Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 9

Поэтому для положительногоb2числанайдется δ > 0 такое, что при 0 < |x − x0 | < δ выполняется неравенство2b2b2b22|b(b + ψ(x)) − b | < , т.е. −< b(b + ψ(x)) − b < .2222Отсюдаb(b + ψ(x)) >b212, и 0<< 2.2b(b + ψ(x))bМы видим, что при 0 < |x − x0 | < δ функциявательно,bϕ(x) − aψ(x)b(b + ψ(x))1b(b + ψ(x))ограничена. Следо-есть произведение бесконечно малой (находящейся в числи-теле) на ограниченную функцию. Поэтому разностьx → x0 , и, следовательно, limx→x0f (x)a−g(x)bбесконечно мала приf (x)a= . Требуемое утверждение доказано. ∗g(x)b2Функция f (x), определённая в некоторой проколотой окрестности точки x0 , называется бесконечно большой при x → x0 , если lim |f (x)| = +∞. Аналогично определяютсяx→x0бесконечно большие функции и при других предельных переходах.Теорема (о связи между бесконечно большой и бесконечно малой).

Пусть функцияϕ(x) отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности точки x0 . Эта функция бес1конечно мала при x → x0 тогда и только тогда, когда функция f (x) =являетсяϕ(x)бесконечно большой (при x → x0 ).Доказательство. Необходимость. Пусть ϕ(x) бесконечно мала при x → x0 , и пустьзадано (сколь угодно большое) положительное число E. Возьмём столь малое ε > 0,11; тогда> E. Т.к. ϕ(x) бесконечно мала при x → x0 , то существуетчто ε <Eεδ = δ(ε) > 0 такое, что при всех x, 0 < |x − x0 | < δ, выполняется неравенство |ϕ(x)| < ε.По условиютеоремыϕ(x) отлична от нуля в проколотой окрестности точки x0 ; отсюда 1 1 > > E, т.е.

|f (x)| > E. Поэтому |f (x)| → +∞ при x → x0 , и f (x) явля|f (x)| = ϕ(x) εется бесконечно большой при указанном предельном переходе. Необходимость доказана.Достаточность доказывается аналогично. Теорема доказана.3кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 8.Сравнение функций при данном стремлении аргумента.

Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции. Теоремы обэквивалентных функциях. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций и её применение к вычислению пределов. Относительный порядок малости (или роста) функции при данном стремлении,выделение ее главной части. Теорема о сумме бесконечно малых разных порядков.ОЛ-1, пп. 10.1-10.3Пусть бесконечно малые при x → x0 функции ϕ(x) и ψ(x) отличны от нуля в некоторойϕ(x)= 0, то говорят, что бесконечно малаяпроколотой окрестности точки x0 .

Если limx→x0 ψ(x)ϕ(x) имеет более высокий порядок малости по сравнению с ψ(x), а ψ(x) имеет более низкий порядок малости по сравнению c ϕ(x). Записывают это так: ϕ(x) = o(ψ(x)), x → x0 .Последняя запись служит лишь для обозначения указанного соотношения между бесконечно малыми. Привычные свойства равенств могут при этом нарушаться. Например,очевидно, x2 = o(x) и x3 = o(x) при x → 0.

Отсюда, однако, не следует, что x2 = x3 . Еслиϕ(x)ψ(x)lim= ∞, то lim= 0, и на этот раз функция ψ(x) имеет при x → x0 болееx→x0 ψ(x)x→x0 ϕ(x)высокий порядок малости по сравнению с ϕ(x).ϕ(x)Если существует конечный отличный от нуля предел lim= C, то говорят,x→x0 ψ(x)что ϕ(x) и ψ(x) являются при x → x0 бесконечно малыми одного порядка и пишутϕ(x) = O(ψ(x)), обязательно указывая, при каком предельном переходе имеет место этоϕ(x)= 1,соотношение (в данном случае при x → x0 ). В случае C = 1, т.е.

если limx→x0 ψ(x)функции ϕ(x) и ψ(x) называют эквивалентными бесконечно малыми и пишут ϕ(x) ∼ ψ(x),x → x0 . Если при x → x0 не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношенияϕ(x), то говорят, что ϕ(x) и ψ(x) не сравнимы при x → x0 .ψ(x)Примеры. 1. При x → 0 имеем 1 − cos x = o(x), т.к.limx→01 − cos x= limx→0xxx2 x2x · sin2sin12 = lim x 22 = · lim x · lim x 22 = 0 .x→0x2 x→0 x→04·222 sin21√√2.

Функции ϕ(x) = √2 + x2 − √2 и ψ(x) = x2 являются бесконечно малыми одного порядка12 + x2 − 2x2√√√=. Отсюда следует, чтопри x → 0, т.к. lim=limx→0x→0 x2 ( 2 + x2 +x22)2 2√√x22 + x2 − 2 ∼ √ при x → 0.2 213. Бесконечно малые при x → 0 функции ϕ(x) = x и ψ(x) = x arctg не сравнимы приxψ(x)1указанном предельном переходе, т.к.= arctg не имеет ни конечного, ни бесконечϕ(x)xπ1π1ного предела при x → 0.

В самом деле, lim arctg = , lim arctg = − .x→0−x→0+x2x2Рассмотрим некоторые теоремы о бесконечно малых функциях.Теорема (о транзитивности отношения эквивалентности бесконечно малых). Отношение эквивалентности бесконечно малых (как и всякое отношение эквивалентности)обладает свойствами рефлексивности, т.е. ϕ(x) ∼ ϕ(x), симметричности, т.е. еслиϕ(x) ∼ ψ(x), то ψ(x) ∼ ϕ(x), и транзитивности, т.е. если ϕ(x) ∼ ψ(x), а ψ(x) ∼ η(x),то ϕ(x) ∼ η(x); везде x → x0 .В доказательстве здесь нуждается лишь последнее свойство.

Пусть функции ϕ(x),ψ(x) и η(x) определены и отличны от нуля в некоторой проколотой окрестности точкиϕ(x)ψ(x)x0 и бесконечно малы при x → x0 . По условию lim= lim= 1. Тогдаx→x0 ψ(x)x→x0 η(x)ϕ(x) ψ(x)ϕ(x)= lim·= 1, т.е. ϕ(x) ∼ η(x) при x → x0 . Теорема доказана.limx→x0 ψ(x) η(x)x→x0 η(x)Теорема (о необходимом и достаточном условии эквивалентности бесконечно малых). Бесконечно малые ϕ(x) и ψ(x) эквивалентны (при x → x0 ) тогда и только тогда,когда их разность имеет более высокий порядок малости при x → x0 по сравнению скаждой из них.Доказательство. Необходимость. Пусть ϕ(x) ∼ ψ(x) при x → x0 . Требуется доказать, что разность ϕ(x) − ψ(x) имеет более высокий порядок малости при x → x0 посравнению с каждой их функций ϕ(x) и ψ(x).

По определению эквивалентных бесконечноϕ(x)малых имеем lim= 1; по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малойx→x0 ψ(x)ϕ(x) − ψ(x)ϕ(x)выполняется равенство= 1 + ε(x), ε(x) → 0 при x → x0 . Отсюда= ε(x).ψ(x)ψ(x)Т.к. ε(x) – бесконечно малая при x → x0 , то ϕ(x) − ψ(x) = o ψ(x) , x → x0 . Аналогичноможно показать, что ϕ(x) − ψ(x) = o ϕ(x) при x → x0 . Необходимость доказана.ϕ(x) − ψ(x)Достаточность. Пусть ϕ(x) − ψ(x) = o ψ(x) , x → x0 . Тогда= o(1), иψ(x)ϕ(x)= 1 + o(1), x → x0 . Через o(1) обозначают бесконечно малую величину, характерψ(x)стремления которой к нулю неизвестен или не представляет интереса. Из последнегоравенства следует, что ϕ(x) ∼ ψ(x) при x → x0 .

К такому же выводу можно прийти,2рассматривая равенство ϕ(x) − ψ(x) = o ϕ(x) , x → x0 . Достаточность доказана. Теоремадоказана.Теорема (об использовании эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов). Пусть f (x) и g(x) — бесконечно малые при x → x0 функции, отличные от нуля внекоторой проколотой окрестности точки x0 , и пусть f (x) ∼ ϕ(x) при x → x0 . Тогда, еслиf (x)ϕ(x)= A, то существует и предел limтакже равный A.существует предел limx→x0 g(x)x→x0 g(x)Доказательство. Имеем:limx→x0ϕ(x) f (x)ϕ(x)f (x)= lim·= lim=A,g(x) x→x0 g(x) ϕ(x) x→x0 g(x)f (x)= 1.

Теорема доказана.x→x0 ϕ(x)Заметим, что при вычислении предела произведения бесконечно малых сомножителитакже можно заменять на эквивалентные.Пусть теперь f (x) и g(x) — бесконечно большие функции при x → x0 . Говорят, чтоэти функции являются бесконечно большими одного порядка (при x → x0 ) еслит.к. limlimx→x0f (x)=C,g(x)(1)Где C — отличное от нуля число. При этом пишут f (x) = O g(x) , x → x0 . При C = 1бесконечно большие f (x) и g(x) называют эквивалентными и пишут f (x) ∼ g(x), x → x0 .Если в (1) число C равно нулю, то говорят, что g(x) есть бесконечно большая более высокого порядка роста по сравнению с f (x) (а f (x) есть бесконечнобольшая более низкогопорядка роста по сравнению с g(x)) и пишут f (x) = o g(x) , x → x0 . Для бесконечнобольших справедливы аналоги доказанных выше теорем (кроме теоремы о необходимоми достаточном условии эквивалентности бесконечно малых).

Как обычно, все рассматриваемые понятия и теоремы можно распространить и на другие предельные процессы(включая односторонние пределы).Пусть ϕ(x) и ψ(x) бесконечно малые при x → x0 . Если при некотором k бесконечноkмалые ϕ(x) и ψ(x) являются бесконечно малыми одного порядка, то говорят, что ϕ(x)kимеет порядок малости k по сравнению с ψ(x) при x → x0 . Если ϕ(x) ∼ A ψ(x) , гдеkA 6= 0 — некоторое число, то ϕ(x) = A ψ(x) +o (ψ(x))k , x → x0 . В этом случае говорят,kчто выделена главная часть вида A ψ(x) бесконечно малой ϕ(x).

Определение порядкамалости и выделение главной части не всегда возможно. В качестве ψ(x) для выделенияглавной части обычно выбирают более простую (или лучше изученную) бесконечно малую.1Например, если x → x0 , то часто берут ψ(x) = x−x0 , а если x → ∞, то полагают ψ(x) = .xАналогичные понятия вводятся и для бесконечно больших функций. Пусть f (x) и g(x) —бесконечно большие при x → x0 функции. Говорят, что f (x) имеет порядок роста k поkсравнению с g(x), если f (x) и g(x) имеют одинаковый порядок роста при x → x0 . ЕслиkA — ненулевое число, и f (x) = A g(x) + o (g(x))k , x → x0 , то говорят, что у бесконечноkбольшой функции f (x) выделена главная часть вида A g(x) .