Лекции с официального сайта кафедры ФН-12

кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 1.Введение в курс. Элементы логики. Высказывания и предикаты,операции над ними. Кванторы. Построение отрицания сложноговысказывания. Теорема как импликация. Прямая, обратная и противоположная теоремы, связь между ними.

Доказательство от противного. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.ОЛ-1 гл. 1.При изучении курса математики мы будем иметь дело с различными высказываниями.Высказыванием называют предложение, относительно которого имеет смысл говорить,истинно оно или ложно.Пример. Пусть имеются предложения:A = {дважды два — четыре},B = {семью семь — сорок семь},С = {всяк кулик своё болото хвалит}.Очевидно, A и B — высказывания.

Относительно предложения C этого сказать нельзя,во всяком случае до уточнения его смысла.Над высказываниями можно производить различные операции. Пусть A — высказывание. Отрицая то, что утверждается в A, мы получим новое высказывание. Отрицание ¬Aвысказывания A истинно, если A ложно и ложно, если A истинно. Из двух высказыванийA и ¬A одно всегда истинно, а другое ложно. Для высказывания A из рассмотренноговыше примера имеем¬A = {дважды два — не четыре}.Имея два высказывания A и B мы можем рассмотреть их конъюнкцию A &B, т.е.

высказывание, которое истинно, если истинны оба высказывания A и B и ложно во всехостальных случаях. Для фактического получения конъюнкции соответствующие предложения соединяют союзом « и ». Например, для высказываний A и B из рассмотренноговыше примера имеемA &B = {дважды два — четыре, и семью семь — сорок семь}.Очевидно, в данном случае A &B — ложное высказывание.1Дизъюнкцией A∨B высказываний A и B называют высказывание, которое ложно, еслиложны оба высказывания A и B и истинно во всех остальных случаях. Для получениявысказывания A ∨ B те предложения, с помощью которых выражены A и B, соединяютсоюзом « или ».

Например, для высказываний A и B из нашего примера получаем:A ∨ B = {дважды два — четыре, или семью семь — сорок семь}.Это — истинное высказывание.Рассмотрим ещё импликацию A ⇒ B, которая считается ложным высказыванием,если A истинно, а B ложно и истинным во всех остальных случаях.

При построенииимпликации используют двойной союз « если . . . то ». Например,A ⇒ B = {если дважды два — четыре, то семью семь — сорок семь}.Это — ложное высказывание. Зато высказываниеB ⇒ A = {если семью семь — сорок семь, то дважды два — четыре}истинно.Для дальнейшего нам потребуется понятие множества. В математике рассматриваютсамые разные множества: множества чисел, точек, геометрических фигур, букв и т.д.Всякое множество X состоит из элементов; запись x ∈ X означает, что x есть элементмножества X. Отрицание последнего высказывания записывают так: x ∈/ X.Рассмотрим следующие предложения:B = {x2 = 4}.A = {x = 2},Эти предложения высказываниями не являются.

Однако, если вместо x подставлять конкретные числа (т.е. элементы множества R действительных чисел), то мы будем каждыйраз получать высказывания. Такие предложения, зависящие от элементов x некоторогомножества X и превращающиеся в высказывания при подстановке вместо x конкретныхэлементов этого множества, называются неопределёнными высказываниями (по-учёному— «предикатами»).С помощью квантора общности ∀ из неопределённого высказывания A(x) можно построить высказывание∀xA(x),(1)которое считается истинным, если A(x) истинно при всех x (из множества X) и ложнымв противном случае (т.е. если A(x) ложно хотя бы при одном x ∈ X).

Квантор ∀ частоиспользуют для замены слов «для любого», «для всех», «любой» и т.п.Если в множестве X существует хотя бы один элемент x, для которого высказываниеA(x) истинно, то истинным считается и высказывание, полученное с помощью кванторасуществования ∃:∃xA(x).(2)Это высказывание считается ложным лишь в случае, когда A(x) ложно при всех x ∈ X.Квантор существования часто используют для замены слов «существует», «найдётся» ит.п.Отрицание высказывания (1) очевидно, заключается в том, что A(x) ложно хотя быпри одном x ∈ X.

Записать это можно так:∃x¬A(x).Мы видим, что при построении отрицания высказывания (1) можно действовать формально: надо заменить квантор общности квантором существования, а высказывание A(x)2— его отрицанием. Аналогичным формальным приёмом можно построить и отрицаниевысказывания (2):∀x¬A(x).В математике рассматривают различные теоремы. Часто теорема имеет вид∀x (A(x) ⇒ B(x)),(3)где x есть элемент некоторого множества X. Мы будем говорить, что теорема (3) справедлива, если для любого элемента x ∈ X, для которого истинно высказывание A(x) ,истинно также и высказывание B(x).

В записи (3) неопределённое высказывание A(x)называют условием теоремы, B(x) — её заключением.Пример. Пусть, как и выше, A(x) = {x = 2}, B(x) = {x2 = 4} ; в качестве X возьмёммножество R действительных чисел. При таких A(x), B(x) и X теорема (3) справедлива.На «обычном» языке эта «теорема» звучит так: если действительное число равно двум,то его квадрат равен четырём.В дальнейшем теорему вида (3) будем записывать короче:A ⇒ B.(4)В такой записи оба высказывания A и B называются условиями. При этом (в случае,если теорема справедлива) A называется достаточным условием B, а B — необходимымусловием A.Пример.

Теорему из предыдущего примера можно сформулировать так: для того,чтобы квадрат действительного числа равнялся четырём, достаточно, чтобы это числоравнялось двум. Но можно и по-другому: для того, чтобы число равнялось двум, необходимо, чтобы его квадрат равнялся четырём.

Если в этих формулировках слова ”достаточно” и ”необходимо” поменять местами, то мы получим неверные утверждения.Обратной теоремой для (4) называется теоремаB ⇒ A.(5)Если теорема (4) справедлива, то отсюда не следует, вообще говоря, что справедливаобратная теорема (5). Для теоремы из рассмотренного выше примера обратная теоремавыглядит так: если квадрат действительного числа равен четырём, то это число равнодвум. Ясно, что эта последняя теорема неверна.В случае, когда справедливы обе теоремы (4) и (5), их обычно объединяют в однутеорему видаA ⇔ B,(6)где символ ⇔ означает эквивалентность соответствующих высказываний.

При этомтакже говорят, чтоA необходимо и достаточно для B;A тогда и только тогда, когда B;A если и только если B;A в том и только в том случае, когда B;A равносильно B.Условие B называют в этом случае необходимым и достаточным условием A (и наоборот). Доказательство теоремы (6) должно состоять из доказательства необходимости,т.е. доказательства теоремы A ⇒ B и доказательства достаточности, т.е. доказательстватеоремы B ⇒ A.Иногда рассматривают ещё теорему ¬A ⇒ ¬B, которая называется противоположнойтеореме (4).

Нетрудно проверить, что в противоположной теореме утверждается то же3самое, что и в обратной теореме B ⇒ A. В самом деле, пусть обратная теорема B ⇒ Aсправедлива, и пусть ¬A истинно. Тогда A ложно, и из справедливости обратной теоремыследует, что B ложно, т.е.

¬B истинно, и теорема ¬A ⇒ ¬B справедлива. Обратно, пустьтеорема ¬A ⇒ ¬B справедлива, и пусть B истинно. Тогда ¬B ложно, а поэтому ложно и¬A. Следовательно, A истинно, и теорема B ⇒ A справедлива. Аналогично можно проверить, что теорема, обратная противоположной (или, что то же самое, противоположнаяобратной), т.е. теорема ¬B ⇒ ¬A, эквивалентна исходной теореме A ⇒ B.При доказательстве теорем часто применяют метод «от противного».

Чтобы доказать теорему A ⇒ B предполагают, что B неверно, т.е. справедливо ¬B, и приводятэто предположение к противоречию. Преимущество здесь достигается за счёт использования в рассуждениях дополнительного утверждения ¬B (надо было бы сказать «дополнительного истинного высказывания ¬B», но мы не будем слишком скрупулёзно следоватьтребованиям языка математической логики, поскольку это ведёт к тяжеловесным формулировкам).∗ Пример (здесь и далее звёздочками выделен необязательный материал). Докажемметодом от противного, что не существует рационального числа, квадрат которого равендвум. Предположим противное: пусть такое рациональное число p/q существует; приэтом мы можем считать эту дробь несократимой.

Если p2 /q 2 = 2, то p2 = 2q 2 , и число pдолжно быть чётным, т.е. p = 2r. Тогда 4r2 = 2q 2 , 2r2 = q 2 , и q — также чётное число.Таким образом, p и q — чётные числа, что противоречит несократимости дроби p/q, инаше утверждение доказано. ∗Если в теореме утверждается, что некоторое высказывание A(n) истинно при всехнатуральных значениях n, т.е. при n = 1, 2, 3, . .