Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики, страница 4

Спроектируем это векторное равенствона оси. Получим проекции равнодействующей R на оси x, y, z:R x = ∑ X i , R y = ∑ Yi , R z = ∑ Z i .Они равны алгебраическим суммам проекций сил на соответствующиеоси. А зная проекции равнодействующей, можно определить и величинуее как диагональ прямоугольного параллелепипеда R = R x2 + R y2 + R z2 илиR=(∑ X i )2 + (∑ Yi )2 + (∑ Z i )2 . (2.2)Направление вектора R найдем спомощью направляющих косинусов(см. рис. 2.6)RyRRcos α = x , cos β =, cos γ = z .RRRРис. 2.6Система сходящихся сил уравновешивается, если их равнодействующая R = 0, а это возможно только при выполнении условий∑ Xi18= 0;∑ Yi= 0;∑ Zi= 0.AKF3.RUЭти условия, алгебраические суммы проекций сил на оси равны нулю,называются уравнениями равновесия системы сходящихся сил, расположенных в пространстве.Конечно, если все силы расположены в одной плоскости, напримерхОу, третье уравнение обратится в тождество и останутся лишь два уравнения∑ X i = 0; ∑ Yi = 0.Следовательно, среди уравновешенных сил, расположенных в пространстве, можно найти три неизвестные величины; среди сил, расположенных в плоскости, – две.Пример 2.2.

На шар, вескоторого Р, лежащий на горизонтальной плоскости и привязанный к ней нитью АВ,Gдействует сила F (рис.2.7).Определим реакции связей.Следует сразу заметить,Рис. 2.7что все задачи статики решаются по одной схеме в определенном порядке.Продемонстрируем ее на примере решения этой задачи.1. Надо выбрать (назначить) объект равновесия – тело, равновесие которого следует рассмотреть, чтобы найти неизвестные.В этой задаче, конечно, объект равновесия – шар.2. Построение расчетной схемы.

Расчетная схема – это объект равновесия, изображенный отдельно свободным телом, без связей, со всеми силами, действующими на него: реакциями и остальными силами.Воспользовавшись рис. 1.4, показываем реакцию нити S и нормальную реакцию плоскости – N (см. рис.2.7). Кроме них на шар действуют заданные силы F и P .3. Надо установить, какая получилась система сил, и составить соответствующие уравнения равновесия.Здесь получилась система сходящихся сил, расположенных в плоскости, для которой составляем два уравнения (оси можно проводить произвольно)∑ X i = 0; − F + S cos α = 0 ,∑ Yi = 0;− P + N − S sin α = 0.19AKF3.RU4. Решаем систему уравнений и находим неизвестныеS=F,cos αN = S sin α + P = F tg α + P.По условию задачи требовалось найти давление шара на плоскость.

Амы нашли реакцию плоскости на шар. Но по определению (I, п. 6) следует,что эти силы равны по величине, только давление на плоскость будет направлено в противоположную сторону, вниз.Пример 2.3. Тело весом Р прикреплено к вертикальной плоскости тремя стержнями (рис. 2.8). Определим усилия в стержнях.Рис. 2.8В этой задаче объект равновесия – узел С вместе с грузом. Он нарисован отдельно с реакциями, усилиями в стержнях S1 , S 2 , S3 , и весом P . Силы образуют пространственную систему сходящихся сил. Составляем триуравнения равновесия∑ X i = 0; S 2 cos 60° − S3 cos 60° = 0;∑ Yi = 0; − S1 − S 2 cos 30° ⋅ cos 45° − S3 cos 30° ⋅ cos 45° = 0;∑ Z i = 0; S 2 cos 30° ⋅ cos 45° + S3 cos 30° ⋅ cos 45° − P = 0.Из первого уравнения следует: S2 = S3. Тогда из третьего: S2 = S3 =P2==P, а из второго: S1 = −2 S2 cos30° ⋅ cos 45° = −P.2 cos 30° ⋅ cos 45°6Когда мы направляли усилия в стержнях от узла, от объекта равновесия, то предполагали, что стержни работают на растяжение.

Усилие S1 встержне CD получилось отрицательным. Это значит – стержень сжат. Такчто знак усилия в стержне указывает, как работает стержень: на растяжениеили на сжатие.20AKF3.RUIII. Момент силы§1. Момент силы относительно точкиЕсли к телу приложить силу F в точке А (рис. 3.1), оно начнет вращаться вокруг шарнира О. Вращательный эффект будет определяться величиной силы и расстоянием от точки О долинии действия силы, т.е. произведениемM O F = F ⋅ h,( )которое называется моментом силы F относительно точки О, а кратчайшее расстояние h от точки до линии действия силы – плечом силы.Чтобы момент силы определял нетолько эффективность вращательного дейРис.

3.1ствия, но и направление вращения, условились ставить знак (+) или (−). Если сила стремится повернуть тело противчасовой стрелки, (+); если по направлению вращения часовой стрелки, (−).Если плечо h = 0, то есть линия действия силы проходит через точку О, момент силы равен нулю.Заметим, что площадь треугольника ∆ОАВ равна11S = F ⋅ h = MO F .22Значит, момент силы относительно точки численно равен двум площадям такого треугольникаM O F = 2пл.∆OAB .(3.1)( )( )Для того чтобы момент силы определял еще и плоскость, в которойпроисходит вращение, будем изображать его вектором, направленным перпендикулярно плоскости, в которой расположены точка и сила.

И направлять в такую сторону, что если смотреть оттуда, увидим вращение тела вокруг точки против часовой стрелки (рис. 3.2). Нетрудно доказать, чтовектор момента силы относительно точки есть векторное произведение радиуса-вектора r точки приложения силы на вектор силы F( )M O F = r × F,21AKF3.RU(радиус-вектор r – это вектор, проведённый из точки O и определяющийположение точки, расположенной на его конце).Действительно, модуль векторного произведения r × F = r ⋅ F ⋅ sin α = Fh = M O F , и( )направлен этот вектор r × F (по правилу определения направления вектора векторного произведения) так же, как вектор M O F .( )Рис.

3.2§2. Момент силы относительно осиПусть на тело, которое может вращаться вокруг оси z, действует силаF (рис. 3.3).Если через начало вектора силы, точку А, провести плоскость, перпендикулярную оси, и разложить силу на две составляющие F ' и F ' ' , то нетрудно будетзаметить, что сила F ' ' , параллельная оси,будет только сдвигать тело вдоль оси. Авращать тело будет лишь сила F ' , расположенная в плоскости. И вращательноедействие будет определяться моментомРис. 3.3этой силы F ' относительно точки О, точки пересечения оси с плоскостью. Значит, момент силы F относительно осиzM z ( F ) = M O ( F ') = F '⋅ h .Так как составляющая силы F ' ' при определении момента относительно оси не потребовалась, то правило определения этого момента можно сформулировать так:Чтобы найти момент силы относительно оси, надо спроектироватьвектор силы на плоскость, перпендикулярную оси, и определить моментэтой проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью.22AKF3.RUЗаметим, что если вектор силы параллелен оси или линия действия силы пересекает ось, момент силы относительно оси равен нулю.

Или иначе,если вектор силы и ось расположены в одной плоскости, момент силы равен нулю.Чтобы момент силы относительно оси указывал и направление вращения, будем использовать знак (+) или (−).Если посмотрим на силу со стороны стрелки оси и увидим, что силастремится вращать тело вокруг оси против часовой стрелки, момент будемсчитать положительным.

Если по часовой - отрицательным.Обратим внимание на то, что знак момента зависит не только от направления силы, но и от направления оси.И еще. Из рис.3.3 видно, что площадь треугольника OAB1 равна11S = F '⋅h = M z ( F ) . Поэтому момент силы относительно оси равен двум22площадям этого треугольникаM z ( F ) = 2пл.∆OAB1 .(3.2)F1 , F2 и F3Пример. Определим моменты силосей x, y, z (рис.3.4).Моменты силы F1 находятся просто:относительноM х ( F1 ) = − F1 ⋅ a ; M y ( F1 ) = 0 ; M z ( F1 ) = F1 ⋅ b .Моменты сил F2 и F3 – посложнее.В тех случаях, когда вектор силы направлен под углом к оси, полезно разложить вектор силы на составляющие, параллельныеосям, и затем находить сумму моментов этихсоставляющих.Так, моменты силы F2 :Рис. 3.4M x ( F2 ) = M x ( F2 x ) + M x ( F2 z ) = 0 − F2 z ⋅ c = − F2 sin α ⋅ c ;M y ( F2 ) = M y ( F2 x ) = F2 ⋅ a = F2 cos α ⋅ a ;M z ( F2 ) = − F2 x ⋅ c = − F2 cos α ⋅ c .И силы F3 :M x ( F3 ) = F3 z ⋅ c = F3 sin β ⋅ c ;M y ( F3 ) = − F3 z ⋅ b = − F3 sin β ⋅ b ;M z ( F3 ) = 0 (линия действия силы F3 пересекает ось z).23AKF3.RU§3.

Зависимость между моментами силы относительно точкии относительно осиНайдем моменты силы F (рис. 3.5) относительно точки О и относительно оси z, проходящей через эту точку.Как было установлено (3.1) и (3.2),M O ( F ) = 2пл.∆OAB ,M z ( F ) = 2пл.∆OA1B1 .Из рисунка видно, что ∆ОА1В1 является проекцией ∆ОАВ на плоскость,перпендикулярную оси.Известно, что в этом случаеРис. 3.5(3.3)пл. ∆OA1B1 = пл.∆OAB ⋅ cos γ ,где γ – угол между плоскостями этих треугольников. Его можно определить как угол между перпендикулярами к плоскостям, между векторомM O ( F ) и осью z.Умножив левую и правую части равенства (3.3) на 2, получим:M z ( F ) = M O ( F ) cos γ = [ M O ( F )] z .(3.4)Момент силы относительно оси есть проекция вектора момента силы относительно точки, расположенной на оси, на эту ось.IV.

Пара сил§1. Пара сил. Момент парыПарой сил (или просто парой) называются две силы, равные по величине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис. 4.1).Очевидно, F1 = F2 , F1 = − F2 и F1 + F2 = 0 .Несмотря на то, что векторная сумма сил равнанулю, эти силы не уравновешиваются. Под действием этих сил, пары сил, тело начнет вращаться.И вращательный эффект будет определяться моментом парыРис.4.1m = F1 ⋅ a = F2 ⋅ a .Кратчайшее расстояние a между параллельными линиями действиясил называется плечом пары.24AKF3.RUЕсли пара вращает тело против часовой стрелки, момент ее считаетсяположительным (см. рис.

4.1), если по часовой стрелке – отрицательным.Для того чтобы момент пары указывал и плоскость, в которой происходит вращение, его представляют вектором.Вектор момента пары m направляется перпендикулярно плоскости, вкоторой расположена пара, в такую сторону, что если посмотреть оттуда,увидим вращение тела против часовой стрелки(рис. 4.2).Нетрудно доказать, что вектор момента парыесть вектор векторного произведения m = r × F1(см. рис. 4.2).

И заметим, что он равен векторумомента силы F1 относительно точки А, точкиРис. 4.2приложения второй силыm = M A ( F1 ) .О точке приложения вектора m будет сказано ниже. Пока приложимего к точке А.§2. Свойства пар1. Проекция пары сил на любую ось равна нулю. Это следует из определения пары.2. Найдем сумму моментов сил F1 и F2 , составляющих пару, относительно какой-либо точки О(рис.