Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 3

Например, отрезок можно определить так:[ a, b ] = {x | a 6 x 6 b}.Окрестностью U (x) точки x называют любой интервал, содержащий эту точку; εокрестностью точки x (при положительном ε) называют интервал (x − ε, x + ε). Окрестностями точек −∞ и +∞ называют соответственно интервалы вида (−∞, a) и (a, +∞), гдеa — произвольное действительное число. Иногда рассматривают бесконечность ∞ «беззнака».

Окрестностью такой бесконечности называют объединение двух бесконечных интервалов (−∞, −a) ∪ (a, +∞), где a — произвольное действительное число.Опираясь на свойство полноты множества действительных чисел (свойство 13 в нашейнумерации), можно доказать лемму о вложенных отрезках.Лемма. Для любой последовательностиI1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · ·вложенных отрезков найдётся точка c ∈ R, принадлежащая всем этим отрезкам.∗ Доказательство. Пусть Im = [ am , bm ] и In = [ an , bn ] — два различных отрезкарассматриваемой последовательности. Тогда am 6 bn . В самом деле, если это не так,т.е.

если am > bn , то an 6 bn < am 6 bm , и отрезки Im и In не имеют общих точек, в товремя как по условию один из них (тот, у которого номер больше) должен содержаться вдругом. Мы видим, что для числовых множеств A = {an } и B = {bn }, т.е. для множествсоответственно левых и правых концов рассматриваемых отрезков, выполнены условиясвойства полноты. Поэтому существует число c, для которого an 6 c 6 bn при всехn = 1, 2, 3, .

. ., т.е. c принадлежит всем отрезкам In . Лемма доказана. ∗Пусть X ⊂ R. Множество X называется ограниченным снизу, если существует числоc1 такое, что c1 6 x для любого x ∈ X. Аналогично говорят, что X ограничено сверху, еслисуществует число c2 такое, что x 6 c2 для любого x ∈ X. Если множество ограниченокак снизу, так и сверху, то оно называется ограниченным. Множество, не являющеесяограниченным, называется неограниченным. Можно также определить неограниченноемножество как множество, не содержащееся ни в одном отрезке.Пусть числовое множество X ограничено сверху. Всякое число, не меньшее любогоэлемента множества X называется верхней границей этого множества. Пусть M — наименьшая из верхних границ множества X.

Тогда M называется точной верхней гранью(или супремумом) X; при этом пишутM = sup X.Очевидно, точная верхняя грань M характеризуется двумя свойствами:1) для любого x ∈ X выполняется неравенство x 6 M ,42) для любого ε > 0 существует число x ∈ X такое, что x > M − ε.Первое из этих свойств означает, что M — верхняя граница множества X, а второе— что M наименьшая из таких границ. Аналогично вводится понятие нижней границыдля ограниченного снизу множества X и понятие точной нижней грани (или инфимума)m как наибольшей из всех таких границ; при этом пишутm = inf X.Точная нижняя грань характеризуется свойствами:1) для любого x ∈ X выполняется неравенство x > m;2) для любого ε > 0 существует число x ∈ X такое, что x < m + ε.Из свойства полноты множества R следует, что у всякого непустого ограниченногосверху числового множества существует точная верхняя грань, а у всякого непустого ограниченного снизу числового множества существует точная нижняя грань.∗ Докажем существование точной верхней грани.

Пусть X — непустое ограниченноесверху числовое множество; через Y обозначим множество всех его верхних границ. Ясно,что Y 6= ∅. Поскольку для любых чисел x ∈ X и y ∈ Y выполняется неравенство x 6 y,мы можем применить свойство полноты. Согласно этому свойству существует число Mтакое, чтоx6M 6y(11)для любых x ∈ X и y ∈ Y . Докажем, что M = sup X. В самом деле, т.к. x 6 M длялюбого x ∈ X, то M является верхней границей множества X, а т.к.

M 6 y для любогоy ∈ Y , то M — наименьшая из таких границ. Поэтому M есть точная верхняя граньмножества X. Доказательство закончено. ∗5кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 3.Функция (отображение), её график, аргумент и значение функции,область определения, множество значений, образ и прообраз.

Сумма,произведение и композиция функций. Обратные функции. Свойствачисловых функций (монотонность, ограниченность, чётность, периодичность). Класс элементарных функций. Примеры функций, неявляющихся элементарными.ОЛ-1 гл. 2, 3.Пусть X и Y — произвольные множества. Говорят, что задана функция f ,определенная на множестве X со значениями в Y , если каждому элементу x множестваX поставлен в соответствие элемент f (x) множества Y ; при этом пишутf : X → Y.(1)Множество X в (1) называется областью определения функции f . Областью значений этой функции называется подмножество множества Y , состоящее из тех (и толькотех) его элементов y, для которых y = f (x) при некотором x ∈ X; область значенийобычно обозначают f (X). Символ x, которым обозначается общий элемент множестваX называется аргументом функции или независимой переменной.

Элемент f (x0 ) ∈ Y ,поставленный в соответствие элементу x0 ∈ X, называется значением функции f вточке x0 . Часто вместо (1) пишут y = f (x). Заметим, что в соответствии со сказанныму последней записи есть и другой смысл: y есть значение функции f в точке x. Какправило, в конкретных случаях бывает ясно, о чем идет речь, и к недоразумениям такаядвусмысленность не приводит.

При изменении аргумента значения функции y = f (x),вообще говоря, меняются. По этой причине y называют зависимой переменной. Следуетиметь в виду, что слово функция имеет много синонимов: отображение, преобразование,соответствие, оператор, функционал и др. В общей теории функций чаще используетсятермин отображение. На первых порах мы почти исключительно будем заниматься действительнозначными функциями действительной переменной, т.е. в общем определениифункции (1) множества X и Y будут подмножествами числовой прямой. Такие функциимы будем для краткости называть числовыми.Рассмотрим плоскость, на которой введена декартова прямоугольная система координат.

Каждой точке плоскости можно известным способом поставить в соответствиеупорядоченную пару действительных чисел (x, y) — ее координаты. В результате получим взаимно однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множествомупорядоченных пар действительных чисел. Пусть X ⊂ R. Графиком функцииf :X→R1называется множество точек плоскостиГ = {(x, y)| x ∈ X, y = f (x)}.График функции дает наглядное представление о поведении функции.Пусть даны два отображенияf :X→Yиg : Y → Z.C их помощью можно построить новое отображениеg ◦ f : X → Z,которое элементу x ∈ X ставит в соответствие элемент g(f (x)) ∈ Z. Такая операция надфункциями называется композицией; функцию z = g(f (x)) называют при этом сложнойфункцией.Отображение f : X → Y называется сюръективным, если для любого y ∈ Y существует элемент x ∈ X такой, что y = f (x).

Это означает, что f отображает Xна Y (в общем случае X отображается в Y ). Отображение f : X → Y называетсяинъективным, если для любых элементов x1 и x2 множества X из x1 6= x2 следует,что f (x1 ) 6= f (x2 ). Если отображение одновременно сюръективно и инъективно, то ононазывается биективным отображением (или взаимно однозначным соответствием).

Множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие,называются равномощными. Если равномощные множества конечны, то они состоят изодного и того же числа элементов. Мощностью (или кардинальным числом) называетсято общее, что есть у равномощных множеств. Это — определение на интуитивном уровне;точное определение мы не рассматриваем. Мощность множества A обозначается черезcard A. Если множества X и Y равномощны, то пишут card X = card Y .Если X равномощно некоторому подмножеству Y1 множества Y , но при этом X и Yне равномощны, то пишут card X < card Y .Пример.

Поставим в соответствие каждому натуральному числу n чётное число2n. В результате получим взаимно однозначное соответствие между множеством N2натуральных чисел и множеством чётных чисел. Возможность для множества быть равномощным своей части характерна именно для бесконечных множеств.Множество, равномощное множеству натуральных чисел N, называется счётным.Если X счётно, то существует взаимно однозначное соответствие между X и N. Еслипри этом натуральному числу n соответствует элемент xn , то все элементы множестваX можно расположить в виде последовательностиx 1 , x2 , . . .