Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 10

При x → x0 обычно берут1g(x) =, а при x → ∞ полагают g(x) = x. Как и в случае бесконечно малыхx − x0выделение главной части (и определение порядка роста) не всегда возможно.Примеры. 1. Функции ϕ(x) = arccos x и ψ(x) = 1 − x бесконечно малы при x → 1−(для ψ(x) это очевидно; равенство lim arccos x = 0 уже рассматривалось выше).

Опредеx→1−3лим порядок малости ϕ(x) относительно ψ(x). Имеемarccos xarccos cos t=lim= lim x→1− (1 − x)kt→0+ (1 − cos t)kt→0+limtt1 − 1 − 2 sin22k == limt→0+t2k · sin2kt2.1Ясно, что конечный отличный от нуля предел получается лишь при k = . При этом2значении k имеем√arccos xtlim √= 2.= lim √tx→1−t→0+1−x2 · sin2Для раскрытия последней неопределённости мы воспользовались теоремой о первом замечательном пределе. Итак, ϕ(x) = arccos x есть бесконечно малая порядка 1/2 посравнениюpс ψ(x) = 1 −√x при x → 1−.

Из наших вычислений следует также, чтоarccos x = 2(1 − x) + o(p 1 − x), x → 1−. Если в качестве ψ(x) взять бесконечно малую√√√√1 − x2 , то, поскольку 2(1 − x) ∼ 1 − x2 , arccos x = 1 − x2 + o( 1 − x2 ), x → 1−.При решении некоторых задач это равенство может оказаться удобнее предыдущего.2. Пусть a > 1, и пусть f (x) = ax , g(x) = x.

В дальнейшем будет доказано, что при любомaxk имеет место равенство lim k = ∞. Поэтому нельзя определить порядок роста f (x)x→+∞ xотносительно g(x); нельзя также выделить у функции f (x) главную часть вида A · xk приx → +∞.Теорема (о сумме бесконечно малых разных порядков). Пусть ϕ1 (x), . .

. , ϕn (x), ψ(x)— бесконечно малые при x → x0 функции, и пусть ki — порядок малости функций ϕi (x)относительно ψ(x), i = 1, . . . , n, причём числа k1 , . . . , kn попарно различны. Тогда суммаϕ1 (x) + . . . + ϕn (x) эквивалентна при x → x0 слагаемому минимального порядка относительно ψ(x).Доказательство проведём по индукции. При n = 1 нечего доказывать.

Пусть принекотором n > 1 утверждение теоремы справедливо, и пусть даны бесконечно малыеϕ1 (x), . . . , ϕn (x), ϕn+1 (x), ψ(x), удовлетворяющие условиям теоремы. Пусть (для определённости) kn+1 — минимальное среди чисел k1 , . . . , kn , kn+1 , а kn — минимальное средичисел k1 , . . . , kn . Тогда по предположению индукции ϕ1 (x) + . . . + ϕn (x) ∼ ϕn (x), x → x0 .Далее,ϕ1 (x) + . . . + ϕn (x)ϕ1 (x) + . . .

+ ϕn (x) + ϕn+1 (x)lim= lim+1 =x→x0x→x0ϕn+1 (x)ϕn+1 (x)ϕn (x)= 1 + lim= 1 + lim (ψ(x))kn −kn+1 .x→x0 ϕn+1 (x)x→x0kn −kn+1Последний предел равен нулю, т.к. ψ(x)→ 0 при kn > kn+1 . Таким образом,ϕ1 (x) + . . . + ϕn (x) + ϕn+1 (x) ∼ ϕn+1 (x) при x → x0 , и по индукции теорема доказана.Аналогичная теорема справедлива и для бесконечно больших функций: сумма бесконечно больших различных порядков эквивалентна слагаемому наивысшего порядка.√√√Пример. √Если x → +∞, то x2 + x + x ∼ x2 , 2x2 + x + 3 x ∼ 2x2 ; поэтомуx2 + x + xx21√√lim=lim=.3x→∞ 2x2 +2x + x x→∞ 2x2Мы пока не располагаем общими методами выделения главной части, поэтому болееподробно на этом способе вычисления пределов не останавливаемся.4кафедра «Математическое моделирование»проф.

П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 9.Непрерывность функции в точке: равносильные определения. Непрерывность суммы, произведения, композиции непрерывных функций.Свойства функций, непрерывных в точке.

Односторонняя непрерывность функции. Непрерывность функции на промежутке (на интервале, полуинтервале и отрезке). Непрерывность основных элементарных функций (док-во для многочлена и синуса). Точки разрывафункций, их классификация.ОЛ-1, пп. 9.1-9.3Пусть X ⊂ R, и пусть на X задана числовая функция f (x). Эта функция называетсянепрерывной в точке x0 ∈ X, если для любого ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое,что при всех x, |x − x0 | < δ, выполняется неравенство |f (x) − f (x0 )| < ε. Если x0 —изолированная точка множества X (т.е у этой точки имеется окрестность, не содержащаяточек множества X, отличных от x0 ), то в соответствии с этим определением функцияf (x) непрерывна в точке x0 . Например, последовательность {xn }, являющаяся, как известно, функцией натурального аргумента, непрерывна в каждой точке области своегоопределения (здесь для произвольного ε > 0 можно взять δ = 1/2).

Такая «непрерывность» интереса не представляет. Мы будем, в основном, применять понятие непрерывности к функциям, заданным на промежутках. Пусть I — промежуток, f : I → R, ипусть x0 ∈ I, причём x0 является внутренней точкой этого промежутка.

Очевидно, непрерывность функции f (x) в точке x0 означает, что lim f (x) = f (x0 ). Это равенство вx→x0рассматриваемом случае можно принять за определение непрерывности функции f (x) вточке x0 . Рассмотрим другой подход к определению непрерывности функции. Пусть сноваx0 — внутренняя точка промежутка I, на котором задана числовая функция f (x). Еслиx0 ∈ I, то приращением аргумента называют разность ∆x = x − x0 ; соответствующимприращением функции называют ∆f (x0 ) = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆x) − f (x0 ). Нетруднопроверить, что для непрерывности функции f (x) при x = x0 необходимо и достаточно,чтобы выполнялось равенствоlim ∆f (x0 ) = 0 .(1)∆x→0В самом деле, если функция f (x) непрерывна при x = x0 , то для любого ε > 0 существуетчисло δ = δ(ε) > 0 такое, что при всех x, |x − x0 | < δ, т.е.

при |∆x| < δ, выполняетсянеравенство |f (x) − f (x0 )| < ε, т.е. |∆f (x)| < ε. Это означает выполнение соотношения(1). Таким образом, условие (1) необходимо для непрерывности функции f (x) в точке x0 .Если же выполнено условие (1), то для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое,1что при всех |∆x| < δ, т.е. при |x − x0 | < δ выполняется неравенство |∆f (x0 )| < ε, т.е.|f (x) − f (x0 )| < ε, и по определению функция f (x) непрерывна в точке x0 .

Мы видим,что условие (1) не только необходимо, но и достаточно для непрерывности функции f (x)в точке x0 .Можно дать определение непрерывности функции, основанное на определении пределафункции по Гейне. Пусть, как и выше, функция f (x) определена на промежутке I числовой прямой, и пусть x0 – внутренняя точка этого промежутка.

Функция f (x) называетсянепрерывной в точке x0 , если для любой последовательности точек {xn } промежутка I ,для которой lim xn = x0 , выполняется равенство lim f (xn ) = f (x0 ). Рассмотрим некотоn→∞n→∞рые теоремы о локальных (т.е. определяемых поведением функции в сколь угодно малойокрестности соответствующей точки) свойствах непрерывных функций.Теорема (о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций).Пусть функции f (x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и непрерывныв этой точке.

Тогда в точке x0 непрерывны функции f (x) + g(x), f (x) · g(x) и f (x)/g(x);последнее — при условии, что g(x) отлична от нуля в указанной окрестности точки x0 .Доказательство вытекает из свойств пределов и определения непрерывной функции.Например, для частного рассматриваемых функций имеем на основании теоремы о пределечастного:lim f (x)f (x0 )f (x)x→x0=.=limx→x0 g(x)lim g(x)g(x0 )x→x0Отсюда непосредственно вытекает непрерывность функции f (x)/g(x) в точке x0 . Остальные утверждения теоремы проверяются аналогично. Теорема доказана.Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть функция f (x) определена вокрестности точки x0 и принимает значения в окрестности V (y0 ) точки y0 = f (x0 ), ипусть на V (y0 ) определена функция g(y). Тогда, если f (x) непрерывна в точке x0 , а g(y)непрерывна в точке y0 , то сложная функция g f (x) непрерывна в точке x0 .Доказательство проведём с помощью теоремы о пределе сложной функции (cучётом сделанного там замечания).

В силу непрерывности функции f (x) в точкеx0 имеем lim f (x) = f (x0 ) = y0 , а при y → y0 имеем g(y) → g(y0 ). Поэтомуx→x 0lim g f (x) = g(y0 ) = g f (x0 ) , т.е. g f (x) непрерывна при x = x0 . При этом треx→x0бование f (x) 6= y0 в проколотой окрестности точки x0 здесь можно отбросить, т.к. g(y)определена при y = y0 , и g(y0 ) = lim g(y). Теорема доказана.y→y0Теорема (о сохранении знака непрерывной функции). Пусть функция f (x) непрерывнав точке x0 , и f (x0 ) 6= 0. Тогда в некоторой окрестности точки x0 функция f (x) имеет знакчисла f (x0 ).Доказательство. Пусть для определённости f (x0 ) > 0.

Тогда, т.к. lim f (x) = f (x0 ),x→x0по теореме о сохранении функцией знака своего предела неравенство f (x) > 0 будет выполняться также и в некоторой окрестности точки x0 . Теорема доказана.Рассмотрим вопрос о непрерывности элементарных функций. Заметим сначала, чтоконстанта f (x) = c, x ∈ R, непрерывна в каждой точке x0 . В самом деле, для любого ε > 0возьмём δ = 1. Тогда, если |x − x0 | < δ, то |f (x) − f (x0 )| = |c − c| = 0 < ε, и исследуемаяфункция непрерывна. Очевидна также непрерывность функции f (x) = x; здесь для ε > 0берем δ = ε. Тогда, если |x − x0 | < δ, то |f (x) − f (x0 )| = |x − x0 | < δ = ε.

Заметим, чтодоказанная непрерывность рассмотренных функций равносильна равенствамlim c = cx→x0lim x = x0 .иx→x02(1)Теперь мы можем доказать непрерывность многочлена f (x) = an xn +. . .+a0 в любой точкеx0 , пользуясь теоремой о пределе суммы и произведения и равенством (1). Имеемnlim f (x) = lim (an x + .