Новожилов А.И. - Краткий курс теоретической механики, страница 7

Если радиусы-векторы откладывать из начала координат, топроекции радиусов-векторов точек на оси будут равны координатам этихточек. Поэтому, проектируя векторное равенство (6.1) на оси, получим∑ Fi xi∑ Fi yi∑ Fi zix c=; y c=; z c=,(6.2)RRRгде xi , yi , z i – координаты точек приложения сил.§2. Центр тяжести телНа все точки тела, находящегося вблизи поверхности Земли, действуют силы – силы тяжести этих точек или их вес Pi . Вообще эти силы будутсходящимися – линии действия их пересекаются в центре Земли. Но еслипренебречь размерами тела в сравнении с размерами Земли, то можно считать их параллельными.Центр этих параллельных сил, сил тяжести точек называется центромтяжести тела.37AKF3.RUЗначит, находить центр тяжести тел можно как центр параллельныхсил по формулам (6.1) или (6.2).

Например, координаты егоxc =∑ Pi xi ;Pyc =∑ Pi yi ;Pzc =∑ Pi zi ,P(6.3)где Pi – вес каждой точки тела, а P = ∑ Pi – вес всего тела.При определении центра тяжести полезны несколько теорем.1. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести его находится в этой плоскости.Если оси х и у расположить в этой плоскости симметрии (рис. 6.3), тодля каждой точки с координатами xi , yi , z i можно отыскать точку с координатами xi , yi , − z i .

И координата z c поформуле (6.3) будет равна нулю, т.к. в сумме∑ Pi zi все члены, имеющие противоположные знаки, попарно уничтожаются. Значит,центр тяжести расположен в плоскости симметрии.2. Если однородное тело имеет осьсимметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.Действительно, в этом случае, если осьРис. 6.3z провести по оси симметрии, для каждойточки с координатами xi , yi , z i можно отыскать точку с координатами − xi , − yi , z i и координаты xc и y c , вычисленные по формулам (6.3), окажутся равными нулю.Аналогично доказывается и третья теорема.3.

Если однородное тело имеет центр симметрии, то центр тяжести тела находится в этой точке.И еще несколько замечаний.Первое. Если тело можно разделить на части, у которых известны веси положение центра тяжести, то незачем рассматривать каждую точку тела,и в формулах (6.3) Pi – можно определять как вес соответствующей части,а xi , yi , z i – как координаты ее центра тяжести.Второе. Если тело однородное, то вес отдельной части его Pi = Vi ⋅ γ ,где γ – удельный вес материала, из которого сделано тело, а Vi – объемэтой части тела. И формулы (6.3) примут более удобный вид.

Например,38AKF3.RUxc =∑ Pi xi=∑ Vi ⋅ γ ⋅ X i=∑ Vi xi .ИаналогичноVyyc = ∑ i i ,VPV ⋅γVVzzc = ∑ i i , где V = ∑ Vi – объем всего тела.VПример 6.1. Определим центр тяжести однородного тела, изображенного на рис. 6.4.Тело однородное, состоящее из двухчастей, имеющих симметричную форму.Координаты центров тяжести их:x1 = 5 см; y1 = 5 см; z1 = 2,5 см;x2 = 2,5 см; y2 = 7,5 см; z2 = 6 см.Объемы их: V1 = 5 ⋅ 10 ⋅ 10 = 500 см 3 ;V2 = 5 ⋅ 5 ⋅ 2 = 50 см 3 .

Поэтому координатыРис. 6.4центра тяжести телаxc =yc =zc =∑Vi xiV∑Vi yiV∑Vi ziV=500 ⋅ 2,5 + 50 ⋅ 6= 4,77 см;500 + 50=500 ⋅ 5 + 50 ⋅ 7,5= 5,23 см;550=500 ⋅ 2,5 + 50 ⋅ 6= 2,82 см.550Третье замечание. Если тело состоит из однородных пластин одинаковой малой толщины, то объем каждой пластины Vi = S i ⋅ d , где S i –площадь пластины, d – толщина. И координаты центра тяжести будут определяться только с помощью площадейS ySzSxxc = ∑ i i ; yc = ∑ i i ; zc = ∑ i i ,(6.4)SSSгде xi , yi , zi – координаты центра тяжести отдельных пластин; S = ∑ S i –общая площадь тела.Пример 6.2.

Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямымуглом. Размеры – на чертеже (рис. 6.5).39Координаты центров тяжести C1 и C2 отдельных частей: x1 = 10 см ,y1 = 0,z1 = 2,5 см,x2 = 7,5 см,y 2 = 2,5 см,z 2 = 0.Их площади:S1 = 5 ⋅ 10 = 50 см 2 , S2 = 5·15 = 75 см2 . Поэтому∑ Si xi 50 ⋅ 10 + 75 ⋅ 7 ,5== 8,5 см;50 + 75Sxc =∑ S i yiyc =S∑ S i zizc =AKF3.RUРис. 6.5S=50 ⋅ 0 + 75 ⋅ 2,5= 1,5 cм;125=50 ⋅ 2,5= 1,0 cм.125Пример 6.3. У квадратного листа20 × 20 см вырезано квадратное отверстие5 × 5 см (рис. 6.6). Найдем центр тяжестилиста.В этой задаче удобнее разделить тело надве части: большой квадрат и квадратное отверстие.

Только площадь отверстия надосчитать отрицательной. Тогда координатыцентра тяжести листа с отверстиемxc =Рис. 6.6=∑ Si xiSS ⋅x −S ⋅x= 1 1 2 2=S1 − S 220 ⋅ 20 ⋅10 − 5 ⋅ 5 ⋅ 12,5= 9,83 cм ,400 − 25а координата y c = xc = 9,83 см, так как тело имеет ось симметрии (диагональ).Четвертое замечание. Если тело состоит из стержней, прямых иликриволинейных, однородных и постоянного сечения, то вес их Pi = li ⋅ ρ,где li – длина, ρ – вес единицы длины (погонного метра), а координатыцентра тяжести будут определяться с помощью длин отдельных участковlxxc = ∑ i i ; yc =L∑ li yi ;Lzc =∑ li zi ,Lгде xi ; yi ; zi – координаты центра тяжести i-го участка; L = ∑ li .40AKF3.RUПример 6.4.

Проволочная скобка (рис. 6.7) состоитодинаковой длины l.Координаты центров тяжести участков: x1 = 0,x 2 = 0,5l , y 2 = l , z 2 = l ; x3 = l , y 3 = l ,z 3 = 0,5l. Поэтому координаты центра тяжести всей скобки∑ li xi = l ⋅ 0 + l ⋅ 0,5l + l ⋅ l = 0,5l ,xc =3lL∑ li yi = l ⋅ 0,5l + l ⋅ l + l ⋅ l = 0,83l ,yc =3lL∑ li zi = l ⋅ l + l ⋅ l + l ⋅ 0,5l = 0,83l.zc =3lLиз трех участковy1 = 0,5l , z1 = l ;Рис.

6.7§3. Распределённые силыРанее мы рассматривали действие на тело лишь сосредоточенных сил,сил приложенных к одной точке. Но можно привести ряд примеров, когдасилы распределяются по всему объёму тела, по площади или по длине.Кстати, вес тела, сила тяжести, это тоже сила, распределённая по объёмутела. Потому что на каждую точку его действует сила, её вес. А при решении задач мы вес тела показываем в виде сосредоточенной силы P , равнодействующей всех сил, приложенной к центру тяжести.Можно встретить силы, распределённые по плоскости, по поверхности(например, снег, лежащий на крыше; давление газа или жидкости на поверхность сосуда). И силы, которые распределяются по линии.Все эти распределённые силы характеризуются их интенсивностью –силой q, действующей на единицу объёма, площади или длины тела.

Размерность интенсивности - Н·м-3, Н·м-2, Н·м-1 соответственно.Действие таких сил на тело заменяем одdxxqQной силой Q , равнодействующей этих распреq(x)делённых сил .Проще всего определить её для паралCлельных сил, распределённых по длине, попрямой линии AB (рис.6.8).Выделим на расстоянии x участок линииxдлиной dx. На этом участке на тело действует ABРис.6.8элементарная сила dQ = q·dx.41AKF3.RUИ, интегрируя по всей длине AB = l, получим равнодействующуюll00Q = ∫ dQ = ∫ q dx. Значит, величина равнодействующей равна площади заключённой между линией q = q(x) и осью x.Точку приложения силы Q или лучше линию действия её, можно найти с помощью теоремы Вариньона (5.8).Момент равнодействующей MA(Q) = Q·xc , а сумма моментов элеменlтарных сил dQ относительно той же точки A равна ∑ M A ( dQ ) = ∫ dQ ⋅ x..0lПриравняв их, получим xc =∫ dQ ⋅ x0, но по аналогичной формуле (6.4) опQределяется координата центра тяжести рассматриваемой площади.

Значит,точка приложения силы Q к телу и линия действия её определяются центром тяжести этой площади.QЕсли распределение нагрузкиa.определяется линейным законом,q =const модуль равнодействующей Q и лиа)ния действия её находятся довольнопросто (рис. 6.9, a и б).0,5 lА при распределении по законуlb.трапеции (рис.6.9, в) её нужно разQделить на треугольник и прямоqугольник и находить соответственноб)1две силы Q1 = q1l и Q2 = q2l.21/3llЕсли сила распределена не попрямой линии, то равнодействующая находится немного сложнее,c.Q1Q2Например, при давлении жидкостиq1или газа на внутреннюю стенкув)трубы в каком-нибудь её сечении.Найдём равнодействующую таq2кой распределённой силы на часть1/3 lстенки трубы, которая определёна1/2 lдугой с углом 2α ( рис.

6.10).Рис.6.942AKF3.RUНа участок дуги, определяемыйуглом d ϕ , действует элементарнаясила dQ = q · dl = q · R · d ϕ , где R– радиус дуги.А на всю дугу действует равнодействующая Q, равная сумме проекцийвсех элементарных сил на вертикальнуюось симметрии, то естьαα−α−αOdϕQqϕdQαQ = ∫ dQ ⋅ cos ϕ = ∫ qR cos ϕ ⋅ dϕ == qR sin ϕ α−α = 2qR sin α.Так на половину трубы действует сила (при α =αРис.6.10π), равная Q = 2qR.2VII. ТрениеТрением называется сопротивление движению тела. Оно бывает нескольких видов: трения скольжения, качения, верчения, вязкое трение.

Рассмотрим первые два.§1. Трение скольженияИзвестно, что поверхности, с которыми соприкасаются тела, неявляются абсолютно гладкими. Чтобы сдвинуть тело, приходитсяприложить к нему определенную силу. Это сопротивление, препятствующее скольжению тела, называется трением скольжения. А сила, возникающая при этом, – силой трения скольжения Fтр .Основные закономерности, позволяющие оценить это сопротивление,установлены опытным путем.Если к телу, лежащему на горизонтальнойплоскости, приложить силу Q (рис. 7.1), можнообнаружить, что при достаточно малой силе тело еще остается неподвижным. Сила Q будетуравновешиваться силой трения Fтр , то естьFтр = Q . Но в некоторый момент, когда сила QРис.

7.1достигнет определенного значения Q*, начнется скольжение тела.43AKF3.RUДальнейшее увеличение силы Q не изменит величину силы трения.График зависимости силы трения Fтр от Q дан на рис. 7.2. Замечено,что до начала скольжения сила трения (сила трения покоя) достигает некоторого значения F*, большего, чем припоследующем скольжении.Это хорошо знают профессионалышоферы, которые не допускают пробуксовки колес при торможении или притрогании с места.Установлено, что при скольжениисила трения пропорциональна величиненормальной реакции NРис.