Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 15

Пустьна интервале (t1 , t2 ) заданы две функцииx = x(t) и y = y(t) ,(3)причём первая их них осуществляет взаимно однозначное отображение интервала (t1 , t2 )на интервал (x1 , x2 ). В таком случае определена обратная функция t = t(x), и на интервале (x1 , x2 ) можно рассмотреть сложную функцию y(x) = y(t(x)). Про эту последнюю функцию говорят, что она задана параметрически равенствами (3). Предположим,что выполнены условия, при которых применимы правила дифференцирования сложной иобратной функций, и в этом предположении вычислим производную y 0 (x); имеем0y 0 (t(x))y 0 (t(x)), т.е.

y 0 (x) = 0.y 0 (x) = y(t(x)) = y 0 (t(x)) · t0 (x) = 0x (t(x))x (t(x))Обычно эту формулу записывают короче: y 0 (x) =y 0 (t).x0 (t)√√x, иПример.Пусть x(t) = t2 , y(t) =t, t ∈ (0, +∞). Здесь t(x) =p√√4y(x) =x = x. Производная этой функции по доказанной формулеy 0 (t)11 110√y (x) = 0=· √ = 3/4 = √.4x (t)2 t 2t t= x 4x4 x3Рассмотрим равенствоF (x, y) = 0 ,(4)где F (x, y) — «функция двух переменных».

Можно считать, что левая часть (4) — это некоторая формула, содержащая x и y. Если для функции y = y(x), заданной на промежуткеI, для всех x из этого промежутка выполняется равенство F (x, y(x)) = 0, то говорят, чтофункция y = y(x) задана неявно равенством (4). Чтобы найти производную функции,заданной неявно, надо продифференцировать равенство F (x, y(x)) = 0 по x, используяправило дифференцирования сложной функции.

Из получившегося соотношения между x,y(x) и y 0 (x) можно затем выразить y 0 (x) через x и y(x).Пример. Пусть x2 + y 2 = 1. Тогда, если x2 + (y(x))2 = 1, то 2x + 2y(x) · y 0 (x) = 0, и√xxy 0 (x) = −. Например, если y(x) = 1 − x2 , то y 0 (x) = − √.y(x)1 − x26Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке x. Тогда приращение этой функцииможет быть записано в виде∆y = f (x + ∆x) − f (x) = f 0 (x)∆x + o(∆x) ,∆x → 0 .Дифференциалом df (x) функции f (x) в точке x называется f 0 (x)∆x. Эта часть приращения ∆y = f (x+∆x)−f (x) линейна относительно ∆x, а при f 0 (x) 6= 0 она является главнойчастью ∆y при ∆x → 0. Приращение ∆x независимой переменной называется дифференциалом независимой переменной и обозначается dx.

В таком случае df (x) = f 0 (x)dx, иdf (x). Правую часть этого равенства используют также для обозначения произf 0 (x) =dxdf (x)водной; при этомследует рассматривать не как дробь, а как единое выражение.dx1dx,Примеры. Имеем по определению dex = ex dx, d xα = α xα−1 dx, d ln x =xd cos x = − sin x dx и т.д.Рассмотрим геометрический смысл дифференциала. Уравнение касательной T к графику функции y = f (x) в точке M (x0 , f (x0 )) есть y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ).

Очевидно,ордината касательной при x = x0 равна f (x0 ). При x = x0 + ∆x ордината касательной T равна f (x0 ) + f 0 (x0 )∆x. Приращение ординаты касательной, следовательно, равноf 0 (x0 )∆x, т.е. равно дифференциалу функции f (x) в точке x0 , отвечающему приращению∆x независимой переменной. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.Поскольку дифференциал равен производной функции, умноженной на дифференциалнезависимой переменной, то правила вычисления дифференциалов мало чем отличаютсяот соответствующих правил вычисления производных. Например,d(f (x) + g(x)) = df (x) + dg(x) ,d(f (x) · g(x)) = df (x) · g(x) + f (x) · dg(x) ,dg(x) df (x) − f (x) dg(x)f (x)=.g(x)(g(x))2Докажем лишь последнее равенство. Имеем0f (x)f (x)f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x)g(x) df (x) − f (x) dg(x)d=dx =dx=.g(x)g(x)(g(x))2(g(x))2Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x. Тогдаdf (x) = f 0 (x) dx .(1)Рассмотрим теперь сложную функцию f (x(t)).

Дифференциал этой функции можно найтис помощью правила дифференцирования сложной функции: df (x(t)) = f 0 (x(t)) x0 (t) dt. Поскольку x0 (t) dt = dx(t), то имеем также равенство df (x(t)) = f 0 (x(t)) dx(t). Если не указывать здесь зависимость от t, то мы вернёмся к прежней форме (1) записи дифференциала:7df (x) = f 0 (x) dx. Подмеченное свойство называется инвариантностью формы записи дифференциала: в равенстве (1) можно считать x независимой переменной или функциейновой переменной t — в обоих случаях это равенство справедливо.Вернемся вновь к равенствуf (x + ∆x) − f (x) = f 0 (x)∆x + o(∆x) ,∆x → 0 .Если в правой части отбросить o(∆x), то мы получим приближённое равенствоf (x + ∆x) − f (x) ≈ f 0 (x)∆x .Обычно оно используется для вычисления (приближённого) f (x + ∆x):f (x + ∆x) ≈ f (x) + f 0 (x)∆x .(2)√√Пример.

Пусть требуется вычислить 3 8.1. Возьмём f (x) = 3 x, x = 8, ∆x = 0.1. Тогда√√110.133f 0 (x) = √,ипоформуле(2)8.1≈8+ √· 0.1 = 2 +≈ 2.008.332123 643 xЗафиксировав в равенстве df (x) = f 0 (x) dx дифференциал независимой переменнойdx, мы получим функцию от x, для которой можно вычислить дифференциал в точкеx. Если при этом считать дифференциал независимого переменного равным его прежнему значению dx, то мы получим дифференциал второго порядка исходной функции:d2 f (x) = d (f 0 (x) dx) = (f 0 (x) dx)0 dx = f 00 (x) dx2 , т.е.

d2 f (x) = f 00 (x) dx2 . Дифференциал n-го порядка определяется по индукции. Если дифференциал порядка n − 1 ужеопределен, то дифференциал n-го порядка по определению есть dn f (x) = d (dn−1 f (x)).При этом в качестве dx берётся то же значение, что и в дифференциале (n − 1)-го порядка. Докажем по индукции, что dn f (x) = f (n) (x) dxn .

При n = 1 и n = 2 это равенство справедливо. Пусть при некотором n имеем равенство dn f (x) = f (n) (x)dx; тогдаdn+1 f (x) = d (dn f (x)) = d (f (n) (x) dxn ) = (f (n) (x) dxn )0 dx = f (n+1) (x) dxn+1 , и по индукцииформула dn f (x) = f (n) dxn доказана.Примеры. Из полученных выше результатов следуют такие равенства: dn ex = ex dxn ,π n(n − 1)! n ndx,dcosx=cosx+ndx и т.д.dn ln x = (−1)n−1xn2Из доказанной выше формулы для дифференциала n-го порядка следует, чтоdn f (x)f (n) (x) =. Правую часть этого равенства часто используют для обозначения проdxndn f (x)изводной n-го порядка; в этом случаеследует рассматривать не как дробь, а какdxnединый символ.Заметим еще, что для дифференциалов порядка выше первого свойство инвариантности формы записи уже не имеет места. В самом деле, пустьd2 f (x) = f 00 (x) dx2 .Предположим, что x = x(t).

Тогда (f (x(t)))0 = f 0 (x(t)) · x0 (t);= f 00 (x(t))(x0 (t))2 + f 0 (x(t))x00 (t). Отсюда(3)(f (x(t)))00 =d2 f (x(t)) = (f (x(t)))00 dt2 = (f 00 (x(t))(x0 (t))2 + f 0 (x(t))x00 (t))dt2 == f 00 (x(t)) (dx(t))2 + f 0 (x(t)) d2 x(t).Если здесь не указывать зависимость от t, т.е. заменить x(t) на x, то мы получимd2 f (x) = f 00 (x) dx2 +f 0 (x) d2 x, и мы не возвращаемся к прежней форме записи дифференциала (3), когда x было независимым переменным.

Равенство нарушается из-за слагаемогоf 0 (x) d2 x = f 0 (x(t)) x00 (t) dt2 .8Пусть имеется параметрически заданная функцияy = y(t) , t ∈ (t1 , t2 ).x = x(t) ,(3)Предположим, что на интервале (t1 , t2 ) функция x = x(t) имеет обратную функциюt = t(x), определённую на интервале (x1 , x2 ). Тогда, как известно, при условии x0 (t) 6= 0при всех t ∈ (t1 , t2 ), функция y = y(x) = y(t(x)), заданная параметрически равенствами(3) дифференцируема в каждой точке интервала (x1 , x2 ), причемy 0 (x) =y 0 (t(x))y 0 (t)=.x0 (t(x))x0 (t)Дифференцируя это равенство, получаем, используя известные правила дифференцирования функций:00 000y 0 (t(x)) x0 (t(x)) − x0 (t(x)) y 0 (t(x))y (t(x))000=y (x) = y (x) ==2x0 (t(x))x0 (t(x))x0 (t(x))y 0 (t(x))00y (t(x)) 0− x (t(x)) · 0y 00 (t) x0 (t) − x00 (t) y 0 (t)x (t(x))x (t(x))==, где t = t(x) .23x0 (t(x))x0 (t)00Дифференцируя еще раз полученное равенствоy 00 (x) =y 00 (t) x0 (t) − x00 (t) y 0 (t),3x0 (t)и не забывая при этом, что t = t(x), можно найти y 000 (x) и т.д.При вычислении производных высших порядков неявно заданных функций равенствоF (x, y) = 0 дифференцируют соответствующее число раз, считая y функцией от x.

Изполученного таким способом равенства можно выразить y (n) через x, y, y 0 , . . . , y (n−1) . Еслитребуется выразить y (n) через x и y, то все производные y 0 , . . . , y (n−1) надо последовательновыразить через указанные переменные и получившиеся выражения подставить в формулудля y (n) .Пример. Ранее из соотношенияx2 + y 2 = 1(4)xмы нашли первую производную y 0 = − . Дифференцируя (4), получаем последовательно:y 2x1+0 21 + (y )x2 + y 21y2x + 2yy 0 = 0, 2 + 2 (y 0 )2 + 2yy 00 = 0, и y 00 = −=−=−= − 3.3yyyy√√1√Если например, y = 1 − x2 , то y 00 = ( 1 − x2 )00 = −. Здесь можно прове(1 − x2 ) 1 − x2x,рить получившийся результат непосредственным дифференцированием: y 0 = − √1 − x2√x21 − x2 + √11 − x2√y 00 = −=−.21−x(1 − x2 ) 1 − x29кафедра «Математическое моделирование»проф.

П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 13.Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля,Лагранжа и Коши. Теорема Бернулли - Лопиталя и раскрытие неопределенностей (док-во только для [0/0]). Сравнение роста показательной, степенной и логарифмической функций в бесконечности.ОЛ-2, гл. 5, 6.Говорят, что функция f (x), определенная на некотором промежутке I, принимает вточке x0 этого промежутка наибольшее значение, если для любой точки x ∈ I выполняетсянеравенство f (x) 6 f (x0 ).