Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 5

. + xn | 6 |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |.Рассмотрим теперь понятие предела последовательности.Число a называется пределом последовательности {xn }, если для любого положительного ε существует номер N = N (ε) такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство |a − xn | < ε. При этом пишут lim xn = a, или xn −→ a при n −→ ∞.n→∞Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Поскольку неравенство|a − xn | < ε эквивалентно неравенству a − ε < xn < a + ε, то все элементы сходящейся последовательности за исключением конечного их числа при любом ε > 0 лежат вε-окрестности точки a.Примеры.

1. Не всякая последовательность имеет предел. Пусть, например, xn = n.Ясно, что за пределами 1-окрестности (a − 1, a + 1) любого числа a лежит бесконечномного элементов данной последовательности. Поэтому ни одно число не может служитьеё пределом, предел lim xn не существует.n→∞12. Пусть 0 < q < 1, и пусть xn = q n .

Докажем, чтоlim xn = 0. Предвари-n→∞тельно рассмотрим понятие целой части числа. Целой частью [x] числа x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Из этого определения следует, что[x] 6 x < [x] + 1. Вернёмся к последовательности xn = q n . Неравенство q n < ε, очевидно,lg ε. Поэтому при выполнении последнего неравенстваэквивалентно неравенству n >lg qnnимеем |0− q | = q < ε. В качестве номера N из определения предела можно взятьlg εN=+ 1.lg qРассмотрим теоремы об основных свойствах сходящихся последовательностей.Теорема (о пределе постоянной).

Если xn = c, n = 1, 2, . . . , то lim xn = c.n→∞Доказательство. Пусть задано положительное ε. Возьмём N = 1. Тогда при n > Nимеем |c − xn | = |c − c| = 0 < ε. В соответствии с определением предела получаем отсюда,что lim xn = c. Теорема доказана.n→∞Заметим, что в последней теореме на деле N от ε не зависит.Теорема (о единственности предела).

Последовательность может иметь не болееодного предела.Доказательство.Пусть последовательность{xn }имеет два предела:|a − b|> 0 найдется ноlim xn = a и lim xn = b, причем a 6= b. Тогда для ε =n→∞n→∞3мер N1 такой, что при всех n > N1 выполняется неравенство |a − xn | < ε; найдетсятакже номер N2 такой, что при всех n > N2 выполняется неравенство |b−xn | < ε. Пусть2|a − b|n > max(N1 , N2 ). Тогда |a−b| = |a−xn +xn −b| 6 |a−xn |+|xn −b| < ε+ε = 2ε =,32т.е.

|a − b| < |a − b| — противоречие. Теорема доказана.3Выше мы рассматривали ограниченные числовые функции. Напомним соответствующие понятия применительно к последовательностям (которые являются функциями натурального аргумента). Последовательность {xn } называется ограниченной снизу, еслисуществует число c1 такое, что xn > c1 при всех n = 1, 2, . .

. . Последовательность{xn } называется ограниченной сверху, если существует число c2 такое, что xn 6 c2при всех n = 1, 2, . . . . Последовательность, ограниченная как сверху, так и снизу, называется ограниченной. Пользуясь тем, что неравенство |xn | 6 c равносильно двойномунеравенству −c 6 xn 6 c, нетрудно проверить, что последовательность {xn } ограниченатогда и только тогда, когда последовательность {|xn |} ограничена сверху. Последнее замечание относится и к произвольным числовым функциям: ограниченность функции f (x)на некотором множестве равносильна ограниченности сверху функции |f (x)| на этом множестве.Теорема (об ограниченности сходящейся последовательности).

Всякая сходящаясяпоследовательность ограничена.Доказательство. Пусть {xn } сходится, и пусть a = lim xn . Тогда для положительn→∞ного числа 1 существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство|a − xn | < 1. Отсюда |xn | − |a| 6 |a − xn | < 1, т.е.

|xn | < |a| + 1. Следовательно,|xn | 6 max(|x1 |, . . . , |xN |, |a| + 1), n = 1, 2, . . . , и последовательность {xn } ограничена.Теорема доказана.Рассмотрим арифметические операции над последовательностями.Пусть даныпоследовательности{xn } и {yn }. Тогда можно составить последовательности{xn + yn }, {xn − yn }, {xn yn }, {xn /yn }, называемые соответственно суммой, разностью,2произведением и частным исходных последовательностей. В случае частного предполагается, что {yn } состоит из ненулевых чисел.Теорема (о сумме и разности сходящихся последовательностей).Пустьlim xn = a, lim yn = b. Тогда lim (xn ± yn ) = a ± b.n→∞n→∞n→∞Доказательство.

Пусть задано ε > 0. Тогда для положительного числа ε/2 сущеεствует номер N1 такой, что при всех n > N1 выполняется неравенство |a − xn | < .2Аналогично существует номер N2 такой, что при n > N2 выполняется неравенствоε|b − yn | < . При n > max(N1 , N2 ) имеем2|(a ± b) − (xn ± yn )| = |(a − xn ) ± (b − yn )| 6 |a − xn | + |b − yn | <ε ε+ = ε.2 2Отсюда по определению предела последовательности получаем, что lim (xn ± yn ) = a ± b.n→∞Теорема доказана.Теорема (о пределе произведения сходящихся последовательностей).Пустьlim xn = a, lim yn = b.

Тогда lim xn yn = ab.n→∞n→∞n→∞Доказательство. Т.к. последовательность {xn } сходится, то эта последовательностьограничена. Следовательно, существует (неотрицательное) число c такое, что |xn | 6 cпри всех n = 1, 2, . . . . Пусть задано ε > 0. Поскольку lim xn = a, то для положительn→∞εсуществует номер N1 такой, что при всех n > N1 выполняетсяного числа2(|b| + 1)εε.

Для положительного числатакже найдетсянеравенство |a − xn | <2(|b| + 1)2(c + 1)εномер N2 такой, что при всех n > N2 справедливо неравенство |b − yn | <—2(c + 1)это следует из того, что lim yn = b. Отсюда при n > max(N1 , N2 ) получаемn→∞|ab − xn yn | = |ab − bxn + bxn − xn yn | 6 |b| · |a − xn | + |xn | · |b − yn | << |b| ·εεε ε+c·< + = ε,2(|b| + 1)2(c + 1)2 2т.е.

|ab − xn yn | < ε, если n > max(N1 , N2 ). По определению предела это означает, чтоlim xn yn = ab. Теорема доказана.n→∞(о пределе частного сходящихся последовательностей).Пустьlim yn = b, причем b 6= 0, а последовательность {yn } состоит изn→∞n→∞xnaненулевых чисел.

Тогда lim= .n→∞ ynb11Доказательство. Если мы докажем, что lim= , то рассматриваемая теоремаn→∞ ynb|b|станет следствием предыдущей. Заметим сначала, что для положительного числа2|b|найдется номер N1 такой, что при всех n > N1 выполняется неравенство |b − yn | <2|b|— это следует из того, что lim yn = b. Отсюда |b| − |yn | 6 |b − yn | <. Поэтомуn→∞2|b||b||b| − |yn | < , и |yn | > . Из последнего неравенства получаем, что22Теоремаlim xn = a,12<|yn ||b|3ε|b|22ε|b|2существует номер N2 такой, что при n > N2 справедливо неравенство |yn − b| <.2При n > max(N1 , N2 ) имеем тогда211 − = |yn − b| < 2 · ε|b| = ε, b yn |b| · |yn ||b|221111т.е.

− < ε, если n > max(N1 , N2 ). Поэтому lim= , а отсюда, какn→∞b ynynbотмечалось выше, вытекает справедливость теоремы. Теорема доказана.Последовательность {xn } называется фундаментальной, если для любого ε > 0существует номер N = N (ε) такой, что при любых m > N и n > N выполняетсянеравенство |xm − xn | < ε.Следующая теорема является основной в теории пределов.Теорема (Критерий Коши существования предела последовательности). Для того,чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она былафундаментальной.Поскольку в этой теореме идет речь об эквивалентности двух условий, то ее доказательство естественным образом распадается на две части: доказательство необходимостии доказательство достаточности.Доказательство необходимости.

Требуется доказать, что если последовательностьсходится, то она фундаментальна. Пусть {xn } — сходящаяся последовательность,εнайдется номерa = lim xn , и пусть задано ε > 0. Для положительного числаn→∞2N такой, что при m > N и n > N выполняютсяпри всехn > N1 .Пусть заданоε > 0.неравенства|a − xm | <Тогда для положительного числаεεи |a − xn | < .22Тогдаε ε+ = ε,2 2т.е.

|xm − xn | < ε, если m > N и n > N. Мы видим, что последовательность {xn }фундаментальна. Необходимость доказана.∗ Доказательство достаточности. Здесь требуется доказать, что если {xn } —фундаментальная последовательность, то у этой последовательности существует предел.Докажем сначала, что {xn } ограничена. Для положительного числа 1 существует номерN такой, что при m > N и n > N выполняется неравенство |xm − xn | < 1. Вчастности, при m = N отсюда следует, что при всех n > N справедливо неравенство|xN − xn | < 1. Следовательно, |xn | − |xN | 6 |xN − xn | < 1, и |xn | 6 |xN | + 1.

Поэтому привсех n = 1, 2, . . . имеем|xm − xn | = |(xm − a) + (a − xn )| 6 |xm − a| + |a − xn | <|xn | 6 max(|x1 |, . . . , |xN |, |xN | + 1),и последовательность {xn } ограничена. Поэтому все элементы этой последовательности принадлежат некоторому отрезку [a1 , b1 ]. Разделим этот отрезок пополам и из двухa1 + b 1a1 + b 1образовавшихся отрезков a1 ,и, b1 выберем тот, который содержит22бесконечно много элементов рассматриваемой последовательности {xn }. Обозначим выb 1 − a1бранный отрезок [a2 , b2 ].

Очевидно, [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] и b2 − a2 =. Далее разделим24a2 + b 2a2 + b 2и, b2 выберем тот, который[a2 , b2 ] пополам и из двух отрезков a2 ,22содержит бесконечно много элементов последовательности {xn }. Вновь выбранный отреb 2 − a2b 1 − a1зок обозначим [a3 , b3 ]. Очевидно, [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ [a3 , b3 ], и b3 −a3 ==.24Продолжая этот процесс выбора отрезков, получим последовательность вложенных отрезb 1 − a1ков [a1 , b1 ] ⊃ [a2 , b2 ] ⊃ . . . ⊃ [an , bn ] ⊃ .