Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 7

Тогда N — непустое ограниченное сверху подмножество R. Следовательно,у этого множества существует точная верхняя грань n0 . Для числа n0 выполнены дваусловия:1) для любого n ∈ N выполняется неравенство n 6 n0 ;2) для любого ε > 0 существует n ∈ N такое, что n > n0 − ε.Взяв ε = 1, получим, что n > n0 − 1, т.е. n + 1 > n0 , а т.к. n + 1 — натуральноечисло, то мы получаем противоречие с первым условием. Таким образом, точная верхняягрань n0 не существует, и множество N не является ограниченным сверху, т.е. аксиомаАрхимеда справедлива.

∗На рисунке показана геометрическая иллюстрация предела: чтобы по заданному ε > 0подобрать δ = δ(ε) > 0, о котором говорится в определении предела (по Коши), достаточно взять минимальное из чисел δ1 и δ2 .Рассмотрим теперь функцию f (x), определенную в некоторой окрестности точки +∞,т.е. на интервале (x0 , +∞). Число a называется пределом функции f (x) при x → +∞,если для любого ε > 0 существует число E (не меньшее x0 ) такое, что при всех x > Eвыполняется неравенство |f (x) − a| < ε.

Это — определение по Коши. Можно сформулировать и определение по Гейне: число a называется пределом функции f (x)при x → ∞, если для всякой последовательности точек {xn } интервала (x0 , +∞) изусловия lim xn = +∞ вытекает равенство lim f (xn ) = a. Эти определения эквиn→∞n→∞валентны; доказательство проводится так же, как и в случае x → x0 . Обозначение:a = lim f (x), или f (x) → a при x → +∞.x→+∞Следует отметить, что в теории последовательностей мы не рассматривали ситуацию3из последнего определения, когда lim xn = +∞.

Говорят, что последовательность {xn }n→∞имеет пределом +∞, если для любого числа E существует номер N такой, чтопри всех n > N выполняется неравенство xn > E. Аналогично определяются пределыlim xn = −∞, и lim xn = ∞. Надо только в последнем определении неравенство xn > En→∞n→∞заменить соответственно на xn < E и |xn | > E.Эти определения без труда переносятся на случай функций. Запись lim f (x) = +∞x→x0для функции, определенной в проколотой окрестности точки x0 , означает, что для любогоE найдется положительное число δ такое, что если 0 < |x − x0 | < δ, то f (x) > E.

Еслипоследнее неравенство заменить соответственно на f (x) < E или |f (x)| > E, то получимопределения того, что f (x) → −∞ или f (x) → ∞ при x → x0 .Рассмотрим теорему о единственности предела функции.Теорема (о единственности предела функции). Функция f (x), определенная в проколотой окрестности точки x0 , может иметь не более одного предела при x → x0 .Доказательство. Пусть a = lim f (x) и b = lim f (x), причем a 6= b. Для положиx→x0x→x0|a − b|найдется δ1 > 0 такое, что при 0 < |x−x0 | < δ1 выполняетсятельного числа ε =2неравенство |f (x) − a| < ε, и число δ2 > 0 такое, что при 0 < |x − x0 | < δ2 выполняетсянеравенство |f (x) − b| < ε.

Если δ = min(δ1 , δ2 ), то при 0 < |x − x0 | < δ имеем|a − b| = |(a − f (x)) + (f (x) − b)| 6 |a − f (x)| + |f (x) − b| < 2ε = |a − b|, т.е. |a − b| < |a − b|— противоречие. Теорема доказана.Теорема (о локальной ограниченности функции, имеющей предел). Для функцииf (x), имеющей (конечный) предел при x → x0 существует проколотая окрестностьэтой точки, на которой данная функция ограничена.Доказательство. Пусть a = lim f (x).

Тогда для положительного числа 1 найдетсяx→x0δ > 0 такое, что при 0 < |x − x0 | < δ выполняется неравенство |f (x) − a| < 1. Отсюда|f (x)| = |f (x) − a + a| 6 |f (x) − a| + |a| < 1 + |a|, т.е. |f (x)| < 1 + |a|,и мы видим, что f (x) ограничена в проколотой δ-окрестности (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ)точки x0 . Теорема доказана.Теорема (о сохранении функцией знака своего предела). Пусть предел lim f (x)x→x0положителен.

Тогда функция f (x) положительна в некоторой проколотой окрестноститочки x0 .aДоказательство. Пусть lim f (x) = a, a > 0. Тогда для положительного числаx→x02aнайдется δ > 0 такое, что при 0 < |x − x0 | < δ выполняется неравенство |f (x) − a| < .2aaaЭто неравенство равносильно такому: − < f (x) − a < ; следовательно, f (x) > ,222т.е. данная функция положительна при x ∈ (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ).

Теорема доказана.Переформулированные соответствующим образом последние три теоремы остаются всиле и для других рассмотренных выше предельных процессов.Теорема (о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции f (x) и g(x) определены в проколотой окрестности Ů (x0 ) точки x0 , причем для любого x ∈ Ů (x0 ) выполняется неравенство f (x) > g(x). Тогда, если эти функции имеют пределы a = lim f (x)x→x0и b = lim g(x), то a > b.x→x0Доказательство.Пусть вопреки утверждению теоремыa < b,и пустьb−a> 0. Тогда существует δ1 > 0 такое, что при 0 < |x − x0 | < δ1 имеет место неε=24равенство |f (x) − a| < ε, т.е. a − ε < f (x) < a + ε.

Аналогично существует δ2 > 0 такое,что при 0 < |x−x0 | < δ2 выполняется неравенство |g(x)−b| < ε, т.е. b−ε < g(x) < b+ε.a+b= b − ε < g(x), т.е.Если δ = min(δ1 , δ2 ), и 0 < |x − x0 | < δ, то f (x) < a + ε =2f (x) < g(x) для указанных значений x — противоречие. Теорема доказана.Замечание. Если в условии теоремы неравенство f (x) > g(x) заменить на строгое,т.е.

если f (x) > g(x), то отсюда, вообще говоря, не следует, что a > b. Например, при|x| < 1, x 6= 0, имеем |x| > x2 . В то же время lim |x| = lim x2 = 0.x→0x→0Теорема (о пределе промежуточной функции). Пусть для всех x из некоторой проколотой окрестности Ů (x0 ) точки x0 выполняется двойное неравенствоf (x) 6 g(x) 6 h(x) , и пусть существуют пределы lim f (x) и lim h(x), равные одx→x0x→x0ному и тому же числу a. Тогда и lim g(x) = a.x→x0Доказательство. Для произвольного положительного числа ε существуют положительные числа δ1 и δ2 такие, что при 0 < |x − x0 | < δ1 имеет место неравенство|f (x) − a| < ε, т.е. a − ε < f (x) < a + ε, а при 0 < |x − x0 | < δ2 выполняется неравенство|h(x) − a| < ε, т.е.

a − ε < h(x) < a + ε. Тогда при 0 < |x − x0 | < δ, δ = min(δ1 , δ2 ),выполняется неравенство a − ε < f (x) 6 g(x) 6 h(x) < a + ε, т.е. a − ε < g(x) < a + ε, и|g(x)−a| < ε. Таким образом, при 0 < |x−x0 | < δ имеет место неравенство |g(x)−a| < ε.Это означает, что lim g(x) = a.

Теорема доказана.x→x0Заметим, что аналоги доказанных теорем справедливы и для других рассмотренныхвыше предельных процессов (в том числе и в теории последовательностей).5кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 6.Односторонние пределы.

Теорема о замене переменной в пределе(о пределе сложной функции). Арифметические операции с функциями, имеющими пределы. Первый и второй замечательные пределы.Следствия из них.ОЛ-1, пп. 7.2, 7.4-7.7Пусть функция f (x) определена при x0 < x < x0 +η, где η − некоторое положительное число. Говорят, что a есть предел функции f (x) при x → x0 +, если для любогоε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что при любом x, x0 < x < x0 + δ, выполняетсянеравенство |f (x) − a| < ε. Такой предел называют правосторонним или пределом приx → x0 справа. Обозначение:lim f (x) = a.

Аналогично можно определить пределx→x0 +lim f (x) при условии, что функция f (x) задана при x0 − η < x < x0 ; η > 0.x→x0 −Пример. Рассмотрим функцию («сигнум 1,0,sign x =−1,Очевидно, lim sign x = −1,x→0−икс»)если x > 0,если x = 0,если x < 0.lim sign x = 1.x→0+Теорема (о пределе сложной функции). Пусть функция f (x) определена в проколотойокрестности точки x0 и принимает значения в проколотой окрестности V̊ (y0 ) точки y0 ,причём lim f (x) = y0 .

Тогда, если функция g(y) определена на V̊ (y0 ), и lim g(y) = a, тоx→x0y→y0и lim g(f (x)) = a.x→x0Доказательство. Пусть задано ε > 0. Т.к. lim g(y) = a, то для ε найдётся δ = δ(ε) > 0y→y0такое, что при 0 < |y − y0 | < δ выполняется неравенство |g(y) − a| < ε. Для положительного числа δ в силу равенства lim f (x) = y0 существует число η = η(δ) > 0 такое, что приx→x01всех x, 0 < |x − x0 | < η, имеет место неравенство |f (x) − y0 | < δ; при этом в силу того, чтоf (x) ∈ V̊ (y), и, следовательно, f (x) 6= y0 , выполняется также неравенство |f (x) − y0 | > 0.Таким образом, по заданному ε > 0 мы нашли η > 0 такое, что при всех x, 0 < |x−x0 | < η,выполняется неравенство 0 < |f (x) − y0 | < δ; в таком случае для всех указанных x выполняется неравенство |g(f (x)) − a| < ε. Это означает, что lim g(f (x)) = a. Теоремаx→x0доказана.Замечание. Теорема остаётся в силе, если какие-либо из чисел x0 , y0 или a заменитьсимволами −∞, +∞ или ∞.

Можно также рассмотреть аналоги доказанной теоремы, вкоторых фигурируют односторонние пределы. Ограничение f (x) 6= y0 можно отбросить,если функция g(y) определена при y = y0 , и g(y0 ) = a.Пример. Найти пределы lim arccos th x и lim arccos th x.x→−∞x→+∞Из графика арккосинуса ясно, что lim arccos y = π и lim arccos y = 0. Для доказательy→−1+y→1−ства этих равенств следует воспользоваться непрерывностью арккосинуса, которая будетрассмотрена ниже. Поскольку th x → −1 при x → −∞, и th x → 1 при x → +∞, причёмвсегда | th x| < 1, то arccos th x → π при x → −∞, и arccos th x → 0 при x → +∞.Теорема(обарифметическихоперацияхнадфункциями,имеющими предел).Пустьlim f (x)=a,lim g(x)=b.Тогдаx→x0x→x0af (x)= . Последнее равенx→x0x→x0x→x0 g(x)bство справедливо при b 6= 0, а также при условии, что g(x) 6= 0 для всех x изнекоторой проколотой окрестности точки x0 .Доказательство.