Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 14

1.7, 2.2-2.4, гл. 3.Найдём производные основных элементарных функций.Если y = ex , тоe∆x − 1ex+∆x − ex= ex lim.∆x→0∆x→0∆x∆xy 0 (x) = (ex )0 = limПусть ∆x = ln(1 + t); тогда t → 0 при ∆x → 0, и мы получаемeln(1+t) − 11e∆x − 1= ex lim= ex lim=t→0 ln(1 + t)t→0 ln(1 + t)1/t∆x→0∆x11 = ex= ex= ex ,1/tln eln lim(1 + t)y 0 (x) = ex limt→0т.к. по теореме о втором замечательном пределе (1+t)1/t → e при t → 0, и функция ln x непрерывна в точке x = e.

Если a > 0, a 6= 1, то ax = ex ln a , и по правилу дифференцированиясложной функции(ax )0 = (ex ln a )0 = ex ln a ln a = ax ln a.Производную логарифмической функции найдём, используя правило дифференцирования обратной функции.Действительно, y = ax и y = loga x, a > 0,a 6= 1, являются взаимно обратными функциями.Поэтому при x > 0 имеем1110(loga x) = y 0= log x=. Если a = e, то получаем отсюда формулу(a ) |y=loga xa a ln ax ln a1(ln x)0 = .xДля степенной функции y = xα при при x > 0 имеем (используемправило дифференцирования сложной функции и полученные выше результаты):1αxαα== αxα−1 , т.е. (xα )0 = αxα−1 . Эта же формула остаетсяxxв силе и в точке x = 0 (для α > 1; если соответствующая степенная функция определеналишь при x > 0, то эта формула даёт значение правой производной).

В самом деле, еслиα > 1, то (считаем, что ∆x > 0, если функция y = xα не определена при x < 0):(∆x)α1, если α = 1,α 0(x ) x=0 = lim=0, если α > 1,∆x→0 ∆x(xα )0 = (eα ln x )0 = eα ln x ·т.е. (xα )0 |x=0 = αxα−1 |x=0 . Если же x отрицательно, и функция y = xα определена притаких x, то эта функция является либо чётной либо нечётной, т.е. при x < 0 имеемxα = ±(−x)α . Тогдаα 0α 0(x ) = ± (−x)α−1= ± α(−x)xα± (−x)α· (−1) = α ·= α xα−1 ,· (−x) = α ·−xx0и (xα )0 = α xα−1 также и при x < 0.Рассмотрим тригонометрические функции. Имеем∆x∆x ·cosx+sin(x + ∆x) − sin x22(sin x)0 = lim= lim=∆x→0∆x→0∆x∆x∆xsin∆x 2= lim· cos x += cos x .∆x∆x→022Мы воспользовались теоремой о первом замечательном пределеи непреπрывностью функции y=cos x.Далее, cos x=sin x +, поэтому2 00ππππ(cos x)0 = sin x +· x+= − sin x, т.е.= cos x += cos x +22220(cos x) = − sin x.Производные тангенса и котангенса найдём по правилу дифференцирования дроби:0sin x1cos2 x + sin2 x0=,(tg x) ==cos xcos2 xcos2 x cos x 0 − sin2 x − cos2 x1(ctg x)0 ==− 2 .=2sin xsin xsin x11, (ctg x)0 = − 2 .Таким образом, (tg x)0 =2cos xsin xРассмотрим обратныетригонометрическиефункции.

Функция y = sin x дифференци π πруема на интервале − ,и имеет на этом интервале отличную от нуля производную2 20(sin x) = cos x. Поэтому для обратной функции y = arcsin x при −1 < x < 1 имеем2 sin(arcsin x)0 =1cos y =y=arcsin x111√=p=,cos(arcsin x)1 − x21 − sin2 (arcsin x)√1. В формуле cos(arcsin x) = 1 − x2 мы взяли знак «+» перед1 − x2 π πрадикалом потому, что arcsin x ∈ − ,, и косинус положителен на этом интервале.2 2Аналогично вычисляется и производная арккосинуса. Функция y = cos x на интервале(0, π) имеет отличную от нуля производную (cos x)0 = − sin x, поэтомут.е. (arcsin x)0 = √(arccos x)0 =1− sin yy=arccos x=−11= −p=sin(arccos x)1 − cos2 (arccos x)21,1 − x2если x∈(−1, 1).Можно также воспользоваться соотношениемπarccos x + arcsin x =, известным из элементарной тригонометрии.Имеем2π01− arcsin x = − √.

Выбор знака «+» перед радикалом в ис(arccos x)0 =21 − x2 √пользованной выше формуле sin(arccos x) = 1 − x2 объясняется тем, что arccos x ∈ (0, π),и функция y = sin x положительна на этом интервале. Заметим, что рассмотренныефункции y = arcsin x и y = arccos x не имеют конечной производной при x ± 1. Дляфункции y = arctg x имеем11= cos2 (arctg x) ==(arctg x)0 =201/ cos (arctg x)(tg y) y=arctg x= −√=11=,1 + tg (arctg x)1 + x221. Аналогично,1 + x211=−= − sin2 (arcctg x) =(arcctg x)0 =201/ sin (arcctg x)(ctg y) y=arcctg x11=−=−.21 + ctg (arcctg x)1 + x2Этот же результат можно получить быстрее, если воспользоваться равенствомπarcctg x + arctg x = и предыдущей формулой.2Производные гиперболических функцийможно вычислитьс помощью формул (ex )0 = ex0ex − e−xex + e−xи (e−x )0 = −e−x .

Например, (sh x)0 == сh x. Аналогично=2211(сh x)0 = sh x, (th x)0 = 2 , (cth x)0 = − 2 .сh xsh xСоставим таблицу производных основных элементарных функций.т.е. (arctg x)0 =1.2.3.4.(ax )0 = ax ln a, (ex )0 = ex .11, (ln x)0 = .(loga x)0 =x ln ax√1(xα )0 = αxα−1 , ( x)0 = √ ,2 x(cos x)0 = − sin x. 011= − 2.xx(sin x)0 = cos x .16. (tg x)0 =.cos2 x17. (ctg x)0 = − 2 .sin x18. (arcsin x)0 = √.1 − x219.

(arccos x)0 = − √.1 − x2110. (arctg x)0 =.1 + x2111. (arcctg x)0 = −.1 + x25.3Эту таблицу полезно дополнить формулами:12. C 0 = 0 — производная константы равна нулю .13. (сh x)0 = sh x .14. (sh x)0 = сh x .115. (th x)0 = 2 .сh x1016. (cth x) = − 2 .sh xРекомендуется также запомнить производные некоторых часто встречающихся функций.√xНапример, ( 1 + x2 )0 = √.1 + x2Пусть функция y = f (x) дифференцируема и отлична от нуля на некотором промежутке I. Тогда в точках этого промежутка определена функция y = ln |f (x)|.Найдём производную этой функции.

Пусть сначала f (x) > 0 для всех x ∈ I.00f 0 (x).Если f (x) < 0 при всех x ∈ I, тоТогда ln |f (x)|= ln f (x)=f (x)000−f 0 (x)f 0 (x)f 0 (x)ln |f (x)| = ln(−f (x)) ==, т.е. в обоих случаях ln |f (x)| =.−f (x)f (x)f (x)Производная от логарифма (модуля) функции называется логарифмической производной.Eсли последнюю формулу переписать в виде f 0 (x) = f (x)·(ln |f (x)|)0 , то её можно использовать для вычисления f 0 (x) в тех случаях, когда логарифмическую производную вычислитьпроще, чем производную самой функции.Пример.

Пусть y = (f (x))g(x). Тогдаg(x)f 0 (x)· f (x).y = y(ln y) = y (g(x) · ln f (x)) = g (x) · ln f (x) + g(x) ·f (x)Если функция f (x) дифференцируема в каждой точке промежутка I, то на этом промежутке определена функция f 0 (x), для которой также можно рассмотреть вопрос о еёпроизводной в точках промежутка I. Если такая производная в точке x существует, тоона называется второй производной исходной функции f (x) и обозначается f 00 (x).

Производная рассматириваемой функции n-го порядка определяется по индукции. пусть x ∈ I,и пусть в окрестности этой точки определена производная (n − 1)-го порядка f (n−1)0 (x).Тогда производная n-го порядка f (n) (x) в точке x по определению есть f (n−1) (x) . Таким образом, в соответствии с этим определением для существования f (n) (x) в точке xтребуется, чтобы в некоторой окрестности этой точки существовали производные f (k) (x),k = 0, 1, . . . , n − 1, и чтобы производная (n − 1)-го порядка f (n−1) (x) была дифференцируема в т. x (при этом под «производной нулевого порядка» здесь и далее понимается самафункция f (x)).Пусть материальная точка движется вдоль ось абсцисс, и пусть зависимость её координаты от времени определяется равенством x = x(t).

Тогда мгновенная скорость изменения координаты (в данном случае абсциссы) материальной точки равна, как известно,v(t) = x0 (t). Для характеристики скорости изменения v(t) с течением времени вводятпонятие ускорения материальной точки:00000x0 (t + ∆t) − x0 (t)v(t + ∆t) − v(t)= lim= x0 (t) = x00 (t) ,∆t→0∆t→0∆t∆ta(t) = limт.е. ускорение есть вторая производная координаты по времени. В этом состоит механический смысл второй производной.Вычислим производные n-го порядка некоторых элементарных функций.

Пусть сначала y = ax . В этом случае y 0 = ax ln a, y 00 = ax ln2 a и т.д. Общая формула y (n) = ax lnn a4доказывается по индукции. В частности, при a = e имеем (ex )(n) = ex , n = 0, 1, 2, . . . .Рассмотрим степенную функцию y = xα . Здесь y 0 = α xα−1 , y 00 = α (α − 1) xα−2 и т.д.Общая формула (xα )(n) = α (α − 1) . .

. (α − n + 1) xα−n доказывается по индукции. Для логарифмической функции y = loga x можно воспользоваться этим результатом при α = −1.Имеемy0 =−122·32·3·41, y 00 = 2, y 000 = 3, y IV = − 4, yV = 5и т.д.x ln ax ln ax ln ax ln ax ln aНетрудно угадать общую формулуy (n) =(−1)n−1 (n − 1)!.xn ln a(1)При n = 1, 2, 3, 4, 5 эта формула справедлива. Для производной (n + 1)-го порядка имеемy(n+1)= (y(n) 0) =(−1)n−1 (n − 1)!xn ln a0=(−1)n−1 (n − 1)!(−n)(−1)n n!=,xn+1 ln axn+1 ln aи по индукции формула (1) доказана.Пусть y = sin x. Докажем, чтоПри n = 0 имеем (sin x)(0)π(sin x)(n) = sin x + n.(2)2π= sin x = sin x + 0 ·. Пусть при некотором n формула (2)2справедлива.

Тогда(sin x)(n+1) = (sin x)(n)0 ππ ππ 0= cos x + n= sin x + n +== sin x + n2222π,= sin x + (n + 1)2и формула (2) доказана. Аналогично доказывается и правило вычисления производнойn-го порядка косинуса:π(cos x)(n) = cos x + n.2Рассмотрим еще формулу Лейбница(n)(u v)=n Xnkk=0u(n−k) v (k) ,где для краткости у функций u = u(x) и v = v(x) не указана зависимость от x. Обеэти функции предполагаются дифференцируемыми соответствующее число раз в точкеx. ∗ Для доказательства формулы Лейбница 0 применим 0 индукцию.

При n = 1 формула11000справедлива, т.к. (u v) = u v + u v = 0 u v + 1 uv . Пусть при некотором n формулаЛейбница уже доказана. Тогда!0n Xn0(u v)(n+1) = (u v)(n) ) =u(n−k) v (k) =kk=0nn X nXn(n+1−k) (k)(n−k) (k+1)(n+1) (0)=uv +uv=uv +u(n+1−k) v (k) +kkk=0k=15n−1 Xn+u(n−k) v (k+1) + u(0) v (n+1) = u(n+1) v (0) +kk=0 n Xnn++u(n+1−k) v (k) + u(0) v (n+1) =kk−1k=1n+1 Xn+1=u(n+1−k) v (k) .kk=0Доказательство вполне аналогично доказательству формулы бинома Ньютона; на заключительном этапе рассуждения мы воспользовались равенствами nnn+1+=,kk−1kn+1n+1(n+1) (0)(n+1−0) (0)(0) (n+1)uv =uv иu v=u(n+1−n−1) v (n+1) .n+10По индукции формула Лейбница доказана. ∗Рассмотрим вопрос о дифференцировании функции, заданной параметрически.