Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 13

Составим уравнение нормалик графику функции y = f (x) в точке M (x0 , f (x0 )). Вектор нормали к касательной служит направляющимвектором прямой N . В качестве такого вектора можно взять векторn = f 0 (x0 ), −1 . Отсюда получаем (каноническое) уравнение нормали:y − f (x0 )x − x0=.f 0 (x0 )−1Обычно уравнение нормали записывают в виде:x − x0 + f 0 (x0 )(y − f (x0 )) = 0 .Если функция f (x) определена в окрестности точки x0 , и если существуют пределыf (x0 − ∆x) − f (x0 )f (x0 − ∆x) − f (x0 )lim= +∞, или lim= −∞, то говорят, что в∆x→0∆x→0∆x∆xточке x0 функция f (x) имеет бесконечную производную, равную соответственно +∞ или−∞. Геометрически наличие бесконечной производной означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке вертикальна.Если функция f (x) определена в правосторонней окрестности точки x0 , т.е. на полуинтервале [x0 , x0 + η), η > 0, то в точке x0 можно рассмотреть пределf (x0 + ∆x) − f (x0 ),∆x→0+∆xlimкоторый в случае его существования называется правой производной функции f (x) в точкеx0 и обозначается f+0 (x0 ).

Аналогично можно рассмотреть левую производную f−0 (x0 ) для2функции, определенной на левосторонней окрестности (x0 − η, x0 ], η > 0, точки x0 . Левая и правая производные называются односторонними. Чтобы выяснить геометрическийсмысл, например, правой производной, рассмотрим график функции y = f (x), определённой на полуинтервале [x0 , x0 + η), η > 0.Рассмотрим точки точки M (x0 , f (x0 )) и M1 (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)), 0 < ∆x < η, лежащиена рассматриваемом графике. Если M1 стремится к M , и при этом секущая M M1 стремится занять определённое положение, то прямая T в этом положении называется (правой)касательной к графику функции y = f (x) в точке M .

Угловой коэффициент такой касательной равен, как и выше, f+0 (x0 ). Аналогично можно рассмотреть левую касательную вточке M0 (x0 , f (x0 )) к графику функции y = f (x), заданной на полуинтервале (x0 − η, x0 ],η > 0. Угловой коэффициент левой касательной равен f−0 (x0 ). Уравнения одностороннихкасательных составляются так же, как и уравнение обычной (двусторонней) касательной.√√33√∆x−003= +∞.

Касательная кПримеры. 1. Пусть y = x. Здесь f (0) = lim∆x→0∆x√3графику функции y = x в точке (0, 0) вертикальна.|0 + ∆x| − |0|= 1,2.Пусть y = |x|.В этом случае f+0 (0) =lim∆x→0+∆x|0 + ∆x| − |0|f−0 (0) = lim= −1. Эта функция не имеет производной при x = 0. Правой∆x→0−∆xкасательной в точке (0, 0) будет прямая y = x, левой — прямая y = −x.(∆x)2/3 − 0= +∞,3.

Рассмотрим функцию y = x2/3 . В данном случае f+0 (0) = lim∆x→0+∆x(∆x)2/3 − 0f−0 (0) = lim= −∞. Левая и правая касательные к графику функции∆x→0−∆x√3y = x2/3 = x2 в точке (0, 0) обе вертикальны и совпадают. Здесь вертикальная прямая, т.е. ось ординат, является обычной (двусторонней) касательной.Пусть функция f (x) определена в окрестности точки x0 . Эта функция называетсядифференцируемой в точке x0 , если её приращение может быть представлено в видеf (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x) , ∆x → 0 ,где A — некоторое число, нe зависящее от ∆x.Теорема (необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции).

Функция f (x) дифференцируема в некоторой точке x0 тогда и только тогда, когда существуетпроизводная f 0 (x0 ) в этой точке.Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема в точкеx0 . Требуется доказать существование f 0 (x0 ). По определению дифференцируемостиf (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x) , ∆x → 0. После деления на ∆x получаем:f (x0 + ∆x) − f (x0 )= A + o(1) → A при ∆x → 0.

Таким образом, производная f 0 (x0 )∆xсуществует (и равна A). Необходимость доказана.3f (x0 + ∆x) − f (x0 )= f 0 (x0 ) + o(1),∆x 0∆x → 0. После умножения на ∆x получаем: f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (x0 ) · ∆x + o(1) · ∆x,∆x → 0. Очевидно, o(1) · ∆x = o(∆x), поэтому функция f (x) дифференцируема в точкеx0 . Достаточность доказана. Теорема доказана.Из доказательства теоремы видно, что число A в определении дифференцируемостиравно f 0 (x0 ). В связи с этой теоремой функцию, имеющую (конечную) производную внекоторой точке, называют дифференцируемой в этой точке.

Сам процесс вычисленияпроизводной называют дифференцированием функции.Достаточность. Пусть существует f 0 (x0 ). ТогдаТеорема (о непрерывности дифференцируемой функции.) Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.Доказательство.Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0 .То0гда f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (x0 ) · ∆x + o(∆x), ∆x → 0.Отсюдаlim ∆f (x0 ) = lim f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim f 0 (x0 )∆x + o(∆x) = 0, т.е. ∆f (x0 ) → 0∆x→0∆x→0∆x→0при ∆x → 0. Это означает, что функция f (x) непрерывна при x = x0 .

Теорема доказана.Достаточным условием дифференцируемости непрерывность не является. Мы видели,что функция f (x) = |x| не имеет производной при x = 0. Однако, f (x) непрерывнав этой√2точке (как и во всякой другой). Это следует, например, из равенства |x| = x и теоремы онепрерывности сложной функции.

Можно доказать и непосредственно:еслиε > 0, то, взявδ = ε,получим,чтопри|x−x|<δвыполняютсясоотношения|x|−|x|6|x−x000 | < δ = ε,т.е. |x| − |x0 | < ε.Рассмотрим теоремы о правилах дифференцирования функций.Теорема (о производной суммы, произведения и частного.) Пусть функции f (x) иg(x) дифференцируемы в точке x0 . Тогда в этой точке дифференцируемы также функцииf (x)(последняя — при условии g(x) 6= 0), причёмf (x) ± g(x), f (x) · g(x),g(x)0f (x) ± g(x) = f 0 (x) ± g 0 (x)0f (x)g(x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)0f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)f (x)=.2g(x)g(x)Доказательство.

Имеем:01f (x) ± g(x) = lim∆x→0 ∆xf (x + ∆x) ± g(x + ∆x) − f (x) ± g(x) =f (x + ∆x) − f (x) g(x + ∆x) − g(x)= lim±= f 0 (x) ± g 0 (x) .∆x→0∆x∆xПроизводная произведения может быть вычислена так:0f (x + ∆x)g(x + ∆x) − f (x)g(x)f (x) · g(x) = lim=∆x→0∆xf (x + ∆x)g(x + ∆x) − f (x)g(x + ∆x) + f (x)g(x + ∆x) − f (x)g(x)= lim=∆x→0∆xf (x + ∆x) − f (x)g(x + ∆x) − g(x)= lim· g(x + ∆x) + f (x) ·=∆x→0∆x∆x= f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) .Здесь мы воспользовались непрерывностью функции g(x), которая является следствиемдифференцируемости: g(x + ∆x) → g(x) при ∆x → 0.4В случае производной частного рассуждаем аналогично1f (x + ∆x) f (x)lim−=∆x→0 ∆xg(x + ∆x)g(x)f (x + ∆x) − f (x)g(x + ∆x) − g(x)· g(x) − f (x) ·∆x∆x== lim∆x→0g(x) · g(x + ∆x)f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)=.2g(x)Теорема доказана.Пусть f (x) = C, где C — константа. ТогдаC −Cf (x + ∆x) − f (x)= lim= 0,∆x→0 ∆x∆x→0∆xт.е.

C 0 = 0. Поскольку постоянный множитель можно вынести за знак предела, то(Cf (x))0 = Cf 0 (x).f 0 (x) = limТеорема (о производной сложной функции). Пусть функции f (x) и g(y) определены в окрестностях соответственно точек x0 и y0 и дифференцируемы в этих точках, y0 = f (x0 ). Тогда сложная функция g(f (x)) дифференцируема в точке x0 , и0 g(f (x)) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ).x=x0Доказательство.Функция f (x) дифференцируема и, следовательно, непрерывна в точке x0 .Пусть функция g(y) определена для тех y, для которых|y − y0 | < ε.Тогда существует δ > 0 такое, что при |x − x0 | < δвыполняется неравенство |f (x) − f (x0 )| = |f (x) − y0 | < ε, и для таких xимеет смысл сложная функция g(f (x)).

Таким образом, сложная функция g(f (x))определена в окрестности точки x0 , и можно говорить о её производной в этойточке.Запишем определение дифференцируемости функции g(y) в точке y0 :g(y0 + ∆y) − g(y0 ) = g 0 (y0 )∆y + o(∆y) , ∆y → 0.o(∆y), если ∆y 6= 0, и α(∆y) = 0, если ∆y = 0. Очевидно,Пусть α(∆y) =∆yα(∆y) → 0, если ∆y → 0. Определение дифференцируемости можно переписать так:g(y0 + ∆y) − g(y0 ) = g 0 (y0 )∆y + α(∆y) · ∆y, ∆y → 0.При достаточно малом ∆x подставим сюда y0 = f (x0 ), ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ). Тогдаg f (x0 + ∆x) − g f (x0 ) = g 0 (y0 ) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) + α(∆y) f (x0 + ∆x) − f (x0 ) .Отсюдаg f (x0 + ∆x) − g f (x0 )== lim∆x→0x=x0∆xf (x0 + ∆x) − f (x0 )0= lim g (y0 )+∆x→0∆x f (x0 + ∆x) − f (x0 )+ lim α(f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ·. (1)∆x→0∆xЗаметим, что α(f (x0 + ∆x) − f (x0 )) → 0, т.к.

f (x0 + ∆x) − f (x0 ) → 0 при ∆x → 0 —дифференцируемая в точке x0 функция f (x) непрерывна в этой точке. Кроме того,f (x0 + ∆x) − f (x0 )→ f 0 (x0 ) при ∆x → 0. Поэтому последний предел в (1) равен нулю, и∆xмы получаем требуемое равенство:0 g(f (x)) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ) .0 g(f (x)) x=x05Теорема доказана.Правило дифференцирования сложной функции часто записывают в виде0g(f (x)) = g 0 (f (x)) · f 0 (x) ,где под g 0 f (x) понимается производная функции g(y), вычисленная при y = f (x).Теорема (о производной обратной функции.) Пусть функция f (x) осуществляет взаимно однозначное отображение окрестности U (x0 ) точки x0 на окрестность V (y0 ) точкиy0 = f (x0 ), причём обратная функция f −1 (y) непрерывна в точке y0 . Тогда, если существует f 0 (x0 ) 6= 0, то существует также и (f −1 )0 (y0 ), причём(f −1 )0 (y0 ) =1.f 0 (x0 )Доказательство.

Пусть y0 + ∆y ∈ V (y0 ), и пусть f −1 (y0 + ∆y) = x0 + ∆x. Далее,f (y0 ) = x0 , и−1f −1 (y0 + ∆y) − f −1 (y0 ) = x0 + ∆x − x0 = ∆x ,f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (f −1 (y0 + ∆y)) − y0 = y0 + ∆y − y0 = ∆y .(2)Если ∆y 6= 0 то и ∆x 6= 0 — это вытекает из того, что отображение f : U (x0 ) → V (y0 )взаимно однозначно. Заметим ещё, что из непрерывности функции f −1 (y) в точке y0 ииз (2) следует, что если ∆y → 0, то и ∆x → 0.

Теперь можно вычислить производнуюобратной функции:f −1 (y0 + ∆y) − f −1 (y0 )= lim ∆y→0∆y→0∆y(f −1 )0 (y0 ) = lim1=∆yf −1 (y0 + ∆y) − f −1 (y0 )= lim ∆x→011= 0.f (x0 + ∆x) − f (x0 )f (x0 )∆xТеорема доказана.Пример. Функция f (x) = x2 взаимно однозначно отображает бесконечный интервал√(0, +∞) на себя. Поэтому существует обратная функция f −1 (y) = y, которая непрерывнапо теореме о непрерывности обратной функции. Вычислим производную функции f (x):(x + ∆x)2 − x2x2 + 2x∆x + ∆x2 − x2= lim=∆x→0∆x→0∆x∆xf 0 (x) = lim= lim (2x + ∆x) = 2x.∆x→0Мы видим, что f 0 (x) 6= 0 на интервале (0, +∞).

Поэтому обратная функция дифференцируема в каждой точке такого интервала. Для её производной имеем:11 1√(f −1 )0 (y) = ( y)0 = 0 −1= √ = √ .f (f (y))2x x= y 2 y1√Таким образом, ( y)0 = √ .2 y6кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 12.Таблица производных элементарных функций. Логарифмическаяпроизводная и ее применение.

Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Дифференциал функции, егогеометрический смысл. Правила вычисления дифференциалов. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциалов к приближенным вычислениям. Дифференциалы высшихпорядков. Дифференцирование неявно и параметрически заданныхфункций (первая и вторая производная).ОЛ-2, пп.