Диссертация (Стержневые и полупространственные модели деформирования слоистых закрученных изделий в поле стационарных и нестационарных нагрузок), страница 10

С помощью соотношении (1.4.1) и (1.4.2), можно получить относительную величину потенциальнойэнергии от сдвиговых и трансверсальных составляющих yz  yz /(  zz zz )  ( h /  )2 Ez / G yz ,(1.4.3) yy  yy /(  zz zz )  ( h /  )4 Ez / E y .(1.4.4)Из формул (1.4.3) и (1.4.4) видно, что для тонких стержней (h/  <0.1), поправка от трансверсальных напряжений мала, так как вклад от них в потенциальную энергию системы не превышает 0.1%.

Вклад от касательных напряженийоценивается величиной 5-10%.Следует заметить, что действительно  yy ,  yz ,  xy значительно меньше напряжений  zz ,  xx ,  xz и поэтому вполне допустимо считать их пренебрежимомалыми. Однако, пределы прочности на межслоевой сдвиг или предел прочностипри поперечном растяжении слоистых КМ низки и поэтому малые значения yy ,  yz ,  xy могут определять работоспособность конструкции. В связи с этимопределение реализуемых значений  yy ,  yz ,  xy представляется важным.1.5. Определение физико-геометрических характеристик многослойныхструктур закрученного анизотропного стержня1.5.1 Математическая модель предварительно закрученногонеоднородного стержня произвольного сечения1. Геометрическая характеристика стержня.

Протяженный вдоль однойпространственной кривой Г конструкционный элемент называется стержнем.Кривая Г именуется осью стержня. Ось стержня может быть прямой или криво-52линейной. Стержень можно представить в виде тела, которое образуется при движений плоской фигуры вдоль оси Г.

Если при этом движении плоская фигура дополнительно вращается вокруг оси Г, то образуется естественно-закрученныйстержень (рис.1.5.1).Рисунок 1.5.1 - Схема закрученного стержня.Одной из важных особенностей стержня является то, что основная нагрузкаимеет направление, практически совпадающее с осью стержня.Криволинейный естественно-закрученный стержень изучают в некоторойпрямоугольной неподвижной системе координат ( K0 ) OX i (i=1,2,3) (на рис. 1.5.1система OXYZ). Уравнение оси Г недеформированного стержня задается в видеr 0 ( s)  xi0 ( s)Эi , (i  1,2,3)(1.5.1)в котором xi0 ( s) является координатами текущей точки Р; Эi - единичные ортысистемы К0; s - скалярный параметр, соответствующий длине дуги, отчитываемойот начальной точки 0.Наряду с неподвижной системой координат К0 может быть использована связанная с осью стержня подвижная система координат ( K р ) px i (i  1,2,3) (нарис.1.5.1 система P ).

Ортогональный триэдр ei единичных векторов в системеКр предполагается совпадающим с направлениями касательной ( e2 ) и бинормали( e1 ) . Положение системы Кр относительно К0 определяется из равенства53ei   ij ( s)Эi ,(1.5.2)в котором 3 j  x 0j , s ; 1 j  x 0j , ss ;  2 j  emnj xm0 , j xn , ss ;0  1 / r, 0ss ;  0  r,s0  r,ss0  r,sss/  2.(1.5.3)Здесь  - радиус кривизны;  0 - начальное кручение оси стержня; emnj - элементы кососимметрического тензора [46]. Нетрудно видеть, что компоненты,метрического тензора  ij являются функциями длины дуги s.Плоская фигура, ограниченная боковой поверхностью стержня и лежащая внормальной к его оси Г плоскости, называется поперечным сечением в точке Р (Рсечение).

Произвольная точка М в Р-сечении стержня имеет координатыrM  rР0 (s)  rM  rP0 (s)   (M )e (s)(1.5.4)Здесь rM - радиус вектор точки М в подвижной системе координат Кр, греческие индексы принимают значения 1, 2 и по одинаковым индексам подразумевается суммирование. Если стержень незакрученный, то значениями параметров s,x , x определяются координаты произвольной точки М.1 2Закрученный стержень образуется путем поворота Р-сечения относительнооси стержня на угол , равный = (s).(1.5.5)Здесь параметр  в общем случае является функцией длины дуги и характеризует относительный угол закрутки [47-[49].При указанном повороте местная система координат Кр преобразуется в новую систему координат Кх с ортами n i [50]. Единичные векторы n i определяютсяиз равенствni   ij e j ,  33  1,  31  13   23   32  0 ,11   22  cos(   s ),  21  12  sin(   s ).(1.5.6)С помощью соотношений (1.5.3), и (1.5.6) устанавливается связь локальнойКх и неподвижной К0 систем координат54ni   ij Э j  im mj Э j .(1.5.7)Координаты произвольной точки М в Р-сечений закрученного стержня определяются из равенстваrM  r 0 ( s )  x ( M )n ,(1.5.8)через длину дуги s и независимые параметры х1(М), х2(М).Если размеры сечений изменяются пропорционально скалярному параметру(s), то координаты произвольной точки М Р-сечения определяется из равенствrm  rp0 ( s )   ( s )x ( M )n .(1.5.9)В этом случае вместо ij удобно использовать учитывающие изменения размеров нормирующие множителиn   ( s )k ,  3 j   j 3  3 j , (  , k  1,2; j  1,2,3 ) .(1.5.10)При этом единичные орты ni местной системы координат Кх определяютсяиз выраженияni  gij Э j  lim mj Э j ,(1.5.11)а радиус-вектор произвольной точки М в системе К0 из соотношенийrM  rР0 ( s )  x ( M )gj Э j  X j Э j , X j  x0j  x ( M )gj .(1.5.12)Для стержней, изготовленных из неоднородного в сечении материала (например, композиционного), целесообразно использовать локальную систему координат, связанную с физико-геометрическими характеристиками сечения.

Способ введения такой системы координат будет обсуждаться ниже. Здесь необходимо отметить некоторые особенности строения поперечного сечения изготовленных из композиционных материалов стержней.1.5.2. Определение слоистой структуры по длине многослойного стержняСтержни из КМ могут изготавливаться из отдельных жгутов, слоев ленты илиткани. В этих случаях сечения стержня имеет слоистую регулярную структуру.

Всвязи с этим для стержней постоянного и переменного сечения возникает специ-55фическая для армированных стержней задача – задача укладки в сечении слоевпостоянной толщины. Так как размеры сечений могут меняться вдоль длиныстержня, то и число слоев в каждом сечении будет различным. В плоскости, содержащей ось стержня, отдельно слои представляются в виде лепестков. В связи сэтим возникает технологическая задача раскроя таких лепестков.

На рисунке 1.5.2представлена компрессорная лопатка с различным образом уложенных слоев.Рисунок 1.5.2 - Построенные слои поперечных сечений компрессорной лопатки; номерасечений лопатки соответствуют сечениям, удаленным от ее корневого сечения.Расположение отдельных слоев в сечении стержня определяется толщиноймонослоя ленты или ткани и наружной конфигурацией сечения. Для стержня произвольного сечения методика расчета координат для каждого слоя разработана вработе [51, 68, 89, 96]. Предложен алгоритм и он реализован для расчетов на ЭВМс помощью алгоритмического языка Фортран [51, 68, 89, 96]. Входными парамет-56рами программы являются координаты линии, ограничивающие отдельное плоское сечение.

Эта линия разбивается на две части (условно называемые впредь«спинка», «корытце»), к которым прилегают два наружных в сечении слоя. Координаты наружной поверхности слоя заданы. Строится геометрическое место точек удаленных от наружной линии на величину, равную толщине монослоя (рис.1.5.2) [51] (см. Приложение 1).а)б)Рисунок 1.5.3 - Лепестки а) спинки б) корытца компрессорной лопатки из восьми сечений.Построенные координаты считаются наружной линией следующего слоя ивновь повторяются в процессе построения координат внутренней линии текущегослоя. Так продолжается до тех пор, пока не выбирается вся толщина плоской фигуры.

Движение идет с двух сторон – со стороны «спинки» и со стороны «корытца». Это предопределяет появление коротких слоев внутри сечения (см. рис. 1.5.3)[51].Наиболее сложным в алгоритме является процесс построения начала и концакаждого слоя. Такие построения проводятся для ряда следующих друг за другомсечений.

Взятые из разных сечений координаты начала и конца одного слоя образуют координаты одного лепестка, т.е. позволяет решить сформулированную за-57дачу раскроя слоев ленты, ткани [126, 242]. Более подробное описание алгоритмадано в приложении 1. Здесь на рисунке 1.5.4 приведен ряд сечений типичныхстержней и с помощью графопостроителя построены результаты расчетов координат слоев.Каждый слой представляет собой трансверсально-изотропное или ортотропное тело. Так как направление осей симметрии материала не совпадает с осямикоординат стержня и может меняться от слоя к слою, то физико-механическиесвойства слоев могут отличаться друг от друга.

В связи с этим возникает необходимость определения приведенных механических характеристик поперечного сечения.Рисунок 1.5.4 - Машинный раскрой по точкам сечения ромбовидной формы и авиационного профиля слоистого сечения.1.5.3. Расчет физико-геометрических характеристик сеченийанизотропного слоистого стержняНаиболее часто используются следующие геометрические и физикогеометрические характеристики сечения стержня [63]kI mn  H k ( x , y )x n y m dxdy .F(1.5.13)58Здесь показатели степеней m и n должны удовлетворять условию 0m4,0n4 (0n+m4), а физико-механические свойства H k ( x , y ) содержат различныепараметры (например, модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль сдвига,коэффициент линейного расширения и т.д.) в зависимости от номера k.

При k=0H 0 ( x , y ) =1 и интеграл (1.5.13) определяет геометрические характеристики сече0ния стержня. При k=m=n=0 интеграл I 00равен площади поперечного сечения,0т.е. I 00=F.В пункте 1.5.2 показано каким образом сечение стержня представляется в виде отдельных слоев. Ниже описан алгоритм численного интегрирования соотношений (1.5.13). Предполагается, что материал каждого слоя может отличаться отматериала других слоев своими физико-механическими характеристикамиH k ( x , y ) . Возможные при этом разрывы подынтегральной функции в (1.5.13)обуславливают представление интеграла (1.5.13) в виде суперпозиции интегралов,взятых по площади Fi каждого слоя.

При этом интеграл (1.5.13) представляется ввидеKckiI mn  H ik ( x , y )  J mn,i 1iJ mn  x n y m dxdy .(1.5.14)FiЗдесь Кс – число слоев и интегрирование осуществляется по площади Fi текущего слоя стержня, в котором H k ( x , y ) =const .Каждый слой ограничен совокупностью ломаных линии у «спинки» и у «корытца». На вершинах этих ломаных строятся треугольники  (=1,2,…;), полностью перекрывающие площадь слоя Fi ( FiМi  i 1мiis , Q s  x n у m dxdy .J mn   x n у m dxdy   Qmnmns 1Fis) (см. рис.1.5.5). При этом(1.5.15)Здесь Мi – количество треугольников в i-ом слое. Отдельный треугольник АВСимеет координаты вершин А( х1 , у1 ), А( х2 , у2 ), А( х3 , у3 ), которые выбраны так,59что при обходе АВСА треугольник остается слева. Геометрические характеристики треугольника АВС находятся из соотношений (см.