Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики, страница 8

7.2(7.1)Fтр = f ⋅ N .Коэффициент пропорциональности f называется коэффициентом трения скольжения. Этот коэффициент определяется опытным путем. Величина его оказывается 0 < f ≤ 1. Считается, что он зависит только от материала, из которого изготовлены трущиеся поверхности, и от физического состояния (чистоты обработки, смазки и т.п.). При необходимости провеститочные расчеты стараются учесть известные зависимости коэффициентатрения f ещё и от скорости, от температуры и пр. Методику таких расчетовможно найти в специальной литературе.Конечно, трение скольжения увеличивает область устойчивости равновесного состояния конструкции, но решение задач несколько усложняется появлением дополнительной неизвестной реакции поверхности Fтр .Обычно исследуют равновесное состояние системы на границе междупокоем и скольжением, полагая силу трения Fтр = f ⋅ N , и решают задачуобычным, известным методом – составлением уравнений равновесия.Пример.

На какое максимальное расстояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис. 7.3), если вес человека Р, коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной f1 , между лестницей и полом f 2 .Рассматриваем равновесие лестницы с человеком. Показываем силуP , нормальные реакции N A и N B и добавляем силы трения: F A = f1 ⋅ N Aи F B = f 2 ⋅ N B . Полагаем, что человек находится на расстоянии a = a max ,при большем значении которого начнется движение лестницы. Составляемуравнения равновесия.44AKF3.RU∑ X i = 0; N A − FB = 0;∑ Yi = 0; FA − P + N B = 0;∑ Z i = 0; − FA l cos α + PA a cos α − FB l sin α = 0.Подставив значения сил трения и решив системууравнений, получим:f2( f1 + tgα ).a=l1 + f1 ⋅ f 2Теперь можно определить и угол, под которымнадо поставить лестницу, чтобы добраться до стены.Полагая a = l , получим после преобразованийctgα = f 2 или α = arc ctg f 2 .При исследовании равновесия тел с учетом трения скольжения иногда бывает полезно воспользоваться понятием угла трения и конуса трения.Углом трения называется угол µ между нормальной реакцией N и полной реакцией плоскостиR = Fтр + N (рис.

7.4). Если направление вектора силы трения на плоскости меняется, то вектор R будетнаправлен по соответствующей образующей конуса,который называется конусом трения.Очевидно, tg µ =FтрN=Рис. 7.3f ⋅N= f.NЗаметим, что если равнодействующая Q всехактивных сил (всех, кроме реакций) направлена подуглом α (рис. 7.4), то нормальная реакцияN = Q cos α , а сила трения Fтр = fN = fQ cos α . ДляРис. 7.4того чтобы началось скольжение, должно выполняться условие Q sin α > fQ cos α или tgα > f . И так как f = tgµ , тоtgα > tgµ .

Значит, угол α должен быть больше угла µ. Следовательно, еслисила Q действует внутри угла или конуса трения ( α < µ ), то как бы ни была велика эта сила, скольжение тела не произойдет. Такое условие называется условием заклинивания, самоторможения.Мы рассмотрели скольжение твердых тел по поверхности. Но нередковстречается скольжение гибких тел по неплоской поверхности. Например,нежелательное проскальзывание в ременной передаче ремня по шкиву илитроса, каната, намотанного на неподвижный цилиндр (в частности каната,намотанного на причальные тумбы, кнехты, в морском порту).45AKF3.RUПусть имеется нить, перекинутая через неподвижную круглую цилиндрическую поверхность (рис. 7.5).

За счет сил трения натяжения левого иправого концов этой нити будут различными.Предположим, что нормальная реакция и сила трения распределяютсяравномерно по дуге контакта нити на цилиндре. Рассмотрим равновесиеучастка нити длиной dl = r ⋅ dϕ (рис. 7.6). На левом конце этого участка натяжение S , на правом S + dS . Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси:⎛1⎞⎛1⎞Σ X i = 0; − S cos ⎜ d ϕ ⎟ − dFтр + ( S + dS ) cos ⎜ d ϕ ⎟ = 0,⎝2⎠⎝2⎠⎛1⎞⎛1⎞Σ Yi = 0; − S sin ⎜ d ϕ ⎟ + dN − ( S + dS ) sin ⎜ d ϕ ⎟ = 0.⎝2⎠⎝2⎠Рис. 7.5Рис. 7.6⎛1 ⎞ 1Так как угол dϕ – малая величина, то полагаем sin ⎜ dϕ ⎟ = dϕ,⎝2 ⎠ 2⎛1⎞cos ⎜ d ϕ ⎟ = 1 . С учетом этого из уравнений находим dFтр = dS , dN = Sdϕ⎝2⎠dS= f ⋅ dϕ.

Интегрируя, пои так как dFтр = fdN , имеем dS = f ⋅ S d ϕ илиSSϕлучим ln S S1 = f ϕ 0 . Или2S2= e − fϕ .(7.2)S1Этот результат называется формулой Эйлера. Например, если нитьперекинута через неподвижный шкив и ϕ = π , а коэффициент тренияSf = 0,2 , то отношение натяжений 2 = e − 0,2π = 0,533. А обернув цилиндрS2S2= e −0,2⋅2π = 0,285, то есть можно удержать груз наS1другом конце нити силой, почти в три раза меньшей веса тела.один раз ( ϕ = 2π ),46AKF3.RU§2. Трение каченияСопротивление движению тела по поверхности появляется не толькопри скольжении, но и при качении, например, колеса (рис. 7.7).

Конечно,сила трения Fтр не может препятствовать качению колеса(момент сил относительно точкикасания не равен нулю даже присовсем малой силе Q ). Силатрения, образуя с силой Q пару,будет вращать тело, заставит егокатиться по поверхности.СопротивлениекачениюРис. 7.8Рис. 7.7можно объяснить тем, что поверхность и колесо – это не абсолютно твердые тела. Они деформируютсяи поэтому реакция поверхности окажется распределенной силой, равнодействующая которой N окажется приложенной не под центром колеса, асмещенной вперед на расстояние k (рис. 7.8).

Силы N и P будут теперьобразовывать пару, которая и препятствует качению тела. Момент этой пары M тр = k ⋅ N называется моментом трения качения. Он оказываетсяпропорциональным нормальной реакции. Коэффициент пропорциональности k называется коэффициентом трения качения. Размерность его – размерность длины (см). Считается, что он зависит только от радиуса колеса иот материалов, из которых сделаны колесо и поверхность.Следует еще раз специально заметить, что сопротивление качению характеризуется не силой, а парой – моментом этой пары (моментом трениякачения) (см.

рис. 7.8).Если колесо катится без скольжения, то сила трения Fтр < fN . А таккак при равновесии (см. рис. 7.8)∑ M Ci= 0 ; − Fтр ⋅ r + N ⋅ k = 0 , тоk.rПоэтому условием качения без скольжения является неравенствоkkN < fN или f > , где r – радиус колеса.rrFтр = N47ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ «СТАТИКА»С–11.

Определить проекции силF1 = 2H и F2 = 3H на оси x, y, υпри α = 30 .2. Определить моменты сил F1 иF2 относительно точек А, В, С, Dпри а = 7 см.С–2AKF3.RU1. Определить проекции силF1 , F2 , F3 на оси x, y, z.2. Определить моменты этих силотносительно осей x, y, z.С–3Показать реакции связей в точках А, В и С.Ответы на тесты на с. 23248AKF3.RUК И Н Е М АТ И К АVIII . Кинематика точки§ 1. Способы задания движения точкиПрежде чем заняться исследованием движения точки, определениемхарактеристик этого движения, надо научиться определять положение точки в пространстве в нужный момент времени.Для этого существует несколько способов задания движения.1. Естественный способЧтобы определить движение точки естественным способом, должныбыть заранее заданы (рис.8.1) траектория движения точки (линия, по которой точка движется);начало отсчёта (точка O , от которой по траектории отсчитывается расстояние s до движущейсяточки М); направление, в котором откладываются положительные значения характеристик движения (указывается стрелкой либоРис.

8.1знаками + и −); закон движения s = s(t).Пример 8.1. Точка движется по прямой линии, по законуs = 2 t + 3 (см ) (рис. 8.2).В начале движения при t = 0 , s = OM 0 = s0 = 3 см. Положение точкиM 0 называется начальным положением. Приt = 1c , s = OM 1 = 5 см.Конечно, за 1 c точка прошла расстояниеM0M1=2 см. Так что s – это не путь, пройденныйточкой, а расстояние от начала отсчёта доРис. 8.2точки.2.

Координатный способЭтим способом положение точки в какой-либо системе координат определяется её координатами x, y, z (рис. 8.3). При движении точки этикоординаты изменяются. Поэтому, чтобы определить положение точки в49AKF3.RUнужный момент времени, должны быть заданы координаты как функциивремени tx = x (t ) , y = y (t ), z = z (t ) .Рис. 8.3Эти функции называются уравнениямидвижения точки.Уравнения движения позволяютопределить не только положение точкив любой момент времени, но и все характеристики движения, в том числе итраекторию движения.Чтобы получить уравнение траектории, надо из уравнений движения исключить параметр t .Пример 8.2. Движение точки задано уравнениями (x, y – в сантиметрах, t – в секундах)x = 2 sin 2t , ⎫⎬y = 3 cos 2t.⎭Чтобы исключить время, параметр t найдём изyxпервого уравнения sin 2t = , из второго cos 2t = .32Затем возведём их в квадрат и сложим.

Так какx2 y2sin 2 2t + cos 2 2t = 1, получим 2 + 2 = 1. Это урав23нение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис. 8.4).Начальное положение точки M 0 (при t = 0 )определяетсякоординатами x0 = 0, y0 = 3 см.Рис. 8.4Через 1c точка будет в положении M 1 с координатами x1 = 2sin 2 = 2 ⋅ 0,91 = 1,82 см, y1 = 3cos2 = 3( −0,42 ) = −1,25 см.ПримечаниеДвижение точки может быть задано с помощью и других координат,например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не тольколинейные размеры, но и углы. При необходимости с заданием движенияцилиндрическими и сферическими координатами можно ознакомиться поучебникам.50AKF3.RU3. Векторный способGПоложение точки можно определить заданием вектора r , проведённого из неподвижной точки O , предполагая, что точка M находится наконце этого вектора (см.

рис. 8.3). Этот вектор называется радиусом-векторомточки M. Конечно, чтобы определить положение точки в любой моментG Gвремени, радиус-вектор должен быть задан как функция времени r = r (t ).Нетрудно установить зависимость между векторным и координатнымспособами задания движения.GРазложим вектор r на составляющие по осям координат:GGGG G GGr = rx i + ry j + rz k , где rx , ry , rz – проекции вектора на оси; i , j , k – единичGные векторы, направленные по осям, орты осей. Так как начало r векторанаходится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M.

ПоэтомуGGGGr = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k.(8.1)Траектория движения точки M – это линия, которую описывает конец изменяющегося радиуса-вектора. Эта линия называется годографомGвектора r .§ 2. Скорость точкиИзвестно, что при движении точки по прямой линии с постояннойскоростью, равномерно, скорость её определяется делением пройденногоsрасстояния s на время v = . При неравномерном движении эта формулаtне годится. И метод определения скорости зависит от способа задания движения.1.