Лекции с официального сайта кафедры ФН-12, страница 12

Непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на этом отрезке наибольшего инаименьшего значений.∗ Доказательство. Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b],но не является ограниченной на этом отрезке. Обозначим I1 = [a1 , b1 ] = [a, b]. Разделимотрезок I1 пополам и обозначим через I2 = [a2 , b2 ] тот из получившихся отрезковa1 + b 1a1 + b 1, b1 , на котором функция f (x) неограничена. Тогда I2 ⊂ I1 , ииa1 ,22b−aдлина отрезка I2 равна. Пусть уже построены отрезки In ⊂ In−1 ⊂ . .

. ⊂ I1 , причём2b−aна отрезке Ik = [ak , bk ] функция f (x) неограничена, и длина этого отрезка равна k−1 ,2k = 1, . . . , n. РазделимотрезокIn пополам и обозначимIn+1 = [an+1 , bn+1 ] тот из полуan + b nan + b nчившихся отрезков an ,и, bn , на котором функция f (x) неограничена.22b n − anb−aТогда In+1 ⊂ In , длина In+1 равна=, и построение отрезков по индукции22nможет быть продолжено.

По принципу вложенных отрезков существует точка c, принадлежащая всем построенным отрезкам, в частности c ∈ [a1 , b1 ] = [a, b]. В точке c функцияf (x) непрерывна, и, следовательно, имеет предел (равный f (c)) при x → c. По теореме олокальной ограниченности функции, имеющей конечный предел, f (x) ограничена в некоторой окрестности (c − δ, c + δ) ∩ [a, b], δ > 0, этой точки (окрестность может получитьсяи односторонней, если точка c совпадет с одной из граничных точек отрезка [a, b]).

С друb−aгой стороны, при достаточно большом n выполняется неравенство< δ, и отрезок2nIn должен целиком лежать в указанной окрестности, т.к. этот отрезок содержит точкуc. Поскольку по построению функция f (x) неограничена на отрезке In , то мы получаемпротиворечие. Итак, ограниченность функции f (x) на отрезке [a, b] доказана. Посколькумножество значений функции f (x) на указанном отрезке не пусто и ограничено, то существует точная верхняя грань M = sup f (x) множества значений функции f (x) наx∈[a,b]этом отрезке.

Если f (x) < M для всех x ∈ [a, b], то функция M − f (x) непрерывна и2положительна на [a, b], а тогда g(x) = 1/ M − f (x) непрерывна на этом отрезке и подоказанному ограничена на нём. С другой стороны для любого ε > 0 существует точка11> . Этоξ ∈ [a, b] такая, что f (ξ) > M − ε, т.е. ε > M − f (ξ) > 0, и g(ξ) =M − f (ξ)εпротиворечит ограниченности функции g(x) на [a, b]. Полученное противоречие доказывает существование на отрезке [a, b] точки c такой, что f (c) = M .

Ясно, что при этомM будет максимальным значением функции f (x) на [a, b]. Аналогично можно доказать,что минимальное значение функции f (x) на рассматриваемом отрезке также достигаетсяв некоторой его точке. Теорема доказана. ∗Заметим, что для промежутков, не являющихся отрезками, утверждения теоремы могут и не выполняться. Например, функция f (x) = 1/x непрерывна, но неограничена наинтервале (0, 1).

Далее, функция f (x) = x непрерывна на (0, 1), но не имеет на этоминтервале максимального и минимального значений.Теорема (о непрерывности обратной функции). Пусть функция f (x) определена, непрерывна и возрастает на отрезке [a, b]. Тогда на отрезке f (a), f (b) определена обратнаяфункция f −1 (y), которая непрерывна и возрастаетна этом отрезке.∗ Доказательство.

Пусть y ∈ f (a), f (b) . По теореме о промежуточном значениисуществует число x ∈ [a, b] такое, что y = f (x). Это число единственно, т.к. еслиx0 6= x, то x0 > x или x0 < x, и, соответственно,f (x0 ) > f (x) = y или f (x0 ) < f (x) = y.Итак, каждому y из отрезка f (a), f (b) можно поставить в соответствие число x ∈ [a, b],являющееся единственнымрешением уравнения y = f (x).

Мы видим, что обратная−1функция f : f (a), f (b) → [a, b] действительно существует. Эта функция возрастает.В самом деле, пусть f (a) 6 y1 < y2 6 f (b). Тогда если f −1 (y1 ) = f −1 (y2 ), тоf f −1 (y1 ) = f f −1 (y2 ) , т. е. y1 = y2 , что невозможно. Еслиже f −1 (y1 ) > f −1 (y2 ), тов силу возрастания функции f (x) получаем отсюда f f −1 (y1 ) > f f −1 (y2 ) , т.е. y1 > y2– противоречие.Остаетсяпризнать, что f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ), и функция f −1 (y) возрастает на f (a), f (b) . Докажем, что f −1 (y) непрерывна в произвольной точке y0 этогоотрезка. Пусть f −1 (y0 ) = x0 , и пусть задано ε > 0.

Для определённости точки x0 иy0 будем считать внутренними точками соответствующих отрезков; число ε можно считать столь малым, что a < x0 − ε < x0 + ε < b. Т.к. функция f (x) возрастает, тоf (a) < f (x0 −ε) < f (x0 ) = y0 < f (x0 +ε) < f (b). Пусть δ = min y0 −f (x0 −ε), f (x0 +ε)−y0 .Ясно, что δ > 0. Тогда, если |y−y0 | < δ, то по определениюδ имеем f (x0 −ε) < y < f (x 0 +ε).−1−1−1−1Т.к. функция f (y) возрастает,то f f (x0 − ε) < f (y) < ff (x0 + ε) , т.е.x0 − ε < f −1 (y) < x0 + ε, и f −1 (y) − x0 = f −1 (y) − f −1 (y0 ) < ε, и непрерывность функцииf −1 (y) в точке y0 доказана.

Аналогично можно доказать непрерывность (одностороннюю)этой функции и в граничных точках f (a) и f (b). Теорема доказана. ∗Можно сформулировать и доказать другие варианты этой теоремы. Возрастающуюфункцию f (x) можно заменить убывающей.Отрезки [a, b] и [f (a), f (b)] можно заменитьинтервалами (a, b) и f (a + 0), f (b − 0) , где f (a + 0) = lim f (x), f (b − 0) = lim f (x),x→a+x→b−причем последние пределы могут быть и бесконечными.В качествеh π π i приложения доказанной теоремы рассмотрим функцию f (x) = sin x на от.

Все требования теоремы о непрерывности обратной функции выполнены.резке − ,2 2Поэтому функция x = arcsin y непрерывна и возрастает на отрезке [−1, 1].Пусть функция f (x) определена при x > x0 . Прямая y = a называется правой горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x), если lim f (x) = a.

По теореме оx→+∞связи функции, её предела и бесконечно малой мы можем написать f (x) = a + o(1), гдеo(1) — бесконечномалая функция при x → +∞. И здесь расстояние |a − f (x)| от точкиM x, f (x) графика функции y = f (x) до асимптоты стремится к нулю, если точка Mвдоль графика стремится в бесконечность (т. е. если x → +∞).

Аналогично определяется3и левая горизонтальная асимптота в случае функции, определённой при x < x0 (т. е. вокрестности точки −∞).πПример. График функции y = arctg x имеет горизонтальные асимптоты y =и2πy = − соответственно при x → +∞ и x → −∞. Горизонтальные асимптоты имеют21также графики функций y = ax , y = , y = arcctg x, y = th x, y = cth x и др.xПусть снова функция f (x) определена при x > x0 , и пусть f (x) = Ax + B + o(1) приx → +∞. Тогда прямая y = Ax + B называется (правой) наклонной асимптотой графикафункции y = f (x).

И здесь расстояние от точки M (x, f (x)) графика функции y = f (x) доасимптоты стремится к нулю, если M стремится в бесконечность вдоль графика рассматриваемой функции (т. е. при x → +∞). Это следует из того, что указанное расстояниене превосходит модуля разности соответствующих ординат, т.е. величины |f (x)−Ax−B|,которая бесконечно мала при x → +∞ по определению асимптоты.

Аналогично определяется и левая наклонная асимптота для функции, заданной при x < x0 . Очевидно также,что горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной.Пример. В курсе аналитической геометрии встречаются асимптоты гиперболы. Например, расположенная в первой четверти√часть гиперболы x2 − y 2 = 1, которую можнорассматривать как график функции y = x2 − 1, имеет (правую) наклонную асимптотуy = x.Теорема (о необходимых и достаточных условиях наличия наклонной асимптоты).Пусть функция f (x) определена при x > x0 . Прямая y = Ax + B тогда и только являетсяправой асимптотой графика данной функции, когдаf (x)=A иx→+∞ xlimlim f (x) − Ax = B .x→+∞Доказательство.

Необходимость. Пусть y = Ax + B — правая наклонная асимптотаграфика функции y = f (x). Тогда по определению f (x) = Ax+B +o(1), x → +∞. Отсюдаf (x)Bo(1)= A++→ A, f (x) − Ax = B + o(1) → B, если x → +∞. Необходимостьxxxдоказана.Достаточность. Если f (x) − Ax → B при x → +∞, то f (x) − Ax = B + o(1),x → +∞. Поэтому прямая y = Ax + B есть (правая) наклонная асимптота графика функции y = f (x). Предел lim f (x)/x = A здесь не понадобился. Достаточность доказана.x→+∞Теорема доказана.Пример.Найдём с помощью доказанной теоремы асимптоты графика функ11+y(x)x3 + x2x3 + x2x.Имеем lim= lim= lim= 1;ции y =1x→∞ xx→∞ x(x2 + 1)x→∞x2 + 11+ 2x11−x3 + x2 − x3 − xx = 1.lim y(x) − x = lim=lim1x→∞x→∞x→∞x2 + 11+ 2xВ данном случае прямая y = x + 1 является двусторонней наклонной асимптотой.4кафедра «Математическое моделирование»проф.

П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 11.Производная функции в точке, ее геометрический и механическийсмысл. Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке. Бесконечная производная, односторонние производныеи их геометрический смысл. Дифференцируемость функции в точке,эквивалентность дифференцируемости существованию в точке конечной производной. Связь непрерывности и дифференцируемости.Основные правила дифференцирования функций. Дифференцирование обратных функций.ОЛ-2, пп.

1.1-1.6, 2.1, 2.2, 4.1, 4.2.Пусть функция f (x) определена в окрестности точки x0 , и пусть ∆x 6= 0 таково,что x0 + ∆x принадлежит указанной окрестности. Если существует конечный пределf (x0 + ∆x) − f (x0 ), то он называется производной функции f (x) в точке x0 и обознаlim∆x→∞∆x0чается f (x0 ). Как известно, знаменатель дроби под знаком последнего предела называетсяприращением аргумента, а числитель — приращением функции. Поэтому говорят также,что производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргументапри условии, что последнее стремится к нулю.Пусть материальная точка движется вдоль оси абсцисс, и пусть x(t) — её координатав момент времени t. Для вычисления мгновенной скорости движения материальной точкиx(t0 + ∆t) − x(t0 )и находят его предел при ∆t → 0.при t = t0 составляют отношение∆tТаким образом, мгновенная скорость изменения координаты (в данном случае абсциссы)материальной точки при t = t0 равна x0 (t0 ).Пусть имеется (плоская) кривая γ, и на ней задана точка M .

Выберем на этой кривойточку M1 , отличную от M и проведем секущую M M1 . Если при стремлении M1 к Mсекущая M M1 стремится занять определенное положение, то прямая T , находящаяся вэтом положении, называется касательной к кривой γ в точке M .1Углом наклона к оси абсцисс прямой l, пересекающей эту ось в точке P , называетсяугол, на который следует повернуть вокруг точки P в направлении против часовой стрелкилуч, исходящий из точки P в положительном направлении оси абсцисс, до его совпаденияс прямой l. Если прямая l параллельна оси абсцисс (или совпадает с ней), то указанный угол по определению считается равным нулю.

Пусть дан график функции y = f (x),определённой в окрестности точки x0 и пусть точка M (x0 , f (x0 )) лежит на этом графике.Возьмём на графике функции y = f (x) точку M1 (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)). Угловой коэффициент (т.е. тангенс угла наклона к оси абсцисс) секущей, проходящей через точки M и M1 ,f (x0 + ∆x) − f (x0 )∆f (x0 )=. Если функция f (x) имеет производную в точке x0 ,равен∆x∆xто угловой коэффициент касательной, положение которой стремится при ∆x → 0 занятьf (x0 + ∆x) − f (x0 ).секущая, равен f 0 (x0 ) = lim∆x→0∆xОтсюда — геометрический смысл производной: производная f 0 (x0 ) равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке (x0 , f (x0 )). Знаяугловой коэффициент, нетрудно составить уравнение касательной:y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ) .Нормалью к кривой γ в точке M , лежащей на этой кривой, называется прямая, проходящая через M перпендикулярно касательной к γ в этой точке.