Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 11

. . + a0 ) = limx→x0x→x0x→x0nXsas x =s=0nXs=0as ( lim x)s =x→x0=nXas xs0 = f (x0 ) ,s=0т.е. lim f (x) = f (x0 ), и непрерывность многочлена в произвольной точке x0 доказана.x→x0Рассмотрим функцию f (x) = sin x. Предварительно докажем неравенство| sin x| 6 |x| ,(2)которое справедливо при всех x.

По ходу доказательства теоремы о первом замечательππном пределе было доказано неравенство sin x < x при 0 < x < . При |x| >такое22πнеравенство также справедливо, т.к. | sin x| 6 1, и> 1. При x = 0 неравенство (1),2πочевидно справедливо. Осталось рассмотреть случай − < x < 0. В этом случае (2)2запишется так: − sin x 6 −x или sin(−x) 6 −x. Последнее неравенство справедливо, т.к.−x > 0.

Таким образом, (2) доказано. Теперь можно доказать непрерывность синуса влюбой точке x0 . Имеемx − x0x + x0 | sin x − sin x0 | = 2 sin· cos622 x − x0 6 2 · |x − x0 | = |x − x0 |, т.е. | sin x − sin x0 | 6 |x − x0 |.6 2 sin2 2Если задано ε > 0, то, взяв δ = ε, получим, что если |x − x0 | < δ, то| sin x − sin x0 | 6 |x − x0 | < δ = ε, и непрерывность функции f (x) = sin x доказана впроизвольной точке x0 .Можно доказать также и непрерывность остальных основных элементарных функций(показательной, степенной, логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических) в каждой точке их области определения.

Затем с помощью теорем о непрерывности сложной функции и о непрерывности суммы произведения и частного можнополучить такой результат: любая элементарная функция непрерывна в каждой точке, вкоторой она определена. В силу этого рассмотренные ранее функции √y = sign x и y = [x]не являются элементарными; функция y = |x| элементарна, т.к. |x| = x2 .Пусть функция f (x) определена на правосторонней окрестности [x0 , x0 +η), η > 0, точкиx0 . Это функция называется непрерывной справа в точке x0 , если lim f (x) = f (x0 ).

Анаx→x0 +логично можно определить непрерывность слева: функция f (x) должна быть определенана левосторонней окрестности (x0 −η, x0 ], η > 0, точки x0 , и должно выполняться равенствоlim = f (x0 ). Заметим, что оба эти определения эквивалентны данному выше опредеx→x0 −лению непрерывности функции, заданной на произвольном множестве X ⊂ R. Если I —промежуток числовой прямой, и f : I → R, то функция f (x) называется непрерывной на I,если эта функция непрерывна в каждой точке промежутка I. При этом непрерывность налевом конце промежутка (если он принадлежит I) понимается как непрерывность справа;непрерывность на правом конце (если он принадлежит I) понимается как непрерывностьслева.

В частности, можно говорить о функциях, непрерывных на отрезке.Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 или в проколотойокрестности этой точки. Если данная функция не является непрерывной в точке x0 , то3x0 называется точкой разрыва функции f (x).

Говорят также, что функция f (x) терпитразрыв этой точке. Если x0 — точка разрыва функции f (x), и существуют конечныепределы lim f (x) = f (x0 − 0) и lim = f (x0 + 0), то x0 называется точкой разрываx→x0 −x→x0 +первого рода. Разность f (x0 + 0) − f (x0 − 0) называется скачком функции f (x) в точке x0 .Во всех прочих случаях говорят о разрыве второго рода. Если x0 — точка разрыва первогорода, и если f (x0 − 0) = f (x0 + 0), то такой разрыв называют устранимым. Доопределивфункцию f (x) в точке устранимого разрыва x0 (или изменив ее значение в этой точке,если функция в ней определена), полагая f (x0 ) = f (x0 − 0) = f (x0 + 0), получим новуюфункцию, которая будет непрерывна в точке x0 .Примеры.

1. Пусть f (x) = sign x; здесь lim sign x = −1, lim sign x = 1. В нулеx→0−x→x0 +разрыв первого рода; скачок f (0+) − f (0−) = 2.sin x, то при x = 0 имеем устранимый разрыв. Доопределённая при2. Если f (x) =xx = 0 функция sin x , если x 6= 0 ,˜xf (x) =1,если x = 0 ,уже непрерывна при x = 0.11и g(x) = sin имеют в точке x = 0 разрыв второго рода.3. Функции f (x) =xx11Для первой из них lim = ∞, а для второй lim sin не существует. В самом деле,x→0 xx→0x11последовательности xn =и x0n = πобе стремятся к нулю при n → ∞, однакоπn+ 2πn211sin→ 0, а sin 0 → 1.xnxnПусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 (быть может, односторонней).

Прямая x = x0 называется вертикальной асимптотой графика функцииy = f (x), если lim f (x) = ∞ или lim f (x) = ∞. Если x = x0 является вертикальx→x0 −x→x0 +ной асимптотой, то расcтояние |x − x0 | от точки M (x, f (x)) до прямой x = x0 стремитсяк нулю, если точка M стремится к бесконечности вдоль графика функции y = f (x) (ссоответствующей стороны).1Примеры. Ось ординат является вертикальной асимптотой графиков функций y = ,xy = loga x, y = ctg x.

Для графика последней функции вертикальными асимптотамиявляются также прямые x = πn, n = ±1, ±2, . . . .4кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 10.Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, прохождение черезлюбое промежуточное значение.

Теорема о непрерывности обратнойфункции. Асимптоты графика функции.ОЛ-2 гл. 1, 9.4, 10.5Рассмотрим теоремы о свойствах функций непрерывных на отрезке.Теорема(Больцано-Коши). Если функция определена и непрерывна на некотором отрезке и наего концах принимает значения разных знаков, то эта функция обращается в нуль хотябы в одной точке данного отрезка.∗ Доказательство. Пусть f : [a, b] → R; функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]и принимает на его концах значения разных знаков. Предположим для определенности,что f (a) < 0 и f (b) > 0.

Множество X точек отрезка [a, b], в которых f (x) < 0 непусто и ограничено сверху, поэтому существует точная верхняя грань этого множества:c = sup X. Заметим сначала, что c ∈ [a, b]. Если это не так, то существует ε > 0 такое,что c − ε > b, а тогда на интервале (c, c − ε) нет точек множества X, что противоречитопределению точной верхней грани. На самом деле c является внутренней точкой отрезка[a, b]. Действительно, f (x), будучи непрерывной в точках a и b, сохраняет знаки чиселf (a) и f (b) соответственно на полуинтервалах [a, a + η) и (b − η, b], где η — некотороеположительное число.

Поэтому предположение c = a противоречит тому, что для любогоx ∈ X выполняется неравенство x 6 c. Если же c = b, то полуинтервал (b − η, b] долженсодержать точки множества X, чего на деле нет. Поэтому a < c < b. В точке c должновыполняться одно (и только одно) из соотношений:f (c) < 0,f (c) > 0,f (c) = 0.(3)пусть f (c) < 0. Тогда найдётся положительное число η такое, что для любогоx ∈ (c − η, c + η) выполняется неравенство f (x) < 0 (это следует из непрерывностифункции f (x) в точке c).

Отсюда получаем, что в множестве X есть точки, лежащие наотрезке [a, b] правее точки c, что невозможно, т.к. c есть точная верхняя грань множестваX. Не может выполняться и неравенство f (c) > 0, т.к. в этом случае, как и выше, найдётся окрестность (c − η, c + η), η > 0, в каждой точке которой f (x) положительна. Этотакже противоречит тому, что c = sup X, т.к. должны существовать точки множества X,лежащие на интервале (c − η, c). Таким образом, первые два из соотношений (3) не выполняются, и f (c) = 0. Существование требуемой точки установлено. Tеорема доказана.∗1ТеоремаБольцано-Кошиимеетпростойгеометрическийсмысл:точкиa,f(a)иb, f (b) лежат по разные стороны от оси абсцисс, а при вычерчивании графика непрерывной функции f (x) мы соединяем эти точки, «не отрывая карандаша от бумаги». Ясно,что при этом придётся пересечь отрезок [a, b] в некоторой точке c, в которой f (c) = 0.Следствие (теорема о промежуточном значении).

Если функция f (x) непрерывнана отрезке [a, b], и если f (a) = A, f (b) = B, то эта функция принимает все значения,лежащие на отрезке с концами в точках A и B.В самом деле, пусть, например, A < B, и пусть A < C < B. Тогда функция f (x) − Cнепрерывна на [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Следовательно, существует точка c ∈ [a, b] такая, что f (c) − C = 0, т.е. f (c) = C.Теорема (Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции).