Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 19

Если n четно,и f (n) (x0 ) < 0, то в точке x0 строгий локальный максимум. Если n нечетно, тоэкстремума в точке x0 нет.Доказательство. Запишем для функции f (x) в окрестности точки x0 формулуТейлора с остаточным членом в форме Пеано; в силу условия f 0 (x0 ) = ... = f (n−1) (x0 ) = 0имеем такое равенство:f (n) (x0 )(x − x0 )n + o ((x − x0 )n ), x → x0 .f (x) = f (x0 ) +n!Отсюда1 (n)(f (x0 ) + α(x)) · (x − x0 )n ,n!o ((x − x0 )n )гдеα(x) = n!−→ 0 при x → x0 .(x − x0 )nПусть теперь n четно, и f (n) (x0 ) > 0. Тогдаf (x) − f (x0 ) =(1)lim (f (n) (x0 ) + α(x)) = f (n) (x0 ) > 0,n→x0и по теореме о сохранении функцией знака своего предела существует проколотая окрестность Ů (x0 ) точки x0 такая, что f (n) (x0 ) + α(x) > 0 для всех x ∈Ů (x0 ).

Далее, т.к.n четно, то также и (x − x0 )n > 0 для указанных x. Поэтому из (1) следует, что длявсех x ∈Ů (x0 ) выполняется неравенство f (x) > f (x0 ), т.е. в точке x0 функция f (x)имеет строгий локальный минимум. Второе утверждение теоремы доказывается аналогично. Пусть n нечетно, и пусть для определенности f (n) (x0 ) > 0. Тогда, как и выше,3найдется проколотая окрестность Ů (x0 ) такая, что для любого x ∈Ů (x0 ) выполняетсянеравенство f (n) (x0 )+α(x) > 0. Поскольку n нечетно, то при x < x0 имеем неравенство(x − x0 )n < 0, а при x > x0 — неравенство (x − x0 )n > 0. Поэтому из (1) получаем,что при x < x0 выполняется неравенство f (x) < f (x0 ), а при x > x0 − неравенствоf (x) > f (x0 ), если, конечно, x ∈Ů (x0 ).

Мы видим, что экстремума в точке x0 нет. Ктакому же выводу мы придем, если предположим, что f (n) (x0 ) < 0. Теорема доказана.Чаще всего эту теорему применяют при n = 2, т.е. наличие экстремума и его характеропределяют по знаку f 00 (x0 ).Пусть функция f (x) определена на интервале (a, b). Говорят, что функция f (x)является выпуклой вверх (вниз) на этом интервале, если для любой касательной к графикуэтой функции каждая точка касательной, отличная от точки касания, лежит выше (ниже)точки графика функции с той же абсциссой. Точка x0 ∈ (a, b) называется точкой перегибафункции f (x), если эта функция непрерывна в точке x0 и если существует δ > 0 такое,что направления выпуклости функции f (x) на интервалах (x0 − δ, x0 ) и (x0 , x0 + δ)различны (т.е.

при переходе через точку перегиба направление выпуклости функции меняется на противоположное). Точка (x0 , f (x0 )) называется при этом точкой перегибаграфика функции y = f (x).Теорема (достаточные условия выпуклости функции). Пусть функция f (x) дваждыдифференцируема на интервале (a, b), причем в каждой точке x ∈ (a, b) выполняетсянеравенство f 00 (x) > 0. Тогда функция f (x) выпукла вниз на указанном интервале.Если же во всех точках интервала (a, b) вторая производная f 00 (x) отрицательна, тофункция f (x) выпукла вверх на этом интервале.Доказательство. Докажем лишь первое утверждение теоремы (второе доказывается аналогично).

Рассмотрим касательную к графику функцииy = f (x) вточке (x0 , f (x0 )), x0 ∈ (a, b). Уравнение такой касательной, как известно, имеетвид y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). Пусть для определенности x0 < x < b. Тогда разность ординат точки касательной (x, f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 )) и точки графика (x, f (x)) равна ∆y = f (x0 ) − f (x) + f 0 (x0 )(x − x0 ). По теореме Лагранжаf (x) − f (x0 ) = f 0 (c)(x − x0 ). Поэтому ∆y = (f 0 (x0 ) − f 0 (c))(x − x0 ), c ∈ (x0 , x).Применим еще раз теоремму Лагранжа: ∆y = −f 00 (c1 )(c − x0 )(x − x0 ), c1 ∈ (x0 , c). Здесьf 00 (c1 ) > 0, c − x0 > 0, x − x0 > 0, поэтому ∆y < 0, и точка касательной лежит нижесоответствующей точки графика функции.

Аналогично можно доказать это утверждениеи в случае a < x < x0 . Таким образом, точки касательной лежат ниже соответствующихточек графика функции, и функция f (x) выпукла вниз на интервале (a, b). Теоремадоказана.Теорема (необходимые условия наличия точки перегиба). Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в окрестности точки x0 , причем вторая производная непрерывнав указанной точке. Тогда если x0 — точка перегиба графика функции y = f (x), тоf 00 (x0 ) = 0.Доказательство. Пусть f 00 (x0 ) 6= 0, и пусть для определенности f 00 (x0 ) > 0.

Тогдав силу непрерывности f 00 (x) в точке x0 существует окрестность (x0 − δ, x0 + δ), δ > 0,этой точки такая, что f 00 (x) > 0 во всех точках этой окрестности. Тогда на обоихинтервалах (x0 − δ, x0 ) и (x0 , x0 + δ) функция f (x) выпукла вниз, что противоречитналичию перегиба в точке x0 . Поэтому на деле f 00 (x0 ) = 0, и теорема доказана.Как и в случае точек экстремума условие f 00 (x0 ) = 0 лишь необходимо для наличияперегиба в соответствующей точке. Достаточным это условие не является, как показываетпример функции y = x4 . Здесь y 00 (0) = 12x2 |x=0 = 0, однако эта функция выпукла внизна интервале (−∞, ∞) и не имеет перегиба при x = 0.Теорема (первое достаточное условие наличия точки перегиба).

Пусть функция4f (x) определена в окрестности (x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, точки x0 и непрерывна в указаннойточке. Тогда если в соответствующей проколотой окрестности (x0 − δ) ∪ (x0 + δ) функцияf (x) имеет вторую производную, которая меняет знак при переходе через точку x0 , тоточка x0 есть точка перегиба функции y = f (x).Доказательство. Пусть для определенности вторая производная f 00 (x) положительнапри x ∈ (x0 − δ, x0 ) и отрицательна при x ∈ (x0 , x0 + δ). Тогда на (x0 − δ, x0 ) функцияf (x) выпукла вниз, а на (x0 , x0 + δ) выпукла вверх, т.е.

при переходе через точку x0направление выпуклости меняется на противоположное. Отсюда следует, что x0 — точкаперегиба функции f (x). Теорема доказана.Теорема (второе достаточное условие наличия точки перегиба). Пусть функцияf (x) трижды дифференцируема в точке x0 , причем f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) 6= 0. Тогда x0есть точка перегиба функции f (x).Доказательство. Пусть для определенности f 000 (x0 ) > 0.

Тогдаf 00 (x)f 00 (x) − f 00 (x0 )= lim.x→x0 − x − x0x→x0 −x − x0f 000 (x0 ) = limВыражениеf 00 (x)x − x0(x0 − δ1 , x0 ), δ1 > 0,внекоторойлевостороннейпроколотойдолжно иметь знак своего пределаf 000 (x0 ), т.е.а тогда (т.к. x − x0 < 0) выполняется неравенство f 00 (x) < 0. Аналогичноокрестностиf 00 (x)> 0,x − x0f 00 (x) − f 00 (x0 )f 00 (x)= lim,x→x0 +x→x0 + x − x0x − x0f 000 (x0 ) = limиf 00 (x)> 0 при x ∈ (x0 , x0 + δ2 ), δ2 > 0, т.е.

f 00 (x) > 0 при указанных x.x − x0Мы видим, что вторая производная f 00 (x) меняет знак при переходе через точку x0 . Попредыдущей теореме x0 есть точка перегиба функции f (x). Теорема доказана.При построении графика функции следует предварительно выяснить его характерныеособенности. При этом можно руководствоваться, например, такой схемой.1. Найти область определения функции, выяснить, является ли функция четной, нечетной или периодической.2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

Определить интервалы, на которых функция сохраняет знак.3. Определить точки разрыва, выяснить характер разрывов, найти вертикальныеасимптоты.4. Исследовать поведение функции при стремлении аргумента к ±∞ и найти наклонные асимптоты.5. Определить интервалы монотонности и найти точки экстремумов.6. Определить интервалы выпуклости, найти точки перегиба.√Пример. Пусть √требуется построить график функции y = ln(1 + 3 x). Здесь функцияопределена при 1 + 3 x > 0, т.е.

при x > −1. Специальными свойствами, указанными впервом пункте приведенной выше схемы, данная функция необладает (про такую функцию√3говорят, что она «общего вида»). Решая уравнение ln(1+ x) = 0 находим единственнуюточку x = 0 пересечения графика с осью абсцисс; функция отрицательна на интервале(−1, 0) и положительна на (0, +∞). Данная функция, очевидно, непрерывна всюду,5где она определена;lim ln(1 +√3x→−1x) = −∞. Прямая x = −1 является вертикальнойасимптотой.

Далее,√√ln(1 + 3 x)= 0, lim ln(1 + 3 x) = ∞.limx→+∞x→+∞xНаклонных асимптот нет. По результатам проведенного исследования можем нарисоватьпредварительный эскиз графика функции.11√.· √331 + x 3 x2Сведения о производной можно занести в таблицу:Дифференцируем:y0 =x(−1, 0)0y 0 (x)++∞y(x) % возрастает экстремума нет(0, +∞)+% возрастаетДифференцируем еще раз:00y =1!0√√33 x2 (1 + 3 x)√3√x) + 132+33x=− √=− √√√ .333 x4 (1 + 3 x)29x x2 (1 + 3 x)22√(133x+Составляем таблицу для второй производной:8x−1, −27y 00 (x)−_y(x) выпукла вверх88−− ,0027270+не опред.точка^точкаперегиба выпукла вниз перегибаРисуем уточненный эскиз графика функции.y = ln(1 +6√3x)(0, +∞)−_выпукла вверх.