Диссертация (Стержневые и полупространственные модели деформирования слоистых закрученных изделий в поле стационарных и нестационарных нагрузок), страница 51

Ранее (соотношения (П1.7), (П1.8),(П1.10)) были найдены координаты первой точки K mi 1 строящегося у "корытца"слоя. Только в случае, определяемом равенствами (П1.10), точка K mi 1 лежит налинии "корытца", а не на расстоянии tc от нее. В этом случае проверяется удаленность точки K mi 1 от прямой K m K m  1 . При этом одним из непременных условиидолжно быть  mk   mk  1,i  1   mk  1 .Если расстояниеd   mk   mk  1 (  mk , j  1   mk )  (  mk   mk  1 )(  mk , j  1   mk ) rm ,m  1 ,rm2,m  1 (  mk  mk  1 )2 (  mk  mk  1 )2(П1.17),окажется меньше tc толщины монослоя, то рассматривается следующая точкаС ij11 , координатам которой придается K mi 11 .

Если расстояние (П1.17) превыситзначение tc, то отыскивается пересечение прямой K mi 1 K mi 11 с прямой, параллельной стороне K m K m  1 и отстоящей от нее на расстоянии tc (рис.П1.9). Координатыуказанной точки находятся из равенств333~ mk 1,i  1  (  mk  1  S   mk  1,i  1   R k ) /(  k   ),~~mk  1,i  1   mk  1,i  1   (  mk 1,i  1   mk  1,i  1 ),(П1.18)где~  (  mk  1,i  1   mk ,i  1 ) (  mk 1,i  1   mk  1,i  1 ) ,  k  (  mk  1   mk ) (  mk  1   mk ) ,R   mk  tc (  mk  1   mk ) rkm ,2S   mk  tc (  mk  1   mk ) rkm , rkm (  mk  1   mk )2  (  mk  1   mk )2 .~~Далее сравнивается абсцисса точки K mi 11(  mk 1,i  1 ,~mk  1,i  1 ) с абсциссами то~~чек K mi 1 и K mi 11 .

Если  mk 1,i  1   mk   mk  1,i  1   mk 1,i  1 , то точке K mi 1 придают-~~ся координаты K mi 11 (  mk 1,i  1 ,~mk  1,i  1 ) . В противном случае точка K mi 1 будетиметь координаты (П1.18). Одновременно к точке K mi 1 подтягивается точка C ij11 .Если~k~~ ~ m1,i1   cj ,i1   cj 1,i1   mk1,i1 , то C ij1  K (  mk1,i1 ,~mk 1,i1 ) , в противном слу-~чае C ij11  K mi11 .i 1Рисунок П1.9 - Первая точка K m нового слоя “корытца”Таким образом, строится в рассмотренных случаях точка K mi 1 удаленная отлинии "корытца" на расстоянии tc и являющаяся первой. Если ранее была установлена точка K mi 1 , то точка K mi 11 строится также как и при построении слоя у"спинки".

После того, как координаты новой точки K mi 11 до соответствующего поабсциссе участка нового слоя, построенного у "спинки". Также как у входнойкромки оформляется точка пересечении ломанных С j C j  1 и K m K m  1 у входнойкромки. Тем самым, завершается построение прилегающих к "спинке" и "корыт-334цу" слоев.Рисунок П1.10 - Номеры точки начала и конца слоев “спинки” и “корытца”.

Сп(i,1), Ко,1),(Сп(i,2), Ко(i,2)) – номер точки начало (конца) i-го слоя “спинки” и “корытца” соответственно;Сп(i,3), Ко(i,3), (Сп(i,4), Ко(i,4)) – номер точки пересечения начало (конца) i+1-го слоя “спинки”i-ым слоем “корытца”для “спинки” и “корытце” соответственно.После построения множества точек Cj и Km, окаймляющую внутреннюю поверхность нового слоя у "спинки" и "корытца", соответственно, их координатыявляются исходными для установления координат следующего слоя. Это продолжается до тех пор, пока не будут найдены координаты всех возможных слоев Кс врассматриваемом сечении профиля.

После построения слоя уточняются координаты пересечения нового слоя со старым слоем "корытца", а также начало и конецкаждого слоя "спинки" и "корытца" (рис. П1.10).Здесь необходимо отметить процесс построения начала и конца каждого слоя"спинки" ("корытца") со старой линией "корытца" ("спинки") и определяются независимо друг от друга.Такой порядок нумерации, во-первых, позволяет свести разность номеров узловых точек к минимуму. Например, для эллипса и авиационного профиля, максимальное значение разности узловых номеров, среди 1300 и 1678 точек, было 4 и6, а для ромба с 1260 точками составляло 2. Следовательно, при решении различных задач МКЭ, автоматически получается оптимальная ширина ленты матрицы335жесткости системы [51, 63]. Координаты и номера построенных точек сохраняются в памяти ЭВМ и при необходимости можно получить их изображение с помощью отдельной процедуры (рис.11).Рисунок П1.11.

Машинный раскрой по точкам сечения ромбовидной формы и авиационного профиля слоистого стержня336Приложение 2. Вывод формулы (1.5.16).y=d1x+b1  (1),y=d2x+b2  (2),y=d3x+b3  (3).dj=(yj+1-yj)/(xj+1-xj), bj=yj-djxj (j=1,2,3), если j+1=4, то j+1=1.D(3)B(2)m x y dxdy   x dx  y dy   x dx  y dy  I 1  I 2 ;n msAx3I1   x nx1n(1)mDn(1)1[( d 3 x  b3 )m  1  ( d 3 x  b1 )m  1 ] dx m1m 11 x3 n m  1 kk m  1 k kkk m  1 k kx(Cdbxx )dx  Cm  1d 1 b1m 1 3 3m  1 x1k 0k 0x31 m1 kk m1kk m1k(  C m1 ( d 3 b3 d 1 b1)  x n k dx m  1 k 0x11 m1 1C mk 1 ( d 3k b3m1k  d 1k b1m1k )( x3n k 1  x1n k 1 ),m  1 k 0 n  k  11 m1 1I2 C mk 1 ( d 2k b2m1k  d 1k b1m1k )( x2n k 1  x1n k 1 ).m  1 k 0 n  k  1sQmn I1  I 2 .337Вывод формулы (1.5.18).х=у/d1+1  (1),х=у/d2+2  (2),х=у/d3+3  (3).j= хj-уj/dj (j=1,2,3).sQmn(3)D(2)D(1)B  x y dxdy   x dx  y dy   x n dx  y m dy .n ms(1)nAm338Приложение 3.339Приложение 4.

Определения центра изгиба произвольного слоистого сеченияВ главе 1 (см. п. 1.5.3) приведены соотношения, позволяющие вычислить рядгеометрических характеристик и центр тяжести поперечного сечения слоистойортотропной лопатки (см. рис. П4.1).Рисунок П4.1 - Перо естественно закрученной лопатки и его поперечное сечениеЕсли относительно местной системы координат (ξ,η) интегралы по площади Fсечения видаS  dF , S   dF ,F(П4.1)F(статические моменты) обращаются в 0, оси (ξ1, η1) являются центральными; наих пересечении лежит центр тяжести сечения G.

Оси (ξ2, η2) относительно которых равен нулю центробежный момент инерцииI    dF ,(П4.2)Fа осевые моменты инерцииI    2 dF , I    2 dF ,F(П4.З)Fпринимают экстремальные значения, являются главными осями. Угол поворота αглавных осей относительно осей некоторой системы координат (ξ,η) определяетсяиз соотношения [125]tq 2 2 II  I (П4.4)Таким образом, при любом положении точки начала координат в сечении340возможно приведение осей координат к главным.Центр изгиба (жесткости) Т - точка, относительно которой момент касательных сил при поперечном изгибе равен нулю (рис. П4.1) [125, 233].

Если равнодействующая внешних сил проходит через центр изгиба сечения, при деформациистержня оно не испытывают закрутки. Координаты (ξиз, ηиз) центра изгиба в системе главных осей сечения определяются по известным зависимостям [49, 125]: из II, из II, I   dF , I   dF ,F(П4.5)FЗдесь I , I - центробежные бимоменты инерции, (, ) - функция депланации Сен-Венана [4] (функция кручения [3]). Она служит решением уравненияЛапласа (см. глава 3) 2(  , )  0(П4.6)и удовлетворяет для многослойного контура граничному условию на внешних ивнутренних контурах для производной по нормали  ,n [125]: ,n   cos( n, )   cos( n, ) .(П4.7)Кроме того, функция депланации выбирается так, что [4] dF  0.(П4.8)FДля численного нахождения перечисленных выше особых точек поперечногосечения слоистой лопатки в настоящей работе, в отличие от [234], [125], используется специально составленная программа на Фортане, где решается задача окручении методом конечных элементов для слоистых произвольных сечении (см.глава 3).

В рамках этого подхода с использованием стандартного алгоритма (аналогично триангуляции Делоне [235]) на плоском слоистом сечении строится послойно сетка треугольных элементов (см рис. П4.2).После построения сетки величины (П4.1)-(П4.4) вычисляется непосредственно суммированием по всем элементам слоя соответствующих подинтегральныхвыражений. Для нахождения координат центра изгиба и центробежных бимоментов (П4.5), уравнение Лапласа (П4.6) для слоистого ортотропного сечения решается МКЭ (см. глава 3), что позволяет найти значения функции депланации в уз-341лах плоской сетки конечных элементов в сечении лопатки и, после нормировкисогласно условию (П4.8), координаты центра изгиба (П4.5).Рисунок П4.2 - Сетка треугольных конечных элементов в сечении слоистой лопатки и расположение центров тяжести G и изгиба Т этого сеченияПроверка реализованного алгоритма нахождения центра изгиба обеспечивается выполнением условии (П4.8) и высокой точностью вычисления величины(П4.1)-(П4.4) с помощью специально созданной программой на фортране (см.п.1.5.3)Полученные результаты свидетельствуют о высокой точности реализованного алгоритма нахождения центра изгиба (погрешность не превышает 3%).

Упрощенная формула [125], построенная на представлении лопатки как тонкого листового профиля, проходящего через средние линии ее сечений, существенно менеепригодна для вычисления координат центра изгиба, так как полученные с ее помощью результаты разнятся с рассчитанными по методам конечных элементов на10-15%.342Приложение 5343Приложение 6.