следуя работам [44], [45], [53], в которых использовано разложе-71ние в ряд по малому физическому параметру, можно ввести один малый параметр [67,120]=Sup{ij}(1.7.1)при данном значении угла (см.

зависимости (1.3.7)). В (1.3.4) параметр жесткостиявляется эффективным параметром упругости сечения. В таблице 1.7.1 приведенызначения параметра  меньше 1. В этом случае решение уравнений (1.5.4), (1.5.5)при граничных условиях (1.6.2)-(1.6.6) и (1.6.12) удобно отыскивать для каждогослоя i в виде степенного ряда [67,120]~U i    i jU ij ,j 0~~V i    i jV ji , W i    i jW ji .j 0j 0(1.7.2)Если принятую форму решения (1.7.2) подставить в уравнение (1.5.28), тооно принимает видi  2  ~ i~ i   2 C44W  S j ,D1W j   2  i2 jxCy55(1.7.3)в котором2 ~iii a33i  2 с46i  2  ~ i с46i  2с55i  V jс35M 1 1  с15U S j  2  2 i i. (1.7.4)ii22 jixyс55 J1сxсyс5555 55В равенстве (1.7.4)  1j символ Кронеккера.~ ~Если функции V ji , U ij были предварительно определены, то уравнение (1.7.3)~является неоднородным дифференциальным уравнением относительно W0i .

Если~же j=0, то S0=0 и для определения W0i получается однородное уравнение.Из соотношений (1.6.12) и принятой формы решения (1.7.2) находится условие ~i  yWi ~ i   с44j  сi xW j dF  M t j ,yi 1Fi   x 55N(1.7.5)которому должно удовлетворяться найденное решение уравнения на контуре L.~~На линиях раздела Lik слоев Ri и Rk должны выполняться условия, W ji  W jk72~i~k i Wji Wj c c55 55  xx~i~k   ci  W j  ci  W j44 1  44  xx  Z~ n Z~ k  0 ,i 2 i(1.7.6)в которых приняты обозначения~iiZn = c35i M zi  1  0.5 c55i y 1  c44x 2  o ~i  i  U~ ij 1  U~ ij 1  V~ji1 Vj1ii  0.5c  .  c15 c25146xy  x  2 yТаблица 1.7.1 - Значение параметра Название материала и источникBAL [36]Стеклопластик [32]СFRP [34]Углепластик [33]i 15 0 300 45 0i / с55iс150.350.07-0.7iс25/ с55i0.310.50.53iс46/ с55i0.070.110.17iiс66/ с110.20.220.2i / с55iс150.410.310.02iс25/ с55i0.230.310.24iс46/ с55i-0.03-0.03-0.04iiс35/ с55-0.41-0.22-0.02i / с55iс15-0.08-0.37-0.7iс25/ с55i-0.02-0.02-0.02iс44/ с55i0.510.310.27iс46/ с55i0.020.020.02i / с55iс15-0.15-0.45-0.8iс25/ с55i-0.05-0.05-0.04iс44/ с55i0.410.210.11iс46/ с55i0.020.020.02Здесь, M zi - определяется из выражения (1.6.4),  1 ,  2 - направляющие косинусы нормали  к линии раздела L слоев Ri и Rk.

В (1.7.5) правая часть определяется равенствомMciii 1i M zzM tj   i t  0.5 J 2i  44i J 1i   13S xT i  0j  c35j c55  c5573   c15i ~ i    c46i ~ i   2yUxU j 1 d Fi j 1 iixyccFi  55 55(1.7.7) c25i ~ i    c46i ~ i    i yV j 1  xV j 1 d Fi ,iyFi  c55 c55iгде M zzопределяется из выражения (1.6.14). Правая часть условия (1.7.5) такжекак и правая часть уравнения (1.7.3) может быть найдена, если будут предвари~~тельно определены функции U ij 1 и V ji1 для каждого слоя i. При j=0 выражениеMt0 зависит от заданного крутящего момента Мt и параметра кручения . Такимобразом, при j=0 должно быть найдено решение задачи о чистом кручении(1.6.16).~ ~Если решение отыскивается в виде (1.7.2), то функции U ij , V ji в соответствиис уравнениями (1.7.3) и (1.7.8) должны быть определены в результате решениясистемы неоднородных уравнений [67,120]~2 ~i2 ~i 2U ij c66i  U j c12i  c66i  V jQ j ,i  y 2i  x y x22c112c112 ~i2 ~i2 ~ii  c66i  U j c66i  V j  V jc12 i Tj ,i  x y 2c22  x22c22 y2(1.7.8)в которых правые части определяются из равенств~ i22 ~i  i  2Wii a33i  c55i  W j  1 c13c46M 1 0 c55jQj  j  i  i i,i J 1i  c55  x2  y 2 x 2 c112c11c55Tj i M t  2a33i M 2a35i J 2i2c22~i i  iii  2Wccccj 1 14646i  0j  55  25–c23.ji  2c55ii  x  y c112c55Таким образом, если функции предварительно определены, то уравнения(1.7.8) должны быть решены при следующих граничных условиях:а) На контуре L~ii  U  U~ ij ci  V~ji cj6612  i1i  x c11  y    yc11~i~i ci  U~ iji   U j  V j c66 1   12ii   y c22 x  c11  x74~ V ji  2  M 1i j , x ~ V ji  2  M 2i j , y (1.7.9)в которых введены дополнительные обозначения c13ii  c15iic15c46ii i0  i M t  11T  1 j  i  i y 1  i x 2  1j   c55c11c55 c11~~i  c15i W j1i W j1 c55c46 i1  i2 ,  c55i  x yc11c55M 1i j(1.7.10)M 1i j c23 0 c55ii  c25iic46iii  i M t  1   22T  2  j  i  i y 2  i x 1  1j   c55c22c55 c22ic55 ic22~~i W ci Wcj1j 145 25. c i  x 2 c i  y 1 55 55В (1.7.10)выражениеM ziопределяется из отношений (1.6.4), а 1  cos(  , x ),  2  cos(  , y ) - направляющие косинусы нормали к контуру L.б) На поверхностях контакта Lik слоев Ri и Rk.~k~i~k  i  U~ ijUVVjjj  ckiki M 1i j  c11k M 1k j  c11 c12 c12 1  c1111xxxy ~k~i~k  i  U~ ijUVVjjj iik 0.5 c66 c66 c66 c66  0, 2yyxx(1.7.11)~k~i~k  i  U~ ijU jVjV j kik0.5 c66 c66 c66 c66  2yyxx~k~i~k  i  U~ ijUVVjjj iikkkik M 2 j  c22 M 2 j   c12c22 c12 c22 c22  0, 2xxyyгде  1  cos( ik ,x ),  2  cos( ik ,y ) - направляющие косинусы нормали  ik к линиираздела Lik слоев Ri и Rk .